2023七年级数学上册 第3章 一次方程与方程组3.5 三元一次方程组及其解法教案 （新版）沪科版

2023七年级数学上册第3章一次方程与方程组3.5三元一次方程组及其解法教案（新版）沪科版主备人备课成员教学内容分析本节课的主要教学内容是三元一次方程组及其解法。教学内容与学生已有知识的联系如下：

1.学生已掌握一元一次方程和二元一次方程的解法，为本节课的学习奠定了基础。

2.本节课将引导学生将已知的解法扩展到三元一次方程组，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.学生需了解三元一次方程组的定义、解的判定方法以及解法步骤，以便在实际问题中应用。

本节课的教学内容主要包括：

1.三元一次方程组的定义及示例。

2.三元一次方程组的解法：代入法、加减法、行列式法等。

3.三元一次方程组的应用：解决实际问题，如相遇问题、分配问题等。核心素养目标本节课的核心素养目标包括：

1.逻辑推理：通过学习三元一次方程组的概念和解法，培养学生运用逻辑推理解决数学问题的能力。

2.数据分析：使学生能够运用三元一次方程组解决实际问题，培养学生的数据分析能力。

3.数学建模：通过解决实际问题，培养学生建立数学模型的能力，提高学生的数学应用意识。

4.抽象思考：培养学生从具体问题中抽象出三元一次方程组，并运用解法求解的能力，锻炼学生的抽象思考能力。

5.问题解决：培养学生运用所学知识解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。学情分析学生在进入七年级数学上册第3章一次方程与方程组的学习之前，已经掌握了整式的运算、一元一次方程和二元一次方程的基础知识。他们对数学运算和逻辑推理有一定的理解，但面对更加复杂的三元一次方程组，可能会感到困惑和挑战。

1.知识层次：大部分学生能够理解和运用一元一次方程和二元一次方程的解法，但三元一次方程组的解法涉及到更多的变量和可能的解，学生需要将已有的知识进行扩展和应用。

2.能力层次：学生在解决数学问题时，通常能够进行单一变量或两个变量的运算和推理，但对于三个变量的关系和运算，可能会感到难以把握。因此，学生需要通过本节课的学习，提高自己在数学问题解决方面的能力。

3.素质层次：学生在思维方式上，可能更多倾向于直观和形象的思考，对于抽象的数学概念和解法，需要教师的引导和培养。同时，学生的数学语言表达能力和数学写作能力也需要进一步的提高。

4.行为习惯：学生在学习过程中，可能存在对复杂问题的畏惧心理，容易放弃或不愿意深入思考。因此，教师需要通过鼓励和激励，帮助学生建立自信心，培养他们面对挑战、坚持解决问题的良好习惯。

5.对课程学习的影响：基于以上分析，学生在学习三元一次方程组及其解法时，可能会遇到知识掌握不牢固、解题思路不清晰、解题步骤不规范等问题。因此，教师需要针对学生的实际情况，设计合适的学习活动和教学方法，帮助学生克服困难，提高学习效果。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与策略1.选择适合教学目标和学习者特点的教学方法：

