七年级数学上册 讲义（北师大版）第05讲 难点探究专题：与一元一次方程有关的综合问题(4类热点题型讲练)（原卷版）

第05讲难点探究专题：与一元一次方程有关的综合问题(4类热点题型讲练)目录TOC\o"1-3"\h\u【类型一新定义型运算与一元一次方程的综合问题】 1【类型二绝对值方程与一元一次方程的综合问题】 5【类型三图形规律探究与一元一次方程的综合问题】 8【类型四数轴上的动点与一元一次方程的综合问题】 11【类型一新定义型运算与一元一次方程的综合问题】例题：（2023春·江苏淮安·七年级统考开学考试）定义一种新的运算“”：

例如：．(1)求的值；(2)若，求的值．【变式训练】1．（2023秋·江苏·七年级专题练习）定义一种新运算“”：，如(1)求的值；(2)若，求x的值；2．（2023春·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）定义一种新运算“※”，其规则为．例如：．再如：．(1)计算值为______．(2)若，求的值．3．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）对于任意的有理数a、b，定义一种新的运算，规定：，，等式右边是通常的加法、减法运算，如，时，，．(1)求的值；(2)若，求x的值．4．（2023春·河南新乡·七年级统考期末）对有理数，定义两个新运算：，.例如：，．(1)求的值；(2)求的值；(3)若的值和的值相等，求的值．5．（2023春·吉林长春·七年级统考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：的解为；的解为，所以这两个方程为“友好方程”．(1)若关于x的一元一次方程与是“友好方程”，则m．(2)已知两个一元一次方程为“友好方程”，且这两个“友好方程”的解的差为3．若其中一个方程的解为，求k的值．(3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，则关于y的一元一次方程的解为．【类型二绝对值方程与一元一次方程的综合问题】例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）先看例题，再解答后面的问题．【例】解方程：．解法一：当时，原方程化为，解得；当时，原方程化为，解得，所以原方程的解为或．解法二：移项，得．合并同类项，得．由绝对值的意义知，所以原方程的解为或．问题：用两种方法解方程．【变式训练】1．（2022秋·全国·七年级专题练习）解下列绝对值方程：(1)(2)2．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得或，所以或．根据以上材料解决下列问题：(1)解方程：；(2)解方程：．3．（2023秋·全国·七年级专题练习）阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时，解法一：我们可以运用整体思想来解．移项得，，，，或．解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论：①当时，原方程可化为，解得，符合；②当时，原方程可化为，解得，符合．原方程的解为或．解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论．问题：结合上面阅读材料，解下列方程：(1)解方程：(2)解方程：【类型三图形规律探究与一元一次方程的综合问题】例题：（2023秋·江苏·七年级专题练习）用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放：(1)第5个图案有张黑色小正方形纸片；(2)第n个图案有张黑色小正方形纸片；(3)第几个图案中白色纸片和黑色纸片共有81张？【变式训练】1．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，利用黑白两种颜色的五边形组成的图案，根据图案组成的规律回答下列问题：(1)图案④中黑色五边形有______个，白色五边形有______个；(2)图案中黑色五边形有______个，白色五边形有______个；（用含的式子表示）(3)图案中的白色五边形可能为2023个吗？若可能，请求出的值；若不可能，请说明理由．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）用同样规格的黑，白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为米的小路．(1)铺第6个图形用黑色正方形瓷砖块，用白色正方形瓷砖块；(2)按照此方式铺下去，铺第n个图形用黑色正方形瓷砖块，用白色正方形瓷砖块（用含n的代数式表示）；(3)在（2）的基础上，若黑，白两种颜色的瓷砖规格都为（长为米×宽米），若按照此方式铺满一段总面积为平方米的小路时，n是多少？3．（2023春·安徽·九年级专题练习）苯是最简单的芳香族化合物，在有机合成工业上有着重要的用途，德国化学家凯库勒发现了苯分子的环状结构．将若干个苯环以直线形式相连可以得到如下类型的芳香族化合物（结构简式中六边形每个顶点处代表个原子，通常省略原子）．已知：个苯的结构式是，结构简式为，分子式是；个苯环相连结构式是，结构简式为，分子式是；个苯环相连结构式是，结构简式为的分子式是；根据以上规律，回答下列问题：(1)个苯环相连的分子式是______；(2)个苯环相连的分子式是______；(3)试通过计算说明分子式为是否属于上述类型的芳香族化合物．【类型四数轴上的动点与一元一次方程的综合问题】例题：（2023秋·江苏苏州·七年级苏州草桥中学校考阶段练习）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．

(1)若，则__________；(2)若，求x的值；(3)若点P从点A出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度向右运动，两点同时出发，经过__________s，P、Q两点之间的距离为4．【变式训练】1．（2022秋·浙江台州·七年级校考期中）已知数轴上有三点，分别代表，，，两只电子蚂蚁甲、乙分别从两点同时相向而行，甲的速度为个单位，乙的速度为个单位．

(1)甲、乙多少秒后相遇？(2)甲、乙出发多少秒后，甲、乙相距个单位？(3)当甲到达点时，乙调头原速返回，当甲、乙在数轴上再次相遇时，相遇点表示的数是多少？（直接写出答案）2．（2023秋·江西上饶·七年级统考阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．

(1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________（用含的式子表示）；(2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？3．（2023秋·辽宁沈阳·七年级沈阳市第七中学校考阶段练习）阅读理解：若、、为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离的2倍，我们称点是的妙点．若点到的距离是点到的距离的2倍，我们称点是的妙点．(1)如图1，点表示的数为，点表示的数为2．表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点______的妙点，点______的妙点．（请在横线上填是或不