七年级数学下册讲义（北师大版）第五章第01讲 轴对称图形与轴对称的性质(9类热点题型讲练)（原卷版）

第01讲轴对称图形与轴对称的性质(9类热点题型讲练)1.掌握对称轴的画法及条数的确定，体会轴对称在生活中的应用及其丰富的文化价值；2.掌握轴对称图形和两个图形成轴对称的概念；3.理解轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系.4.理解轴对称的性质；掌握轴对称性质的综合应用；并认识轴对称中的对应线段、对应角.知识点01轴对称1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.2.轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后，能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴.知识点02轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．知识点03轴对称与轴对称图形的区别和联系要点诠释:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．知识点04轴对称图形的性质性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.题型01轴对称图形的识别【例题】（2024·广东湛江·一模）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（

）A．B．C． D．【变式训练】1．（2024·山西大同·一模）“二十四节气”是根据太阳在黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置来划分的，是在我国春秋战国时期订立的一种用来指导农事的补充历法，下列四幅“二十四节气”标识图中，文字上方所设计的图案是轴对称图案的是（

）A．B．C．D．2．（2024·浙江杭州·模拟预测）“天有日月，道分阴阳”，从古至今，中国人一直都在追求对称美．中国传统图形比较注重于对称，其集中体现在文字和建筑、绘画上，下列图形、文字为轴对称图形的是（

）A．B．C．D．题型02画对称轴【例题】（22-23八年级上·江西赣州·期中）用三角尺分别画出下列图形的对称轴．【变式训练】1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，画出它们各自的对称轴．

2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，判断下列图形是不是轴对称图形，如果是，请画出它们所有的对称轴．题型03求对称轴条数【例题】（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图是轴对称图形，其对称轴的条数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式训练】1．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（

）A．等边三角形 B．正方形 C．正八边形 D．圆2．（23-24八年级上·北京平谷·期末）下列图形都是轴对称图形，其中恰有2条对称轴的图形是（

）A． B． C． D．题型04成轴对称的两个图形的识别【例题】（23-24八年级上·河南安阳·期中）下列各组图形中，两个图案是轴对称的有（

）A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①②③④【变式训练】1．（23-24八年级上·天津和平·期中）下列说法中，正确的个数是（

）（1）轴对称图形只有一条对称轴，（2）轴对称图形的对称轴是一条线段，（3）两个图形成轴对称，这两个图形的全等图形，（4）全等的两个图形一定成轴对称，（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言．A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·湖北武汉·模拟预测）下列同类型的每个网格中均有两个三角形，其中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到的是（

）A． B． C． D．题型05根据成轴对称图形的特征进行判断【例题】（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，与△关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②；③中，正确的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【变式训练】1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，和关于直线l对称，点P为直线l上一点，则下列说法中错误的是（）

A．B．l垂直平分C．D．2．（23-24八年级上·福建莆田·期中）与关于直线对称，在上，下列结论中错误的是（

）

A．是等腰三角形B．垂直平分，C．与面积相等D．直线，的交点不在上题型06根据成轴对称图形的特征进行求解【例题】（23-24八年级上·吉林·期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．(1)图中点的对应点是点______，的对应边是______；(2)若，，求的度数．【变式训练】1．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，与关于直线对称，其中，，，．(1)你认为点与点有何关系？连接，则线段与直线有何关系？(2)求的度数；(3)求的周长和面积．2．（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，与关于直线对称，其中，，，．(1)线段与的关系是什么？(2)求的度数；(3)求的周长题型07台球桌面上的对称轴问题【例题】（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为．

【变式训练】1．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有，两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则，，，，4个点中，可以反弹击中球的是点．题型08轴对称中的光线反射问题【例题】（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，两条平行直线，，从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（22-23九年级下·河北保定·阶段练习）通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，光线自点射入，经镜面反射后经过的点是（

）A．点 B．点 C．点 D．点2．（2022·浙江台州·一模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是．题型09折叠问题【例题】（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，长方形纸片，点分别在边上，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线的处，得到折痕．(1)若，的余角有；(2)若，说明理由．【变式训练】1．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）有一条长方形纸带，将纸带沿折叠，如图所示，则折叠后的度数是.2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）综合与实践：利用折纸可以作出相等的角．如图，有长方形纸片，在上取一点O，以为折痕翻折纸片，点B落在点，以为折痕翻折纸片，点A落在点，分别连接．(1)根据题意，____________，____________．(2)记．①如图1，若点恰好落在上，求的度数．②如图2，折叠后的纸片间出现缝隙，点在的外侧，求的度数（用含有的代数式表示）．③如图3，折叠后的纸片间出现重叠，点在的内部，求的度数（用含有的代数式表示）．一、单选题1．（2023·甘肃定西·二模）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列简图中，不是轴对称图形的是（

）A．B． C．D．2．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（

）

A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋3．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④4．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，射线与射线平行，点在射线上，，（为常数，且），为射线上的一动点（不包括端点），将沿翻折得到，连接，则最大时，的度数为（）A． B． C． D．5．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（

）A．与互余 B． C．与互补 D．平分二、填空题6．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）某车标是一个轴对称图形，有条对称轴7．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点．则的度数是．8．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，已知点是内任意一点，点、关于对称，点、关于对称，连接，分别交，于，，连接，．若，则的周长是．9．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点，若，，，的面积为2，则的长为.

10．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）有一无弹性细线，拉直时测得细线长为，现进行如下操作：1．在细线上任取一点；2．将细线折叠，使点与点重合，记折点为点；3．将细线折叠，使点与点重合，记折点为点．继续进行折叠，使点与点重合，并把点和与其重叠的点处的细线剪开，使细线分成长为的三段，当，则细线未剪开时的长为．三、解答题11．（23-24六年级上·黑龙江大庆·阶段练习）画出下列图形中所有的对称轴

12．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边上建一自来水厂向A村与B村供水，若要使水厂到A，B村的水管（同样的料）用料最省，则水厂应建在什么位置？(1)请利用尺规作图的方法找出水厂应建位置（保留作图痕迹）；(2)请根据画法写出每一步的详细作图步骤；(3)请根据画法证明你的结论．13．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，是由经轴对称变换得到的，对称轴为直线．

(1)与全等吗？全等的两个三角形一定能经轴对称变换互相得到吗？(2)分别找出点、点关于直线l的对称点，如果点在内，那么点关于直线的对称点一定在内吗？(3)连接，线段与直线有怎样的关系？14．（23-24七年级下·全国·课后作业）图①是一张长方形的纸带，将这张纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③．

(1)若，请你求出图③中的度数；(2)若，请你直接用含