七年级数学下册讲义（北师大版）第四章第05讲 模型构建专题：全等三角形中的常见八种模型(8类热点题型讲练)（解析版）

第05讲模型构建专题：全等三角形中的常见八种模型(8类热点题型讲练)目录TOC\o"1-3"\h\u【模型一平移型模型】 1【模型二轴对称型模型】 3【模型三四边形中构造全等三角形解题】 5【模型四一线三等角模型】 9【模型五三垂直模型】 14【模型六旋转型模型】 18【模型七倍长中线模型】 24【模型八截长补短模型】 30【模型一平移型模型】例题：（2023上·福建福州·八年级统考期末）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：．

【答案】证明见解析【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定的应用以及两直线平行的判定定理，解此题的关键是推出，注意全等三角形的对应边相等；根据可知，又根据∠A=∠D，BE=CF可以判定，即可求证．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴在和中，∴，∴．【变式训练】1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在和中，点A、B、C在一条直线上，．求证：．

【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得出，再根据全等三角形的判定定理证明．【详解】，，在和中，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．2．（2024上·新疆和田·八年级统考期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．（1）先证明，然后根据证明即可；（2）根据全等三角形的性质得出，进而根据三角形内角和定理即可求解．【详解】（1）证明：，，且，，在和中，，，（2）解：由（1）可知，，，，，，．【模型二轴对称型模型】例题：（2024上·云南昆明·八年级统考期末）线段、相交于点，，，求证：．【答案】证明见解析．【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据可证，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：在和中，，【变式训练】1．（2023·湖南益阳·统考一模）如图，点D在上，点E在上，，．求证：．

【答案】见解析【分析】根据，推出，即可根据进行求证．【详解】证明：，．在和中，，．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法有．2．（2024上·山西阳泉·八年级统考期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的度数．【答案】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，即可得到．【详解】解：∵，，即．在与中，．．∵，．【模型三四边形中构造全等三角形解题】例题：如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．(1)若，，求四边形AECF的面积；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC，证明△ACE≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；（2）由△ACE≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC(1)解：连接AC，如图，在△ACE和△ACF中∴△ACE≌△ACF（SSS）．∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CB＝6．∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC证明：∵△ACE≌△ACF，∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，∴∠DFC＝∠BEC．∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．【变式训练】1．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．(1)试说明：DE=DF：(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？【答案】(1)见解析；(2)CE+BG=EG，理由见解析；(3)当∠EDG=90°-α时，（2）中结论仍然成立．【解析】【分析】（1）首先判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出．（2）猜想、、之间的数量关系为：．首先根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出；然后根据，可得，，再根据，判断出，据此推得，所以，最后根据，判断出即可．（3）根据（2）的证明过程，要使仍然成立，则，即，据此解答即可．(1)证明：，，，，又，，在和中，，．(2)解：如图，连接，猜想、、之间的数量关系为：．证明：在和中，，，，又，，，由（1），可得，，，即，，在和中，，，又，，；(3)解：要使仍然成立，则，即，当时，仍然成立．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意推出规律是解此题的关键．【模型四一线三等角模型】例题：（2023春·七年级课时练习）【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、△CAF的外角．若，，求证：△ABE≌△CAF．【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为．【答案】探究：见解析；应用：6【分析】探究：根据，，得出，根据，得出，再根据证明即可；应用：根据全等三角形的性质得出：，进而得出，根据，的面积为9，得出，即可得出答案．【详解】探究证明：∵，，又∵，∴，∵，∴，在和△CAF中，∴；应用解：∵△ABE≌△CAF，∴，∴，∵，的面积为9，∴，∴与的面积之和为6，故答案为：6．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．【变式训练】1．已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且．(1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面问题：①如图1，若，，求证：；②如图2，若，探索三条线段的数量关系，并证明你的结论；(2)如图3，若直线经过的外部，，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明．【答案】(1)①见解析；②，见解析(2)不成立，，见解析【分析】（1）①利用垂直及互余的关系得到，证明≌即可；②利用三等角模型及互补证明，得到≌即可；（2）利用互补的性质得到，证明≌即可．【详解】（1）①证明：∵，∴，∴，∴，在和中，，∴≌，∴；②解：．证明：∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∴；（2）解：．理由：∵，又∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能够熟练运用三等角模型快速证明三角形全等是解题关键．2．（2024上·湖南株洲·八年级校联考期末）（1）如图①，已知∶中，，直线经过点于于，求证∶；（2）拓展∶如图②，将（1）中的条件改为∶中，三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用∶如图③，在中，是钝角，，，直线与BC的延长线交于点，若的面积是12，求与的面积之和．【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）【分析】（1）先证明，，然后根据即可证明；（2）先证明，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论；（3）同（2）可证，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果．【详解】解：（1）∵，∴，且，∴，在和中，，∴；（2）成立，证明如下：∵，∴，且，∴，在和中，，∴，∴，，∴．（3）同（2）可证，∴，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，∴，，∵，∴，∵，∴与的面积之和为6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质以及不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键．【模型五三垂直模型】例题：（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；(2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：．【答案】(1)，(2)见解析【分析】本题考查一线三直角全等问题，（1）由，得，则，而，即可证明，得，，于是得到问题的答案；（2）作于点，因为于点，于点，所以，由（1）得，因为，所以，则，而，即可证明，得，所以，再证明，则．【详解】（1））解：于点，于点，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，故答案为：，．（2）证明：如图2，作于点，∵于点，于点E，∴，由，同理（1）得，∴，在和中，∴，∴．【变式训练】1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)90°(2)见解析(3)CD=BE+DE，证明见解析【解析】【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=EA+AD=DC+BE．（3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE=AD+DE，所以CD=BE+DE．(1)∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案为：90°．(2)证明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵

∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且EA=DC由图可知：DE=EA+AD=DC+BE．(3)∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且AE=CD由图可知：AE=AD+DE∴CD=BE+DE．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．2．（2024上·吉林辽源·九年级统考期末）如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．(1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：①；②；(2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；(3)当直线绕点C旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)见解析(3)(或，)．【分析】本题考查了几何变换综合题，需要掌握全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明和全等的三个条件．题型较好．（1）①已知已有两直角相等和，再由同角的余角相等证明即可证明；②由全等三角形的对应边相等得到，，从而得证；（2）根据垂直定义求出，根据等式性质求出，根据证出和全等，再由全等三角形的对应边相等得到，，从而得证；（3）同样由三角形全等寻找边的关系，根据位置寻找和差的关系．【详解】（1）①证明：∵，，∴，，∴，在与中，，∴；②由①知，，∴，，∵，∴；（2）证明：∵于D，于E，∴，∴，，∴，在与中，，∴．∴，，∴．（3）解：同（2）理可证．∴，，∵∴，即；当旋转到图3的位置时，、、所满足的等量关系是(或，)．【模型六旋转型模型】例题：如图，，，．（1）求证：；（2）若，试判断与的数量及位置关系并证明；（3）若，求的度数．【答案】（1）见详解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3）【分析】（1）根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可；（2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代换证明即可；（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，进而可知∠CFA【详解】（1）∵∠CAB=∠EAD∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，∴∠CAE=∠BAD，∵AB=AC，AE=AD在△AEC和△ADB中∴△AEC≌△ADB（SAS）（2）CE=BD且CE⊥BD，证明如下：将直线CE与AB的交点记为点O，由（1）可知△AEC≌△ADB，∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，∵∠BOF=∠AOC，∠=90°，∴∠BFO=∠CAB=∠=90°，∴CE⊥BD．（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD由（1）知△AEC≌△ADB，∴两个三角形面积相等故AM·CE=AN·BD∴AM=AN∴AF平分∠DFC由（2）可知∠BFC=∠BAC=∴∠DFC=180°-∴∠CFA=∠DFC=【点睛】本题考查了全等三角形的证明，以及全等三角形性质的应用，正确掌握全等三角形的性质是解题的关键；【变式训练】1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．（1）求证：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BFE＝105°．【分析】（1）根据旋转的性质证明△ABE≌△CBD（SAS），进而得证；（2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根据三角形内角和定理进行求解即可．【详解】（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，∴BD＝BE，∠EBD＝120°，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，∴∠DBC＝∠ABE，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD；（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE＝180°﹣30°﹣45°＝105°．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是解题的关键．2．如图，已知和中，，，，，，线段分别交，于点，．（1）请说明的理由；（2）可以经过图形的变换得到，请你描述这个变换；（3）求的度数．【答案】（1）见解析；（2）通过观察可知绕点顺时针旋转，可以得到；（3）【分析】（1）先利用已知条件∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，利用SAS可证△ABC≌△AEF，那么就有∠C=∠F，∠BAC=∠EAF，那么∠BAC-∠PAF=∠EAF-∠PAF，即有∠BAE=∠CAF=25°；（2）通过观察可知△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF；（3）由（1）知∠C=∠F=57°，∠BAE=∠CAF=25°，而∠AMB是△ACM的外角，根据三角形外角的性质可求∠AMB．【详解】解：（1）∵，，，∴，∴，，∴，∴；（2）通过观察可知绕点顺时针旋转，可以得到；（3）由（1）知，，∴．【点睛】本题利用了全等三角形的判定、性质，三角形外角的性质，等式的性质等．