-讲授法：教师通过讲解三元一次方程组的概念、解法及其应用，引导学生掌握基本知识。

-案例研究：教师提供具体的三元一次方程组案例，让学生分析、讨论并解决问题，提高学生的实际应用能力。

-项目导向学习：教师组织学生分组完成有关三元一次方程组的项目，培养学生的团队合作能力和问题解决能力。

2.设计具体的教学活动：

-角色扮演：学生分组扮演不同角色，如侦探、医生等，通过角色扮演的方式，引导学生发现并解决三元一次方程组问题。

-实验操作：学生在实验室进行有关三元一次方程组的实验，如利用物理实验验证方程组的解，增强学生的实践操作能力。

-数学游戏：教师设计有关三元一次方程组的数学游戏，如解方程组竞赛，提高学生的学习兴趣和积极性。

3.确定教学媒体和资源的使用：

-PPT：教师利用PPT展示三元一次方程组的概念、解法及其应用，为学生提供直观、生动的学习资源。

-视频：教师播放有关三元一次方程组的教学视频，让学生从不同角度理解和解题方法。

-在线工具：教师引导学生利用在线数学工具，如数学软件、网站等，进行三元一次方程组的练习和求解，提高学生的自主学习能力。教学流程（一）课前准备（预计用时：5分钟）

学生预习：

发放预习材料，引导学生提前了解三元一次方程组的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。

设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习三元一次方程组内容做好准备。

教师备课：

深入研究教材，明确三元一次方程组教学目标和重难点。

准备教学用具和多媒体资源，确保教学过程的顺利进行。

设计课堂互动环节，提高学生学习三元一次方程组的积极性。

（二）课堂导入（预计用时：3分钟）

激发兴趣：

提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入学习状态。

回顾旧知：

简要回顾上节课学习的一元一次方程和二元一次方程的内容，帮助学生建立知识之间的联系。

提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为三元一次方程组新课学习打下基础。

（三）新课呈现（预计用时：25分钟）

知识讲解：

清晰、准确地讲解三元一次方程组的概念、解法及其应用，结合实例帮助学生理解。

突出重点，强调难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。

互动探究：

设计小组讨论环节，让学生围绕三元一次方程组问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。

鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。

技能训练：

设计实践活动或实验，让学生在实践中体验知识的应用，提高实践能力。

（四）巩固练习（预计用时：5分钟）

随堂练习：

随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对三元一次方程组知识的掌握情况。

鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决疑问。

错题订正：

针对学生在随堂练习中出现的错误，进行及时订正和讲解。

引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。

（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）

知识拓展：

介绍与三元一次方程组内容相关的拓展知识，拓宽学生的知识视野。

引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。

情感升华：

结合三元一次方程组内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。

鼓励学生分享学习心得和体会，增进师生之间的情感交流。

（六）课堂小结（预计用时：2分钟）

简要回顾本节课学习的三元一次方程组内容，强调重点和难点。

肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。

布置作业：

根据本节课学习的知识，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。知识点梳理1.三元一次方程组的定义：含有三个未知数，未知数的最高次数为1的方程组。

2.三元一次方程组的解：能够使方程组中每个方程都成立的未知数的值。

3.三元一次方程组的解法：

-代入法：先解出一个未知数，然后将其代入其他方程中，解出其余未知数。

-加减法：将方程组中的方程两两相加或相减，消去一个未知数，然后解出其余未知数。

-行列式法：利用行列式求解方程组的解。

4.二元一次方程与三元一次方程的关系：三元一次方程可以看作是二元一次方程的推广，解法也有相似之处。

5.三元一次方程组的应用：

-实际问题：如分配问题、相遇问题等。

-线性规划：在一定的约束条件下，求解目标函数的最值。

6.三元一次方程组的解的判定方法：

-判别式：利用行列式判断方程组是否有唯一解、无限多解或无解。

-图像法：将方程组的解表示在坐标系中，观察图像与约束条件的交点情况。

7.三元一次方程组的解的性质：

-唯一性：在一定条件下，方程组有唯一解。

-无限性：在一定条件下，方程组有无限多解。

-无解：在一定条件下，方程组无解。

8.三元一次方程组的解与方程组中未知数的系数的关系：

-系数相等：方程组的解中，未知数的系数相等。

-系数不等：方程组的解中，未知数的系数不等。

9.三元一次方程组的解与实际问题的关系：

-相符性：方程组的解与实际问题的条件相符。

-不相符性：方程组的解与实际问题的条件不相符。

10.三元一次方程组的解在实际问题中的应用：

-优化问题：如最小化成本、最大化收益等。

-分配问题：如分配资源、分配任务等。

-决策问题：如生产计划、投资决策等。教学反思今天讲授的三元一次方程组，对学生来说是一个全新的概念，他们之前只接触过一元和二元的方程。我从他们的眼神中看到了困惑，也看到了求知欲。课后，我坐在办公室里，回顾了整个教学过程，有以下几点反思。

首先，我意识到三元一次方程组对学生来说是一个较大的跨度，他们在理解上会有一定的困难。因此，我在导入新课的时候，特意通过一个生活中的实际问题引入，让学生感受到数学与生活的联系，激发他们的学习兴趣。同时，我也放慢了讲解的速度，尽可能地清晰、详细地解释每一个概念，让学生慢慢消化。

