2025年高考数学一轮复习-残差分析与决定系数-专项训练【含答案】

2025年高考数学一轮复习-残差分析与决定系数-专项训练基础巩固练1.某生物实验小组设计实验,得到光照强度x与某种植物光合作用速率y的一组数据(xi,yi),经过分析提出了四种回归模型①②③④,这四种模型的残差平方和∑i=1n(yi-y^i)2的值分别为0.48,0.99,0.15,1.A.模型① B.模型②C.模型③ D.模型④2.下列关于回归分析的说法错误的是()A.回归直线一定过样本点的中心(x,B.残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适C.甲、乙两个模型的R2分别约为0.97和0.82,则模型乙的拟合效果更好D.两个模型中,残差平方和越小的模型拟合的效果越好3.线性回归分析模型中,变量X与Y的一组样本数据对应的点均在直线y=12x+1上,R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,则R2=(A.2 B.1 C.12 D.4.为调查某企业年利润y(单位:万元)和它的年研究费用x(单位:万元)的相关性,收集了5组成对数据(x,y),如下表所示:x12345y50607080100由上表中数据求得y关于x的经验回归方程为y^=12x+a,据此计算出样本点(4,80)处的残差(残差=观测值-预测值)为(A.-2 B.-3 C.-4 D.-55.(多选题)6个数据(x,y)的散点图如图所示,采用一元线性回归模型建立经验回归方程,在6个数据中去掉E(5,6)后,下列说法正确的是()A.解释变量x与预报变量y的相关性变强B.样本相关系数r变大C.残差平方和变小D.决定系数R2变小6.(多选题)下列命题中,是真命题的是()A.样本数据xi(i=1,2,…,n)与样本数据yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,两组样本数据的样本平均数相同B.在残差图中,残差点分布的水平带状区域越窄,说明模型的拟合精度越高C.(x-y)n的二项展开式中,第r项的二项式系数是CD.在线性回归模型中,相关指数R2越接近于1,说明回归的效果越好7.色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标,现抽检一批产品,测得如下数据:色差x212325272931色度y151619202123已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系,且y^=0.8x+a,现有一对测量数据(32,23.3),则该组数据的残差为.8.(2023连云港期中)已知样本点(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)的回归直线方程为y^=2x+a,若样本点(r,1)与(1,s)的残差相同,则s与r的关系式为.(附:样本点(xi,yi)的残差e^i=yi-9.(2023无锡月考)光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能.近几年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下,某地光伏发电装机量急剧上涨,如下表:年份20152016201720182019202020212022年份代码x12345678新增光伏装机量y/兆瓦0.40.81.63.15.17.19.712.2某位同学分别用两种模型①y^=bx2+a,②y^=dx+c进行拟合,得到相应的回归方程并进行残差分析,残差图如图(注:残差等于yi-经过计算得∑i=18(xi-x)(yi-y)=72.8,∑i=18(xi-x)2=42,∑i=18(ti-t)(yi-y)=686.8,∑i=18(ti-t(1)根据残差图,比较模型①、模型②的拟合效果,应该选择哪个模型?并简要说明理由.(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程,并预测该地区2024年新增光伏装机量是多少.(在计算回归系数时精确到0.01)参考公式:b^=∑综合提升练10.(2023盐城期中)某种产品的广告支出费用x(单位:万元)与销售量y(单位:万件)之间的对应数据如下表所示:广告支出费用x2.22.64.05.35.9销售量y3.85.47.011.612.2根据表中的数据可得回归直线方程为y^=2.27x-1.08,R2≈0.96,则以下说法正确的是()A.