专题11 二次函数（解答题24题压轴题）-2021年中考数学二模试题考点分类汇编（上海市16区）（解析版）

上海16区二模汇编专题11二次函数解答题24题（2021崇明二模）2.（2021静安二模）3.（2021宝山二模）4.（2021金山二模）5.（2021普陀二模）6.（2021闵行二模）7.（2021虹口二模）8.（2021长宁二模）9.（2021杨浦二模）10.（2021松江二模）11.（2021嘉定二模）12.（2021奉贤二模）13.（2021青浦二模）14（2021黄埔二模）15（2021浦东新区二模）16.（2021松江二模）【2021年崇明二模】24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线上一点，且在第四象限内，联结AC、BC、CD、BD．（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；（2）当S△BCD＝4S△AOC时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如果点E是x轴上的一点，点F是抛物线上一点，当点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，根据﹣4a＝﹣4，可得a＝1，由此即可解决问题．（2）如图1中，设D（m，m2﹣3m﹣4），连接OD．根据S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC＝4S△AOC，构建方程求出m即可解决问题．（3）分两种情形：如图2中，当AE为平行四边形的边时，根据DF＝AE＝1，求解即可．如图3中，当AE，DF是平行四边形的对角线时，根据点F的纵坐标为6，求出点F的坐标，再根据中点坐标公式求解即可．【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣1，0），B（4，0），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，∴﹣4a＝﹣4，∴a＝1，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4，对称轴．（2）如图1中，设D（m，m2﹣3m﹣4），连接OD．∵S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC＝4S△AOC，∴×4×（﹣m2+3m+4）+×4×m﹣×4×4＝4××1×4整理得：m2﹣4m+4＝0，解得m＝2，∴D（2，﹣6）．（3）如图2中，当AE为平行四边形的边时，∵DF∥AE，D（2，﹣6）∴F（1，﹣6），∴DF＝1，∴AE＝1，∴E（0，0），或E′（﹣2，0）．如图3中，当AE，DF是平行四边形的对角线时，∵点D与点F到x轴的距离相等，∴点F的纵坐标为6，当y＝6时，6＝x2﹣3x﹣4，解得x＝﹣2或5，∴F（﹣2，6）或（5，6），设E（n，0），则有＝或＝，解得n＝1或8，∴E（1，0）或（8，0），，综上所述，满足条件的点E的坐标为（0，0）或（1，0）或（8，0）或（﹣2，0）．【2021年静安区】24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（2）小题3分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线与y轴相交于点B，顶点为点C．求此抛物线表达式与顶点C的坐标；求∠ABC的正弦值；将此抛物线向上平移，所得新抛物线顶点为D，且△DCA与△ABC相似，求平移后的新抛物线的表达式．（第2（第24题图）AOxy24．解：（1）∵抛物线经过点A（5，0），∴． （1分）∴． （1分）∴抛物线表达式为，顶点C的坐标为（）． （2分）（2）设抛物线的对称轴与x轴、AB分别相交于点E、F，点E（3，0）．∵点B（0，5），∴OA=OB=5,AB＝，∠OAB=45°，∴EF=AE=2，CF=6． （1分）∴． （2分）过点A作AH⊥BC，垂足为H，∵BC=，∴． （1分）∴．∴． （1分）（3）∵，∴Rt△AEC∽Rt△AHB，∴∠ACE=∠ABC．∵△DCA与△ABC相似，∴或． （1分）∴或．∴CD=或CD=6． （1分）∵抛物线和y轴的交点向上平移的距离与顶点平移的距离相同，∴平移后的抛物线的表达式为或． （1分）2021年宝山24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A（﹣2，0），B（1，0）和点D（﹣3，n），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；（2）将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，求△ODE的面积；（3）如果点P在y轴上，△PCD与△ABC相似，求点P的坐标．