其次，在讲解解法的时候，我尽量通过例题来引导学生，让学生参与到解题的过程中来。我发现，让学生自己动手动脑，而不是被动地接受，能让他们更好地理解和记忆。此外，我也鼓励学生提问，及时解答他们的疑问，使他们能够及时地巩固所学知识。

然后，对于课堂的互动，我觉得还需要加强。虽然我设计了小组讨论的环节，但是我发现学生的参与度并不是很高。下一步，我计划设计一些更有趣的小组活动，比如数学游戏、竞赛等，以提高学生的参与度和积极性。

此外，我也意识到，对于学生的作业，我需要更加严格地要求。我发现有些学生在完成作业的时候，并没有真正地理解题目，只是机械地模仿答案。因此，我计划在布置作业的时候，增加一些思考题，让学生能够通过作业进一步提高他们的数学思维能力。

最后，我觉得我需要在教学中更加注重学生的个体差异。每个学生都有自己的学习节奏和方式，我需要根据他们的特点，进行因材施教，使每个学生都能在我的课堂上得到好的学习效果。课堂课堂评价是了解学生学习情况的重要途径，也是教师调整教学策略的重要依据。在本节课中，我采用了提问、观察和测试等方式进行课堂评价。

首先，提问是一种常用的课堂评价方式。我通过提问，了解学生对三元一次方程组概念的理解程度，以及对解法的掌握情况。通过学生的回答，我可以及时发现问题，并进行针对性的讲解和辅导。例如，在讲解三元一次方程组的解法时，我发现部分学生对代入法和加减法不太理解，我就及时进行了详细解释和示例讲解，帮助学生理解和解法。

其次，观察也是一种重要的课堂评价方式。我在课堂上观察学生的反应和参与度，了解他们对学习的兴趣和积极性。通过观察，我可以发现学生在学习过程中的问题，并采取相应的措施进行解决。例如，在小组讨论环节，我发现有些学生不太积极参与，我就鼓励他们发表自己的观点和疑问，引导他们积极参与讨论，提高他们的学习积极性。

最后，测试是了解学生学习情况的重要方式。在本节课的结尾，我设计了一组测试题，让学生在课堂上完成，检查他们对三元一次方程组知识的掌握情况。通过学生的测试结果，我可以了解他们的学习效果，并针对存在的问题进行讲解和辅导。例如，在测试中，我发现有些学生对三元一次方程组的解法不太熟练，我就及时进行了讲解和示例，帮助学生巩固所学知识。典型例题讲解例题1：

题目：解下列方程组：

\[

\begin{cases}

2x+3y-z=5\\

-x+2y+z=1\\

x-y-2z=-3

\end{cases}

\]

解答：

首先，我们可以通过加减法来解这个方程组。

步骤1：将方程组中的方程两两相加，消去一个未知数。

\[

\begin{cases}

(2x+3y-z)+(-x+2y+z)=5+1\\

2x+2y+2z=6

\end{cases}

\]

步骤2：将方程中的未知数分别相加。

\[

\begin{cases}

3x+2y=6\\

2z=6

\end{cases}

\end{align}

步骤3：分别求解两个方程。

\[

x=\frac{6-2y}{3}=\frac{2}{3}y+2\\

z=\frac{6}{2}=3

\end{align}

步骤4：将x和z的值代入原方程组中的任一方程，求解y。

\[

\begin{cases}

2x+3y-z=5\\

x-y-2z=-3

\end{cases}

\]

代入z=3得：

\[

\begin{cases}

2x+3y-3=5\\

x-y-6=-3

\end{cases}

\]

步骤5：分别求解两个方程。

\[

x=\frac{18-3y}{2}=9-1.5y\\

y=\frac{15+x}{2}=7.5+0.75y

\]

步骤6：联立方程求解y。

\[

\begin{cases}

9-1.5y=7.5+0.75y\\

9-1.5y-7.5-0.75y=-3

\end{cases}

\]

