新高考数学二轮复习圆锥曲线重难点提升专题10 圆锥曲线与向量的交汇（原卷版）

专题10圆锥曲线与向量的交汇一、考情分析平面向量与圆锥曲线的交汇是高考命题的一个显著特征,这类试题的常规形式是用向量形式给出某些条件或结论,其难点往往不在向量上,对向量部分只需运用向量基础知识即可实现相应转化.平面向量作为工具可以处理圆锥曲线中的长度、角度、共线、垂直、射影等许多问题,使得这类问题成为高考命题的一个热点,且时常出现在解答题中.二、解题秘籍(一)圆锥曲线中常见的向量条件及求解圆锥曲线与向量问题的策略1.设SKIPIF1<0为直线l的方向向量,若SKIPIF1<0,则l斜率为k；若SKIPIF1<0（m≠0）,则l斜率为SKIPIF1<0；2.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线:SKIPIF1<0=1\*GB3①SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0;=2\*GB3②SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=1;=3\*GB3③SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0)/(1+SKIPIF1<0)；=4\*GB3④SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0.3.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C为线段AB的中点:=1\*GB3①SKIPIF1<0=SKIPIF1<0;=2\*GB3②SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0).4.在四边形ABCD中,若SKIPIF1<0∙SKIPIF1<0=0,则ABAC;若∣SKIPIF1<0+SKIPIF1<0∣=∣SKIPIF1<0-SKIPIF1<0∣,则ABAD;若SKIPIF1<0∙SKIPIF1<0=SKIPIF1<0∙SKIPIF1<0,则ACBD.5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量SKIPIF1<0共线SKIPIF1<0转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化.6.圆锥曲线中两直线垂直问题,通常转化为两直线的方向向量的数量积为零,这样做可避免讨论直线的斜率是否存在.7.圆锥曲线中涉及数量积问题,通常利用数量积的坐标运算把所给条件转化为关于横（纵）坐标的表达式.【例1】（2023届黑龙江省鸡西市鸡东县高三上学期月考）已知两点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,动点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴的投影为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,记动点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程.(2)过点SKIPIF1<0的直线与曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧相交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,线段SKIPIF1<0的垂直平分线与SKIPIF1<0轴相交于点SKIPIF1<0,试问SKIPIF1<0是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由.【解析】（1）设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）由题可知直线SKIPIF1<0的斜率一定存在,且不为0,不妨设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.联立方程组SKIPIF1<0,消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,整理得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则线段SKIPIF1<0的垂直平分线的方程为SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0是定值,该定值为SKIPIF1<0.(二)把点共线问题转化为向量共线此类问题通常是把点SKIPIF1<0共线转化为SKIPIF1<0,或点C在直线AB上.【例2】（2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断）已知椭圆SKIPIF1<0的左､右顶点分別为SKIPIF1<0,右焦点为F（1,0）,且椭圆C的离心率为SKIPIF1<0,M,N为椭圆C上任意两点,点P的坐标为（4,t）（t≠0）,且满足SKIPIF1<0.（1）求椭圆C的方程；（2）证明：M,F,N三点共线.【解析】（1）椭圆C的右焦点为SKIPIF1<0,且离心率为SKIPIF1<0,∴a=2,c=1,则b2=a2-c2=3,∴椭圆C的方程为SKIPIF1<0.（2）由（1）知,SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0三点共线,SKIPIF1<0三点共线,即SKIPIF1<0,整理得SKIPIF1<0,两边平方得SKIPIF1<0,①又M,N在椭圆上,则SKIPIF1<0,代入①并化简得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴要证M,F,N三点共线,只需证SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,只需证SKIPIF1<0,整理得SKIPIF1<0,∴M,F,N三点共线.(三)利用向量共线求双变量的关系式此类问题一般是给出形如SKIPIF1<0的条件,确定关于SKIPIF1<0的等式,求解思路是利用两向量相等横坐标与纵坐标分别相等（注意一般情况下横坐标相等与纵坐标相等,使用一个即可,解题时哪一个简单使用哪一个）,把SKIPIF1<0用其他变量（若点的横坐标或纵坐标）表示,再利用题中条件消去其他变量.【例3】（2023届甘肃省张掖市高三上学期检测）椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,过椭圆左焦点SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0轴的直线在第二象限与椭圆相交于点SKIPIF1<0,椭圆的右焦点为SKIPIF1<0,已知SKIPIF1<0,椭圆过点SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)过椭圆SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点,交SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0点,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求证：SKIPIF1<0为定值．【解析】（1）依题可知：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0又∵椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0．（2）设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由题意可知,直线SKIPIF1<0的斜率存在,可设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,由于点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0的内部,直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0必有两个交点,由韦达定理可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．(四)利用向量加法的几何意义构造平行四边形若点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,则四边形ABCD是平行四边形,涉及圆锥曲线中的平行四边形要注意对边长度相等、斜率相等,两对角线中点为同一个点等条件的应用.【例4】（2023届四川省广安市岳池县高三上学期10月月考）已知椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0,左焦点SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点,点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为原点）,求四边形SKIPIF1<0面积的最大值.