【分析】（1）由待定系数法可求出解析式，由抛物线解式可求出点D的坐标；（2）求出E点坐标，由三角形面积公式可得出答案；（3）由点的坐标得出∠ABC＝∠OCD＝45°，若△PCD与△ABC相似，分两种情况：①当∠BAC＝∠CDP时，△DCP∽△ABC；②当∠BAC＝∠DPC时，△PCD∽△ABC，得出比例线段，则可求出答案．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，0），B（1，0）和D（﹣3，n），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣1；∴＝2，∴D（﹣3，2）；（2）∵将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，∴E（﹣2，3），∴S△ODE＝9﹣﹣＝；（3）如图1，连接CD，AC，CB，过点D作DE⊥y轴于点E，∵A（﹣2，0），B（1，0），C（﹣1，0），D（﹣3，2），∴OB＝OC，DE＝CE＝3，AB＝3，BC＝，CD＝3，∴∠ABC＝∠OCD＝45°，∵△PCD与△ABC相似，点P在y轴上，∴分两种情况讨论：①如图2，当∠BAC＝∠CDP时，△DCP∽△ABC，∴，∴，∴PC＝2，∴P（0，1），②如图3，当∠BAC＝∠DPC时，△PCD∽△ABC，∴，∴，∴PC＝9，∴P（0，8）．∴点P的坐标为（0，8）或（0，1）时，△PCD与△ABC相似．2021年金山（本题满分12分，每小题满分4分）已知直线经过点，两点，抛物线与已知直线交于、两点（点在点的右侧），顶点为.求直线的表达式.若抛物线的顶点不在第一象限，求的取值范围.第24题图若直线与直线所成的夹角等于，且点在直线的上方，求抛物线的表达式.第24题图AMDBPECO24.解：（1）∵AMDBPECO所以：，……………（2分）解得：；……………（1分）∴直线的表达式为.……………（1分）（2）∵，∴抛物线的表达式为；……（1分）∴顶点的坐标是；……………（1分）∵抛物线的顶点不在第一象限，且顶点在直线上；……………（1分）∴顶点在轴上或者第四象限，∴，即.……………（1分）∵顶点在直线的上方，抛物线与直线交于、两点；∴抛物线开口向下；∵抛物线与直线都经过点，且点在点的右侧；∴点的坐标是；………………（1分）∵，，∴；设直线与轴交于点，∵直线与直线所成的夹角等于，且点在直线的上方；∴，；在中，，即，∴；…………（1分）设对称轴直线与轴交于点，可知轴，；∴轴，即，解得；∴，可得.………………（1分）∴抛物线的表达式是.………………（1分）2021年普陀区24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC交于点E．（1）求b、c的值和直线BC的表达式；（2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标；（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）通过证明△ACE∽△BCA，可得，即可求解；（3）由相似三角形的性质可得＝，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣6，当x＝0时，y＝﹣6，∴点C（0，﹣6），设直线BC解析式为y＝mx+n，则，解得：，∴直线BC解析式为y＝x﹣6；（2）如图1，过点E作EH⊥OC于H，∵点C（0，﹣6），点B（6，0），点A（﹣2，0），∴OB＝OC＝6，OA＝2，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝6，AC＝＝＝2，∵∠ABC＝∠CAD＝45°，∠ACE＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴，∴＝，∴CE＝，∵EH⊥CO，∠ECH＝45°，∴EH＝HC＝，∴OH＝，∴点E（，﹣）；（3）∵点D的横坐标为d，∴点D（d，d2﹣2d﹣6），（0＜d＜6），如图2，过点D作DF∥AB交BC于点F，∴△ABE∽△DFE，∴，∵＝，∴＝．∵点F在直线BC上，∴点F（d2﹣2d，d2﹣2d﹣6），∴DF＝3d﹣d2，∴＝＝．2021年闵行区24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，0），顶点为点B，对称轴为直线x＝3，且对称轴与x轴交于点C．直线y＝kx+b，经过点A，与线段BC交于点E．（1）求抛物线y＝﹣x2+mx+n的表达式；（2）联结BO、EO．当△BOE的面积为3时，求直线y＝kx+b的表达式；（3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结BD、AD，当BD＝EO时，求∠DAO的余切值．