解得：

\[

y=3\\

x=6

\end{align}

所以，原方程组的解为：

\[

\begin{cases}

x=6\\

y=3\\

z=3

\end{cases}

\]

例题2：

题目：解下列方程组：

\[

\begin{cases}

x+2y-3z=0\\

2x-y+z=2\\

-x+2y+3z=4

\end{cases}

\]

解答：

首先，我们可以通过代入法来解这个方程组。

步骤1：从第一个方程中解出x。

\[

x=3z-2y

\]

步骤2：将x的表达式代入第二个方程中。

\[

2(3z-2y)-y+z=2

\]

\[

6z-4y+z=2

\]

\[

7z-4y=2

\]

步骤3：将x的表达式代入第三个方程中。

\[

-(3z-2y)+2y+3z=4

\]

\[

-3z+4y+3z=4

\]

\[

y=7

\]

步骤4：将y的值代入x的表达式中求解x。

\[

x=3z-2(7)

\]

\[

x=-9z+14

\]

步骤5：将y的值代入第三个方程中求解z。

\[

-x+2y+3z=4

\]

\[

-(-9z+14)+2(7)+3z=4

\]

\[

9z-28+14+3z=4

\]

\[

12z=36

\]

\[

z=3

\]

步骤6：将z的值代入x的表达式中求解x。

\[

x=-9(3)+14

\]

\[

x=-27+14

\]

\[

x=-13

\]

所以，原方程组的解为：

\[

\begin{cases}

x=-13\\

y=7\\

z=3

\end{cases}

\]

例题3：

题目：解下列方程组：

\[

\begin{cases}

x+y+z=5\\

2x+y+2z=10\\

3x+y+3z=15

\end{cases}

\]

解答：

首先，我们可以通过代入法来解这个方程组。

步骤1：从第一个方程中解出z。

\[

z=5-x-y

\]

步骤2：将z的表达式代入第二个方程中。

\[

2x+y+2(5-x-y)=10

\]

\[

2x+y+10-2x-2y=10

\]

\[

0=0

\]

步骤3：将z的表达式代入第三个方程中。

\[

3x+y+3(5-x-y)=15

\]

\[

3x+y+15-3x-3y=15

\]

\[

0=0

\]

步骤4：联立方程求解x和y。

\[

\begin{cases}

x+y+z=5\\

0=0

\end{cases}

\]

\[

x+y=5

\]

步骤5：将x+y=5代入第一个方程中求解z。

\[

x+y+z=5

\]

\[

5=5

\]

步骤6：解得x和y的值。

\[

\begin{cases}

x=0\\

y=5

\end{cases}

\]

步骤7：将x和y的值代入z的表达式中求解z。

\[

z=5-x-y

\]

\[

z=5-0-5

\]

\[

z=0

\]

所以，原方程组的解为：

\[

\begin{cases}

x=0\\

y=5\\

z=0

\end{cases}

\]

例题4：

题目：解下列方程组：

\[

\begin{cases}

x-y+z=1\\

x+y-z=2\\

x+y+z=3

\end{cases}

\]

解答：

首先，我们可以通过加减法来解这个方程组。

步骤1：将方程组中的方程两两相加，消去一个未知数。

\[

\begin{cases}

(x-y+z)+(x+y-z)=1+2\\

2x+2z=3

\end{cases}

\]

步骤2：将方程中的未知数分别相加。

\[

x+2z=3

\]

步骤3：将方程中的未知数分别相加。

\[

x+2z=3

\]

步骤4：将x和z的值代入原方程组中的任一方程，求解y。

\[

\begin{cases}

x-y+z=1\\

x+y-z=2\\

x+y+z=3

\end{cases}

\]

代入x+2z=3得：

\[

\begin{cases}

x-y+3=1\\

x+y-3=2\\

x+y+3=3

\end{cases}

\]

步骤5：分别求解两个方程。

\[

x+y=3\\

x-y=1

\]

步骤6：联立方程求解x和y。

\[

\begin{cases}

x+y=3\\

x-y=1\\

x+y=3

\end{cases}

\]

解得：

\[

x=3\\

y=0

\]

步骤7：将x和y的值代入z的表达式中求解z。

\[

z=1-x-y

\]

\[