七年级数学下册讲义（北师大版）第五章第03讲 简单的轴对称图形-垂直平分线和角平分线(7类热点题型讲练)（解析版）

第03讲简单的轴对称图形—垂直平分线和角平分线(7类热点题型讲练)1．理解线段的垂直平分线的概念；2．掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；(重点)3．能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算．(难点)4．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点)5．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)知识点01线段的垂直平分线（简称中垂线）定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.作法：作已知线段的垂直平分线.知识点02角平分线的性质1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.3.作已知角的角平分线.题型01根据线段垂直平分线的性质求解【例题】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，，的周长为，则的长为．

【答案】/9厘米【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．先根据线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”可得，再利用的周长为，即可求出的长．【详解】解：∵是的垂直平分线，∴，∴的周长，∵，的周长为，∴，解得，故答案为：．【变式训练】1．（2024·山东滨州·一模）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线交AB于点．若，，则长为．【答案】10【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理，先根据作图痕迹得垂直平分，则有，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：连接，根据作图痕迹得垂直平分，∴，∵，，∴在中，，则由勾股定理得，即，解得，故答案为：10．2．（23-24八年级下·四川雅安·阶段练习）如图所示，在中，分别垂直平分和，交于．(1)若，求的度数；(2)若的周长为，求的长度．【答案】(1)；(2)．【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．（1）根据分别垂直平分和，可知，进而得到，即可求解；（2）依据分别垂直平分和，得出，进而得到的长即周长．【详解】（1）解：∵分别垂直平分和，∴，∴，∵，∴；又∵，∴．（2）解：∵的周长为，∴，由（1）知，，∴，即．题型02线段垂直平分线的实际应用【例题】（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）如图，政府计划在三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（

）A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点【答案】A【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．【详解】∵小学到三个村庄的距离相等，∴小学应该修建在的三边的垂直平分线的交点，故选：A．【变式训练】1．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（

）A．，两边垂直平分线的交点处 B．，两边中线的交点处C．，两边高线的交点处 D．，两内角平分线的交点处【答案】A【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线性质定理是解题的关键．【详解】解：A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，∴文化广场应建在，两边垂直平分线的交点处，故选：A．题型03作垂线（尺规作图）【例题】（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，．(1)尺规作图：作边的垂直平分线，交与点D，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】此题考查了三角形内角和定理，尺规作垂直平分线以及性质，等边对等角等知识，（1）根据线段中垂线的作法作出图形；（2）首先根据三角形内角和定理得到，然后根据垂直平分线的性质得到，求出，进而求解即可．【详解】（1）如图所示，（2）∵，∴∵垂直平分∴∴∴．【变式训练】1．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，某社区要在居民区A，B所在的直线上建一图书室E，并使图书室E到本社区两所学校C和D的距离相等．已知，，垂足分别为A，B，且，，．(1)请用直尺和圆规在图中作出点E（不写作法，保留作图痕迹）；(2)求图书室E到居民区A的距离．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了作图-垂直平分线，勾股定理的应用：（1）连接，作的垂直平分线交于点E，根据垂直平分线上的点到两端的距离相等，点E即为所求作；（2）设图书室E到居民区A的距为，利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】（1）解：如图，点E即为所求作．（2）解：设图书室E到居民区A的距为，即，，，，，，由勾股定理得，，即，解得：图书室E到居民区A的距离为．2．（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，某居民小区在三栋住宅楼，，之间修建了供居民散步的三条绿道，小区物业打算在绿道内部修建一个凉亭，按照设计要求，凉亭到三条绿道的距离相等，请在图中标注凉亭的位置，保留作图痕迹，并说明设计理由．【答案】见解析【分析】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握角平分线的性质．作的平分线，的平分线，交于，点即为凉亭的位置．【详解】解：作的平分线，的平分线，交于，如图：点即为凉亭的位置；理由：平分，到的距离等于到的距离；同理到的距离等于到的距离；到的距离等于到的距离，也等于到的距离；到三条绿道的距离相等．题型04根据角平分线的性质定理求解【例题】（23-24八年级下·广东茂名·期中）如图，平分，，如果，那么点到的距离等于【答案】6【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出．过作于，由角平分线的性质推出，即可得到点到的距离等于6．【详解】解：过作于，平分，，，点到的距离等于6．故答案为：6．【变式训练】1．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，是的角平分线，于点，若，则的面积为．【答案】6【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于点，由角平分线的性质可知，再由三角形面积公式即可得出结论．【详解】过点作于点，∵是的角平分线，，，∴，∵，∴故答案为：6．2．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知是平分线上一点，，交于点，，垂足为，且，则的面积等于．【答案】9【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．过点作于点，然后根据平分线的性质可知，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到的度数，从而可以求得的长，本题得以解决．【详解】解：过点作于点，如图所示，平分，，，，，，，，，,，，，，的面积；故答案为：9．题型05根据角平分线的性质定理证明【例题】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，四边形中，，点E为上一点，平分，且平分．