【分析】（1）利用待定系数法和抛物线对称轴公式即可求解；（2）先求出顶点B坐标，根据△BOE的面积为3求出BE，进而求出点E坐标，利用待定系数法即可求解；（3）分BD∥OE和BD与OE不平行两种情况，分别求出D坐标，利用余切定义即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，3），∴，∴，∴抛物线表达式为y＝﹣x2+6x﹣6；（2）把x＝3代入y＝﹣x2+2x﹣5得y＝4，∴抛物线顶点B坐标为（5，4），由△BOE的面积为3得BE×3＝3，∴BE＝2，∵点E在线段BC上，∴点E坐标为E（3，3），把点E（3，2）和点A（8，，∴，∴直线表达式为y＝﹣x+5；（3）如图，①若BD∥OE，则四边形OEBD1为平行四边形，则点D4坐标为（0，2），连接D5A，∴cot∠D1AO＝＝，综上所述，此时∠DAO的余切值为或．【点评】本题为二次函数综合题，考查了二次函数性质，求一次函数解析式，余切定义等知识，熟练掌握各知识点是解题关键，解第（3）步时要注意分类讨论思想应用．2021年虹口区24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图8，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线H：交于点P(2，)，直线分别与直线l和双曲线H交于点E、D．（1）求k和b的值；（2）当点E在线段AB上时，如果ED=BO，求m的值；xOABP图8yED（3）点CxOABP图8yED【答案】24．解：（1）由题意：把点P(2，)代入中，得．………（2分）把点P(2，)代入中，得．………（2分）（2）由题意：E，D．则．…（1分）∵ED=BO，且BO=3，∴．…………（1分）解得．…………（1分）∵点E在线段AB上，∴m<0．∴m的值为．…………（1分）（3）易得．………（1分）①当m<0，点E在点D上方时，．∵，∴．解得．∴，C．………（1分）②当m<0，点D在点E上方时，，方程无实根．③当m>0，点E在点D上方时，，方程无实根．④当m>0，点D在点E上方时，．解得．∴，C．……（1分）∴综上所述C或C.……（1分）【2021年长宁二模】24.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x+c经过点A（1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如果将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，联结AC、BC，当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，求m的值；（3）如果点P是抛物线上一动点，且在点B的右侧，联结PC，直线PA交y轴于点E，当∠PCE＝∠PEC时，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）m＝4；（3）【解析】【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C（0，4），即可求解；（3）求出直线PA的表达式，得到点E的坐标为（0，−t＋4），由∠PCE＝∠PEC，则点P在CE的中垂线上，进而求解．【详解】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得故抛物线的表达式为；（2）令x=0，y=4∴C（0，4）当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C（0，4）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝2，则平移后抛物线再过点C时，m＝4；（3）设点P的坐标为（t，)，设直线PA的表达式为y＝kx+b，代入A、P坐标得，解得，∴直线PA的表达式为y＝（）x，令x=0，y=故点E的坐标为（0，﹣t+4），而点C（0，4），∵∠PCE＝∠PEC，则点P在CE的中垂线上，由中点公式得：yP＝（yC+yE），即＝（t+4），解得t＝1（舍去）或，故点P的坐标为．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、中垂线的性质、图形的平移等，有一定的综合性，难度适中．【2021年杨浦二模】24.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+6x+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，当四边形BCPQ是平行四边形时，求点Q的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，联结QC，在∠QCB内作射线CD与抛物线的对称轴相交于点D，使得∠QCD＝∠ABC，求线段DQ的长．【答案】（1）y＝﹣x2+6x﹣5；（2）Q（3，﹣2）；（3）8【解析】【分析】（1）求出A、B坐标代入y＝ax2+6x+c即可得答案；（2）求出C坐标，设P、Q坐标，根据平行四边形两条对角线的中点重合可列方程求解；（3）CD与AB交于N，由∠QCD＝∠ABC可得△CQN∽△BQC，求出QN及N坐标，再求CN解析式及D坐标即可得出答案．