【解析】（1）设椭圆的焦距为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,又因为椭圆经过点SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0,所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形,当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时,显然不符合题意；当直线SKIPIF1<0的斜率存在时,设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0与椭圆交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,由SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0（由上式知SKIPIF1<0）,SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时取等号.∴当SKIPIF1<0时,平行四边形SKIPIF1<0的面积最大值为2.(五)把向量的数量积转化为代数式若圆锥曲线问题有用向量数量积给出的条件,通常是利用向量数量积的坐标运算进行转化.【例5】（2023届广东省荔湾区高三上学期10月调研）已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0为坐标原点,双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线的夹角为SKIPIF1<0．(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点,在SKIPIF1<0轴上是否存在定点SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0为定值？若存在,求出定点SKIPIF1<0的坐标及这个定值；若不存在,说明理由．【解析】（1）双曲线SKIPIF1<0的渐近线为SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故其渐近线SKIPIF1<0的倾斜角小于SKIPIF1<0,而双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线的夹角为SKIPIF1<0,则渐近线的SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0．所以双曲线SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0．（2）当直线SKIPIF1<0不与SKIPIF1<0轴重合时,设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,代入SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0．设点SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0．设点SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,此时SKIPIF1<0．当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴重合时,则点SKIPIF1<0为双曲线的两顶点,不妨设点SKIPIF1<0．对于点SKIPIF1<0．所以存在定点SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0为定值．(六)把垂直问题转化为向量的数量积为零求解圆锥曲线中的垂直问题,通常可转化为向量的数量积为零,然后利用向量数量积的坐标运算进行转化,这种转化可避免讨论直线的斜率是否存在.【例6】已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0,椭圆SKIPIF1<0上的点到SKIPIF1<0的距离的最大值和最小值分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（2）若圆SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,是否存在正数SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0？若存在,求出SKIPIF1<0的值；若不存在,请说明理由．【解析】（1）由题意可得,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以椭圆方程为SKIPIF1<0；（2）假设存在正数SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0,即使得SKIPIF1<0,当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时,设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,则有SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,又直线SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0的切线,所以SKIPIF1<0；当直线SKIPIF1<0的斜率存在时,设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,整理可得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,因为直线SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0的切线,故原点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0,所以存在正数SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0．三、跟踪检测1.（2023届重庆市第八中学校高三上学期月考）已知双曲线E：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0,SKIPIF1<0）一个顶点为SKIPIF1<0,直线l过点SKIPIF1<0交双曲线右支于M,N两点,记SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面积分别为S,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.当l与x轴垂直时,SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0.(1)求双曲线E的标准方程；(2)若l交y轴于点P,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求证：SKIPIF1<0为定值；(3)在（2）的条件下,若SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,求实数m的取值范围.2.（2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考）已知椭圆中有两顶点为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,一个焦点为SKIPIF1<0.(1)若直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且与椭圆交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,当SKIPIF1<0时,求直线SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且与椭圆交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,并与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0,当点SKIPIF1<0异SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点时,试问SKIPIF1<0是否是定值？若是,请求出此定值,若不是,请说明理由.3.（2023届四川省成都市郫都区高三上学期检测）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0,短轴长为4．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点SKIPIF1<0的直线交椭圆C于A,B两点,求SKIPIF1<0的取值范围．4.