(1)求证：；(2)求证：点E为的中点．【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再利用三角形内角和定理求得，即可得出结论；（2）过点E作于点F，根据角平分线的性质可得，，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵平分，平分，∴，，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴；（2）证明：过点E作于点F，∵，，平分，∴，∵，，平分，∴，∴，即点E为的中点．

【点睛】本题考查角平分线的定义及性质、平行线的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．【变式训练】1．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）教材第56页拓广探索12题：(1)如图，在中，是它的角平分线

①求证：；②另一方面，我们进一步探索，可以证明．请你选择上述两结论中的其中一个进行证明；(2)由（1）的探索我们可以得到关于的角平分线的一个性质，请你总结这个性质（结合图1表述）；(3)运用你所得到的结论完成下列证明：如图2，是的平分线，交的延长线于点．求证：．【答案】(1)证明见解析；(2)三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例（答案不唯一，合理即可）；(3)证明见解析．【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形面积公式等知识点，掌握等高（同高）的两个三角形的面积比等于底边之比是解题的关键．（1）①由角平分线的性质得，再根据三角形的面积公式即可解答；②直接根据三角形的等面积法即可解答；（2）直接根据（1）总结归纳性质即可；（3）先根据角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定可得，再根据（1）的结论即可解答．【详解】（1）①证明：过D作,∵是角平分线，,∴,

∵，∴；

②证明：过A作于点H，

∵，∴．（2）解：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例（答案不唯一，合理即可）．（3）证明:∵是的平分线,∴,

∵,∴,∴,∴,

∵是的角平分线，∴，∴．2．（22-23八年级上·上海普陀·期中）如图，在中，是的平分线．(1)在线段上任意取一点，过点作，交于点，交于点，通过这样的作图能得到结论，那么依据是_________．(2)如果，平分交于点，且、相交于点，求证：．(3)如果，在边上截取一点，连接，使，连接．请直接写出的度数．【答案】(1)三线合一(2)见解析(3)【分析】（1）根据题意可得，得出，根据等腰三角形的性质即可求解；（2）过点作，垂足分别为，连接，证明，即可得证；（3）设，，根据三角形的外角的性质得出，，延长至，过点分别作的垂线，垂直分别为，证明平分，进而即可求解．【详解】（1）解：∵是的平分线，，∴∴∴∵∴（三线合一），故答案为：三线合一；（2）过点作，垂足分别为，连接∵平分，是的平分线，∴平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在与中，，∴，∴；（3）∵是的平分线，∴，设，∵，∵，∴，∴，如图，延长至，过点分别作的垂线，垂直分别为，∵，∴，∴是的角平分线，∵，∴，∴是的角平分线，又，∴，∴，∴是的角平分线，∴，∴，∴，即．【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．题型06角平分线的性质实际应用【例题】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（