【详解】解：（1）在y＝x﹣5中令x＝0，得y＝﹣5，令y＝0得x＝5，∴A（5，0），B（0，﹣5），将A（5，0），B（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+6x﹣5；（2）在y＝﹣x2+6x﹣5中令y＝0得x1＝1，x2＝5，∴C（1，0），点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，设P（m，﹣m2+6m﹣5），Q（n，n﹣5），则BP的中点为（，），CQ的中点为（，），∵四边形BCPQ是平行四边形，∴线段BP的中点即是CQ的中点，∴，解得或，∴Q（3，﹣2）；（3）设CD与AB交于N，如图：∵B（0，﹣5），C（1，0），Q（3，﹣2），∴CQ＝2，BQ＝3，∵∠QCD＝∠ABC，∠CQN＝∠BQC，∴△CQN∽△BQC，∴，即＝，∴QN＝，设N（t，t﹣5），而Q（3，﹣2），∴＝，∴t＝或t＝，∵在∠QCB内作射线CD，∴t＝，N（，﹣），设CN解析式为y＝kx+b，将N（，﹣），C（1，0）代入得：，解得，∴CN解析式为y＝﹣5x+5，令x＝3得y＝﹣10，∴Q（3，﹣10），∴DQ＝﹣2﹣（﹣10）＝8．【点睛】本题考查二次函数、平行四边形及相似三角形综合知识，解题关键是设出坐标，利用相似三角形性质求出QN的长度．【2021年松江二模】24.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣5a经过点A．将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线的顶点在△OBC的内部，求a的取值范围．【答案】（1）C（5，3）；（2）x=2；（3）﹣＜a＜﹣．【解析】【分析】（1）由y=3x+3与x、y轴分别交于点A、B，可求出A、B坐标，B向右移动5个单位即得C坐标；（2）将A坐标代入y=ax2+bx-5a可得b=-4a，根据对称轴公式可得答案；（3）对称轴x=2与BC交于D，与OC交于E，抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，用a表示顶点纵坐标列不等式可得答案．【详解】解：（1）在y=3x+3中，令x=0得y=3，令y=0得x=-1，∴A（-1，0），B（0，3），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C．∴C（5，3）；（2）∵A（-1，0），抛物线y=ax2+bx-5a经过点A，∴0=a-b-5a，即b=-4a，∴抛物线y=ax2+bx-5a对称轴为；（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E设OC解析式为y＝kx，∵（5，3），∴3＝5k，∴，∴OC解析式为y＝x，令x＝2得，即，由（1）知b＝﹣4a，∴抛物线为y=ax2-4ax-5a，∴顶点坐标为（2，-9a），抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，而D（2，3），∴，∴﹣＜a＜﹣．【点睛】本题考查点的平移、二次函数综合．（1）中会求一次函数与坐标轴交点是解题关键；（2）中掌握对称轴公式是解题关键；（3）掌握顶点公式是解题关键．【2021年嘉定二模】24.在平面直角坐标系xOy（如图）中，二次函数f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常数，且a≠0）的图象是开口向上的抛物线．（1）求该抛物线的顶点P的坐标；（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1与y轴的交点记为A，如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围；（3）如果f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意一个函数解析式；结合函数图象，求a的取值范围．【答案】（1）P（2）0<a<5（3）＜【解析】【分析】(1)把抛物线代入顶点式为，即可求顶点坐标；(2)抛物线与y轴的交点，横坐标为O，即坐标为，根据已知条件，即可求a的取值范围为0<a<5；(3)根据已知、、、有且只有一个大于0，即其余的小于或等于0，由对称轴为开口向上，可以得出＞=＞，根据>0，，可以求出a的范围．即可以写出符合条件的函数解【详解】解：(1)∵抛物线的方程为∴抛物线顶点坐标为；(2)∵为抛物线与y轴的交点，∴点坐标为，由线段上的整点个数小于4，则可知a-1<4,a<5，抛物线的开口向上，故a的取值范围为0<a<5；(3)已知、、、有且只有一个大于0，（即其余的小于或等于0）由题可知该函数对称轴为，开口方向向上，故有＞=＞，∴>0，∴得，∴，∴，∴；∴，得，取；∴∴a的取值范围为＜．【点睛】本题考查二次函数的应用，解本题关键熟练掌握二次函数由一般式转为顶点式，抛物线的性质解不等式等．