第三个样本点对应的残差e^3=-B.第三个样本点对应的残差e^3=C.销售量y的多少有96%是由广告支出费用带来的D.销售量y的多少有4%是由广告支出费用带来的11.对于一组具有线性相关关系的数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),根据最小二乘法求得回归直线方程为y^=b^x+a^A.预报变量y的值由解释变量x唯一确定B.在回归分析中,R2=0.80的模型比R2=0.98的模型拟合效果好C.所有的样本点均落在回归直线y^=bD.残差图中,残差点分布水平带状区域的宽度越窄,则回归方程的预报精确度越高12.(多选题)某城市随机选取30个人进行调查,得到他们的收入、生活成本及幸福感分数(幸福感分数为0~10分),并整理得到散点图(如图),其中x是收入与生活成本的比值,y是幸福感分数,经计算得回归方程为y^=1.501x+1.541.根据回归方程可知(A.y与x成正相关B.样本点中残差的绝对值最大是2.044C.只要增加民众的收入就可以提高民众的幸福感D.当收入是生活成本的3倍时,预报的幸福感分数为6.04413.某种产品的广告支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)之间的关系如下表:x24568y3040605070若已知y关于x的经验回归方程为y^=6.5x+17.5,则当广告支出为6万元时,随机误差的效应(残差)为万元.(残差=观测值-预测值)14.(2023扬州调研)现有一组统计数据x和y,根据数据建立如下的两个模型:①y^=6.5x+2,②y^=7x+2.8.通过残差分析发现线性模型①比线性模型②拟合效果好.若R2,Q分别是相关指数和残差平方和,则下列结论正确的是.①R12>R22,②R12<R2215.(2023苏州调研)某高科技公司对其产品研发年投资额x(单位:百万元)与该产品的年销售量y(单位:千件)的数据进行统计,整理后得到如下统计表和散点图.通过初步分析,求得年销售量y关于年投资额x的经验回归方程为y^=1.2x-1.3表1x12345y0.511.535.5表2x12345z=lny-0.700.41.11.7(1)该公司科研团队进一步分析散点图的特征后,计划用y=ebx+a作为年销售量y关于年投资额x的非线性经验回归方程,请根据参考数据及表2中的数据,求出此方程;(2)若求得线性回归模型的相关系数R12=0.88,请根据参考数据,求出(1)中非线性回归模型的相关系数R22,并比较两种回归方程的拟合效果哪个更好.(参考数据:∑i=15xi2=55,∑i=15xizi=13.4;e-0.68≈0.54,e-0.09≈0.96,e0.50≈1.74,e1.09≈3.15,e参考公式:b^=∑i=1n(xi-x)(创新应用练16.A,B两个物理兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹,共同记录到粒子的13个位置的坐标信息如下:x-0.93-0.82-0.77-0.61-0.55-0.33-0.27y-0.26-0.41-0.45-0.45-0.60-0.67-0.68x0.100.420.580.640.670.76y-0.710.640.550.550.530.46A小组根据表中数据,直接对y,x作线性回归分析,得到回归方程为y^=0.5993x+0.005,相关指数R2=0.B小组先将数据依变换u=x2,v=y2进行整理,再对v,u作线性回归分析,得到回归方程为v^=-0.5006u+0.4922,相关指数R2=0.9375根据统计学知识,下列方程中,最有可能是该粒子运动轨迹方程的是()A.0.5993x-y+0.005=0B.0.5006x+y-0.4922=0C.0.500D.x20参考答案1.C2.C3.B4.C5.AC6.BCD7.-0.58.s=3-2r9.解(1)选择模型①.理由如下:根据残差图可以看出,模型①的估计值和真实值比较相近,模型②的残差值相对较大一些,所以模型①的拟合效果相对较好.(2)由(1)可知,y关于x的回归方程为y^=b^x令t=x2,则y^=由所给数据可得t=18∑i=18ti=18×(1+4+9+16+25+y=18∑i=18yi=18×(0.4+0.8+1.6+3.1+5.所以b^=∑所以a^=y-b^t≈5-0.19所以y关于x的回归方程为y^=0.19x2+0.预测该地区2024年新增光伏装机量为y^=0.19×102+0.16=19.16(兆瓦)10.C11.D12.ABD13.-6.514.①③15.解(1)由y=ebx+a,