（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期9月诊断测试）已知点SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点,过SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点,(1)设直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值；(2)若直线SKIPIF1<0分别交椭圆SKIPIF1<0的右准线于SKIPIF1<0两点,证明：以SKIPIF1<0为直径的圆经过定点.5.（2023届湖南省部分校高三上学期9月月考）已知双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上.(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程.(2)设过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点,问在SKIPIF1<0轴上是否存在定点SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0为常数？若存在,求出点SKIPIF1<0的坐标以及该常数的值；若不存在,请说明理由.6.（2023届广东省茂名市高三上学期9月联考）如图,平面直角坐标系SKIPIF1<0中,点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴上的一个动点,动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,又点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求动点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；(2)过曲线SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0,SKIPIF1<0轴的交点分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,过原点SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0平行,且与曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点,求SKIPIF1<0面积的最大值.7.（2023届福建师范大学附属中学高三上学期月考）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中,设点SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0两点的距离之和为SKIPIF1<0为一动点,点SKIPIF1<0满足向量关系式：SKIPIF1<0．(1)求点SKIPIF1<0的轨迹方程SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0(SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的左侧),点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一动点(且不与SKIPIF1<0重合)．设直线SKIPIF1<0轴与直线SKIPIF1<0分别交于点SKIPIF1<0,取SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0,证明：SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的角平分线．8.（2023届山西省山西大学附属中学校高三上学期9月诊断）如图,椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左焦点,SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左顶点,SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的上顶点,且SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0SKIPIF1<0是长轴上的任一定点,过SKIPIF1<0点的任一直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)是否存在定点SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0为定值,若存在,试求出定点SKIPIF1<0的坐标,并求出此定值；若不存在,请说明理由.9．（2023届北京市第四中学高三上学期开学测试）已知中心在原点,焦点在SKIPIF1<0轴上的椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0,离心率为SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0为其右顶点.过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点,直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0分别交于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)求SKIPIF1<0的取值范围.10．（2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试）已知双曲线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0有相同的渐近线,且过点SKIPIF1<0.(1)求双曲线SKIPIF1<0的标准方程；(2)已知SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0上不同于SKIPIF1<0的两点,且SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,证明：存在定点SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0为定值.11．（2023届四川省达州市开江县高三上学期考试）已知椭圆SKIPIF1<0​为椭圆SKIPIF1<0​的左、右焦点,过点SKIPIF1<0​的任意直线SKIPIF1<0​交椭圆SKIPIF1<0​于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0​两点,且SKIPIF1<0的周长为8,椭圆SKIPIF1<0​的离心率为SKIPIF1<0​.(1)椭圆SKIPIF1<0​的方程；(2)若SKIPIF1<0​为椭圆SKIPIF1<0​上的任一点,SKIPIF1<0​为过焦点SKIPIF1<0​的弦,且SKIPIF1<0​,求SKIPIF1<0​的值.12．（2022届上海市普陀区高三一模）已知点SKIPIF1<0与定点SKIPIF1<0的距离是点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离的SKIPIF1<0倍,设点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点,点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点,SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上关于原点SKIPIF1<0对称的两点,且SKIPIF1<0.（1）求曲线SKIPIF1<0的方程；（2）当SKIPIF1<0时,求直线SKIPIF1<0的方程；（3）当四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0时,求SKIPIF1<0的值.13．(2022届内蒙古赤峰市高三上学期11月联考)已知椭圆SKIPIF1<0的焦点恰为椭圆SKIPIF1<0长轴的端点,且SKIPIF1<0的短轴长为2（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程．（2）若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行,且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的最小值．14．（2022届辽宁省大连市高三上学期期中）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中,点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是动点,且直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率之积等于SKIPIF1<0.（1）求动点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；（2）已知直线SKIPIF1<0与椭圆：SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,与SKIPIF1<0轴交于点SK