【2021年奉贤二模】24.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过点A、C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线先向右平移m个单位，再向上平移1个单位，此时点C恰好落在直线AB上的点C′处，求m的值；（3）设点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，联结AC，如果点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，求点F的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x；（2）4；（3）F坐标为（4，）或（4，﹣1.5）．【解析】【分析】（1）求出A坐标，将A、C坐标代入y＝ax2＋bx即可得答案；（2）求出AB解析式，用m表示C′坐标代入即可得答案；（3）分F在A上方和下方两种情况画出图形，构造相似三角形利用对应边成比例可得答案．【详解】解：（1）∵B（0，2），∴OB＝2，∵点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，∴A（4，0），∴将A（4，0），C（1，﹣）代入y＝ax2＋bx得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x；（2）设直线AB的解析式是y＝mx＋n，将A（4，0），B（0，2）代入得：，解得，∴直线AB的解析式是y＝﹣x＋2，∵抛物线y＝x2﹣2x向右平移m个单位，再向上平移1个单位，则其上的点C也向右平移m个单位，再向上平移1个单位，而C（1，﹣），∴C′（1＋m，﹣），∵C′（1＋m，﹣）在直线AB上，∴﹣＝﹣（1＋m）＋2，∴m＝4；（3）∵y＝x2﹣2x对称轴为x＝2，B（0，2），点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，∴B′（4，2），∵A（4，0），∴直线AB′为x＝4，点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，分两种情况：①F在A上方，如图：过A作AG⊥CF于G，过G作GH//x轴交直线x＝4于H，过C作CM⊥x轴交直线GH于M，∵B（0，2），A（4，0），∴tan∠BAO＝，∵∠ACF＝∠BAO，AG⊥CF，∴tan∠ACF＝，即，而∠MCG＝90°﹣∠MGC＝∠AGH，∠M＝∠AHG，∴△MCG∽△HGA，∴，∴MC＝GH，MG＝2AH，设G（m，n），则MC＝n＋1.5，MG＝m﹣1，GH＝4﹣m．AH＝n，∴n＋1.5＝2（4﹣m），且m﹣1＝2n，解得m＝2.8，n＝0.9，∴G（28，0.9），又C，∴直线GC解析式为：y＝x﹣，令x＝4得y＝∴F（4，），②F在A下方，延长AC交y轴于D，过C作CF//x轴交直线x＝4于F，∵A（4，0），C（1，﹣1.5），∴直线AC解析式为y＝x﹣2，∴D（0，﹣2），∵B（0，2），∴B，D关于x轴对称，∴∠BAO＝∠DAO，若∠ACF＝∠BAO，则∠ACF＝∠DAO，∴CF//x轴，∴F综上所述，∠ACF＝∠DAO，F坐标为或或．【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的平移、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【2021年青浦二模】24．（12分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO+∠PEO）＝时，求OE的长．24．解：（1）∵抛物线经过点A（－1，0），对称轴是直线x＝1，∴……（2分），解得 （1分）∴抛物线的解析式为．把x＝1代入抛物线的解析式，得y＝4．∴D（1，4）． （1分）（2）∵点P为抛物线第三象限上的点，且四边形PBDC为梯形，∴CD∥BP． （1分）延长DC交x轴负半轴于点F，过点D作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作x轴的垂线，垂足为点H．∵C（0，3），D（1，4），∴GD＝CG＝1．∴∠GDC＝45°．∵GD∥BF，∴∠DFB＝∠GDC＝45°．∵CD∥BP，∴∠PBF＝∠DFB＝45°． （1分）∴∠PBF＝∠HPB，∴PH＝BH．设点P的坐标为．由题意可知B（3，0）．得． （1分）解得，或．（舍）∴P（－2，－5） （1分）（3）∵P（－2，－5），∴在Rt△PHO中，． （1分）∵，∴．由（2）可知，，因此，所以点E在点B的右侧．又∵，∴． （1分）∵，∴△OPB∽△OEP． （1分）∴，∴，∴． （1分）25．解：（1）联结OC．∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＜90°．