3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；（2）猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，证明见解析；（3）72或2【分析】（1）首先通过SAS证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质和等量代换即可得出答案；（2）仿照（1）中证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质即可得出结论；（3）首先求出BE的长度，然后利用S△AED•AD•EB即可求解．【详解】解：（1）如图1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴ABE＝90°，∴AB⊥BE，∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE，故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如图3中，结论：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．（3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，∵BE⊥AD，∴S△AED•AD•EB12×12＝72．如图3中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，∵BE⊥AD，∴S△AED•AD•EB2×2＝2．【点睛】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键．【模型七倍长中线模型】例题：（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，是的中线，，，求中线的取值范围．【答案】【分析】延长到，使,证明两边之和大于，两边之差小于，证明三角形全等，得到线段相等，等量代换得．【详解】解：如图，延长至，使，连接，∵为中点，∴，在和中，∴，∴，在中，，即，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．【变式训练】1．如图，在中，是边上的中线．延长到点，使，连接．(1)求证：；(2)与的数量关系是：____________，位置关系是：____________；(3)若，猜想与的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)，(3)，证明见解析【分析】(1)根据三角形全等的判定定理，即可证得；(2)由，可得，，据此即可解答；(3)根据三角形全等的判定定理，可证得，据此即可解答．【详解】（1）证明：是BC边上的中线，，在与中，；（2）解：，，，，故答案为：，；（3）解：证明：，，，，在和中，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．2．（2023上·江苏南通·八年级统考期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是．方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．(2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明；(3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)见解析【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系．（1）由作图可得，根据“”证得，得到，在中，根据三角形的三边关系有，代入即可求解；（2）延长到M，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，故；（3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、，证得得到，证得得到．延长交于F，由三角形的三边关系得到，即．【详解】（1）∵，∴∵是边上的中线，∴，在和中，，∴，∴，∵在中，，即，∴．故答案为：（2），理由：如图，延长到M，使得，连接，∴，∵是的中线，∴，在和中∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，∴；（3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、，∵点M是的中点，∴，在和中，∴，∴∵，∴，即，在和中，∴，∴，延长交于F，则，且，∴，∴，即．【模型八截长补短模型】例题：在四边形中，点C是边的中点．(1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由；(2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由．【答案】(1)，见解析(2)，理由见解析【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论；（2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论；【详解】（1），理由如下：在上取一点F，使，连接．∵平分，∴，在和中∴．∴，，∵C是边的中点．∴，∴．∵，∴，∴．在和中∴．∴．∵，∴．（2），理由如下：在上取，，连接，．与（1）同理，可得，．∴，，，．∵，∴．∵，∴．∴为等边三角形．∴．∵，∴．

【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．【变式训练】1．如图，在五边形中，，平分，．

(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解；（2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解．【详解】（1）解：在上截取，连接．

∵平分，∴．在和中，∴∴，．