）

A．在边，两条高的交点处B．在边，两条中线的交点处C．在边，两条垂直平分线的交点处D．在和两条角平分线的交点处【答案】D【分析】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，理解角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质求解即可．【详解】解：∵亭子中心到三条马路的距离相等，∴亭子中心就是的三个内角的平分线的交点，因此，A、B、C三个选项都不符合要求，设和两条角平分线的交于点，作于点，于点，于点，如图所示，

∵平分，，，∴，同理可得：，∴，即点到三边的距离相等，亭子应建在点，因此，D选项正确．故选：D．【变式训练】1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线a，b，c，表示三条相互交叉的公路，交点为三个小区，现拟建一个超市，要求它到三个小区的距离都相等，则可以供选择的地址有（

）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处【答案】A【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．由三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等即可求解．【详解】解：如图所示，可供选择的地址只有1个．

故选：A．题型07作角平分线（尺规作图）【例题】（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图1，两条交叉马路，中间区域建有A，B两个温室花房．现要在两条马路，之间的空场处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路，的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等．如何确定交易中心P的位置?如图2，利用尺规作图求作点P（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】见解析【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的实际应用，解题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的性质．作的平分线和线段的垂直平分线，则交点即为所求点．【详解】解：如图，点为所求；【变式训练】1．（2024·广东茂名·一模）如图，已知，，是的一个外角．(1)请用尺规作图法，求作射线，使平分．（保留作图痕迹，不写作法）(2)证明：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）以C为圆心，任意长为半径画弧交和于点M和N，再以点M和N为圆心，大于的一半为半径画弧，两弧交于一点P，连接，即可作答．（2）因为，得，根据外角性质，得，根据内错角相等两直线平行，即可作答．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：∵，∴．∵，平分．∴．∴．∴．2．（23-24九年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点．(1)若，求的度数；(2)若，垂足为，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析．【分析】此题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．（）由可求出，再根据作图可知是的平分线，从而求解；（）通过平分，得，由，则，故有，又，则有，最后根据即可求证；【详解】（1）∵，∴，又∵，∴，由作法知，是的平分线，∴；（2）证明：∵平分，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，在和中，，∴．一、单选题1．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，．若和分别垂直平分和，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．由，可求得的度数，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而求得的度数，则可求得答案．【详解】解：∵，∴，∵和分别垂直平分和，∴，∴，∴，∴．故选：A．2．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，，点D是的角平分线的交点，则点D到的距离为（）

A．1 B．2 C．3 D．【答案】A【分析】本题主要考查了角平分线的性质，先利用角平分线的性质得出，再根据等面积法计算即可.【详解】解：如图所示，过点D作作、、分别垂直于，、，垂足分别为E、F、G，连接

与的角平分线交于点D，，∴∴，，∴，∴点D到的距离为1，故选：A．3．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接，延长交于D，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得，，根据三角形外角的性质即可求出．【详解】解：连接AP，延长BP交AC于D，，∵点P是，的垂直平分线的交点，，，，，故选：A．4．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查尺规作图，等腰三角形、直角三角形的性质，掌握等腰三角形、直角三角形的性质以及尺规作图的原理是正确解答的前提．由尺规作图可得，再根据等腰三角形、直角三角形的性质进行计算即可．【详解】解：由作图可得，于，，，又，，，，故选：C．5．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（