∴∠CBD为钝角．∵△BCD为等腰三角形，∴∠D＝∠BCD． （1分）∴∠OCB＝∠OBC＝∠D+∠BCD＝2∠D． （1分）∴∠OCA＝180°－∠OCD＝180°－3∠D．∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA＝180°－3∠D． （1分）在△OAD中，∵∠OAC＋∠D＋∠AOB＝180°，∴∠D＝（m）°． （1分）（2）联结OC，过点C作CF⊥OD，垂足为点F．∵点C是的中点，∴＝，∴∠BOC＝∠AOC． （1分）∵∠AOB＝90°，∴∠BOC＝45°． （1分）在Rt△COF中，OC＝2，∴CF＝． （1分）∵CF⊥OD，AO⊥OD，∴AO∥CF．∴． （1分）∴．…（1分）∴． （1分）（3）设折叠后的圆弧所在圆的圆心为O'，联结O'E，O'O，O'O交直线AD于点H．∵新圆弧由折叠而得，且与直线OB相切于点E，∴O'E＝2，O'E⊥OD．当点E在线段OB上时，在Rt△O'OE中，OE＝1，O'E＝2，则O'O＝．∵点O'与点O关于直线AC对称，∴直线AC垂直平分线段O'O．∴OH＝．∴在Rt△AOH中，AH＝． （1分）在Rt△DOH中，tan∠O'OE＝2＝，∴DH＝．∴AD＝DH＋AH＝． （1分）当点E在线段BO的延长线上时，同理可得，AH＝，DH＝．∴AD＝DH－AH＝． （2分）【2021年黄浦区二模】24．（12分）如果抛物线C1：y＝ax2+bx+c与抛物线C2：y＝﹣ax2+dx+e的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C2是C1的“对顶”抛物线．（1）求抛物线y＝x2﹣4x+7的“对顶”抛物线的表达式；（2）将抛物线y＝x2﹣4x+7的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线y＝x2﹣4x+7形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形AMBN是正方形时，求正方形AMBN的面积．（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，那么系数b与d，c与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．【分析】（1）先求出抛物线C1的顶点坐标，进而得出抛物线C2的顶点坐标，即可得出结论；（2）设正方形AMBN的对角线长为2k，得出B（2，3+2k），M（2+k，3+k），N（2﹣k，3+k），再用点M（2+k，3+k）在抛物线y＝（x﹣2）2+3上，建立方程求出k的值，即可得出结论；（3）先根据抛物线C，C2的顶点相同，得出b，d的关系式，再由两抛物线的顶点在x轴，求出c，e的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，∴顶点为（2，3），∴其“对顶”抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，即y＝﹣x2+4x﹣1；（2）如图，由（1）知，A（2，3），设正方形AMBN的对角线长为2k，则点B（2，3+2k），M（2+k，3+k），N（2﹣k，3+k），∵M（2+k，3+k）在抛物线y＝（x﹣2）2+3上，∴3+k＝（2+k﹣2）2+3，解得k＝1或k＝0（舍）；∴正方形AMBN的面积为；（3）根据抛物线的顶点坐标公式得，抛物线C1：y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣，），抛物线C2：y＝﹣ax2+dx+e的顶点为（，），∵抛物线C2是C1的“对顶”抛物线，∴﹣＝，∴b＝﹣d，∵抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，∴＝，∴c＝﹣e，即b＝﹣d，c＝﹣e．【2021年浦东新区二模】24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP∥x轴，求∠MCP的正弦值．【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据图象上点的坐标特征求得B（4，0），然后分两种情况讨论求得即可；（3）设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n），即可求得P（2，n），代入y＝x﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．求得顶点坐标，然后解直角三角形即可求得结论．【解答】解：（1）由题意，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0），得0＝4+2b，解得b＝﹣2，∴抛物线的表达式是y＝x2﹣2x．∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