）①的面积的面积；②；③；④．A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．③④【答案】C【分析】根据是中线，得到的面积的面积，可判断①正确；根据，是高，得，，结合是角平分线，可证，继而得到，，结合可得，继而判定②正确；根据，，可判定，故③正确；过点F作于点M，结合，，得到，根据直角三角形斜边大于直角边，得到，可判断④错误，解答即可，本题考查了三角形的高线、中线、角的平分线，直角三角形的特征，熟练掌握相应知识是解题的关键．【详解】∵是中线，∴的面积的面积，∴①正确；∵，是高，∴，，∵是角平分线，∴，∴，，∵∴，∴②正确；∵，，∴，故③正确；过点F作于点M，∵，，∴，根据直角三角形斜边大于直角边，∴，∴④错误，故选C．二、填空题6．（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长．【答案】/19厘米【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解答本题的关键．根据是的垂直平分线，，可得，，再根据的周长为，可得，从而可得答案．【详解】解：∵是的垂直平分线，，∴，，又∵的周长为，∴，∴，即的周长为．故答案为：．7．（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积为【答案】2【分析】本题考查了基本作图以及角平分线的性质．利用基本作图得到平分，利用角平分线的性质得到G点到的距离为，然后根据三角形面积公式计算的面积；【详解】解：由作图得平分，∵，点到的距离等于的长，即点到的距离为，∴的面积；故答案为：2．8．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，的面积是12，，的平分线交于点D，M，N分别是线段，上的动点，则的最小值是．

【答案】3【分析】本题考查角平分线的性质，点到直线的距离垂线最短，过作，过作，根据角平分线性质得到，结合垂线段最小过作即可得到最小距离点即可得到答案；【详解】解：过作，过作，∵是的平分线，，，∴，，

∴，∴当三点共线时最小，过作，即可得到，∵的面积是，，∴，故答案为：3．9．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点D是上的一点，，的垂直平分线分别交，于点E，F，则．

【答案】/100度【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，也考查了等腰三角形的性质．先根据线段的垂直平分线的性质得到，则根据等腰三角形的性质得到，然后利用平角的定义得，利用三角形内角和定理得到，所以．【详解】解：∵，的垂直平分线分别交，于点E，F，∴，∴，∵，，∴．故答案为：．10．（2023·四川泸州·二模）如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，以为直角边，为直角，在同侧构造，点M为的中点，连接，则的最小值为【答案】3【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形性质，直角三角形斜边中线性质，角平分线性质等．连接，并延长至，由直角三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，当时，最小，则可得出答案．【详解】解∶连接，并延长至，∵，为的中点，∴，∵等边，∴，∵，∴，∴，∴在的角平分线上运动，当时，最小，∴，故答案为：3．三、解答题11．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）A、B是两个村庄，是两条马路．为发展经济，提高农民收入，镇政府决定建立一个蔬菜批发市场，选址要使市场到两条马路和两个村庄的距离都相等．请你用尺规在图中找出市场的位置．（不用写作法，但是要保留作图痕迹）

【答案】见解析【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的实际应用，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，到两个村庄的距离相等，则蔬菜批发市场在线段的垂直平分线上，到两条马路的距离相等，则蔬菜批发市场在夹角的角平分线上，据此作图即可．【详解】解：如图所示，作线段的垂直平分线和夹角的角平分线，二者的交点P即为所求．

12．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接．(1)求证：；(2)若的周长为，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键；（1）根据线段垂直平分线的性质得到，等量代换证明结论；（2）根据三角形的周长公式得到，根据计算，即可得到答案．【详解】（1）证明：∵垂直平分，∴，∵，，∴，∴．（2）解：∵的周长为，∴，∵，∴，∵，∴．13．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．(1)求证：．(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质及三角形内角和：（1）连接，利用线段垂直平分线的性质证得，再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论；（2）由三角形的外角的性质，，在中，利用三角形内角和即可求解；熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键．【详解】（1）证明：连接，垂直平分，，，，是的中点，．（2），，∴由三角形的外角的性质，，，，在中，，，．14．（22-23八年级上·辽宁营口·期中）感知：如图1，平分，．探究：如图2，平分，．，求证：．【答案】证明见解析【分析】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，过点D作于E，交的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，通过导角证明，进而得出，即可证明．【详解】证明：如图，过点D作于E，交的延长线于F，∵平分，，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．15．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，、分别垂直平分和，交于点M、N，垂