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文档简介
2021届九年级数学
第二轮专题复习
专题1一线三等角/K型图(垂直处理)
专题2特殊几何图形在坐标系(函数图像)中
专题3设点法解决反比例函数问题
专题4等腰三角形存在性问题
专题5直角三角形存在性问题
专题6特殊四边形存在性问题
专题7相似、全等三角形存在性问题
专题8相切问题
专题9线段问题
专题10角度问题
专题11面积问题
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专题六特殊四边形存在性问题
坐标系中特殊四边形的存在性问题的解题策略:
1、平行四边形的存在性:利用构造全等或对角线互相平分建立点的坐标之间
的关系;
2、菱形的存在性:利用菱形的邻边相等的对称性,转化为等腰三角形的存在
性问题;
3、矩形的存在性:转化为直角三角形的存在性问题。
【平行四边形】
例1:如图,已知抛物线y=与x轴的负半轴交于点c,点E的坐标为(0,-3),
点N在抛物线的对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M、N,使得以M、N、C、E
为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出M点的坐标;若不存在,请说明理由。
第3页
变式:如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-1/+\》+2与x轴交于A、B两点(点
A在点B的左侧),与〉轴交于点C,连接BC.
(1)求A、B、C三点的坐标及抛物线的对称轴。
(2)点D为线段BC上方抛物线上一点,连接CD、BD,求四边形COBD面积的最大值及此
时点D的坐标。
(3)在(2)的条件下,若点N为抛物线对称轴上一点,抛物线上是否存在点M,使得以B、
D、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点N的坐标;
备用图
第4页
【菱形】
例2:在平面直角坐标系中,直线y=-x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C在直线
AB上,在平面直角坐标系中求一点D,使得以0、A、C、D为顶点的四边形是菱形。
第5页
变式:如图,在平面直角坐标系中,0为坐标原点,直线y=-x+4与X轴交于点A,与y轴交
于点B,点C在x轴负半轴上,S0BC=28,点P是线段CA上一动点.
(1)求直线CB的解析式;
⑵连接BP,分别过点A、C向直线BP作垂线,垂足分别为E、F,线段EF的垂直平分线交AC
于点F,连接BG,求BG的长;
(3)H是直线BC上一点,在平面内是否存在一点R,使以点0、B、H、R为顶点的四边形是菱
形?若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,请说明理由.
第6页
【矩形】
例3:如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线丁=公2一2℃-3。(a<0)与x轴交于A、B
两点(点A在点B的左侧),经过A点的直线/:丁=履+人与y轴交于点C,与抛物线的另一
个交点为D,且CD=4AC。
(1)直接写出A点的坐标,并求出直线/的函数表达式(其中鼠。用含。的代数式表示);
(2)点E是直线/上方的抛物线上的一点,若4ACE的面积最大值为2,求。的值;
4
(3)设P为抛物线对称轴上一点,点Q在抛物线上,以A、D、P、Q为顶点的四边形能否成
为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由。
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3
变式:如图,直线y=-*x+3与y轴交于点A,与x轴交于点B,点P从点B出发,以每秒1
个单位长度的速度沿BA边向终点A运动,同时,点Q以相同的速度从坐标原点0出发沿0B
边向终点B运动。设点P运动时间为/秒。
(1)求点A、B的坐标;
(2)设^OPQ的面积为S,求S与运动时间t之间的函数关系式;
(3)在点P、Q运动过程中,是否存在点N,使得以点A、P、Q、N为顶点的四边形是矩形?
若存在,求/的值,并直接写出N点的坐标;若不存在,请说明理由。
第8页
0随堂练习
1、如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4,0)、B(0,3),
点C的坐标为(0,加),过点C作CE±AB于点E,点D为x轴正半轴上的一动点,且满足
OD=2OC,连接DE,以DE、DA为边作平行四边形DEFA。
(1)如果平行四边形DEFA为矩形,求m的值;
(2)如果平行四边形DEFA为菱形,请直接写出机的值。
第9页
2、将抛物线q:y=—K/+百沿%轴翻折,得到抛物线c?,如图所示。
(1)请直接写出抛物线。2的表达式;
(2)现将抛物线G向左平移m个单位长度,平移后得到新的抛物线的顶点为M,与x轴的交
点从左向右依次为A、B;将抛物线C2向右也平移机个单位长度,平移后得到新的抛物线的顶
点为N,与x轴的交点从左向右依次为D、Eo
①当B、D是线段AE的三等分点时,求机的值。
②在平移过程中,是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形?若存在,请求出此时的
加的值;若不存在,请说明理由。
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3、如图,抛物线y=—f+Ox+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,且与y轴交于点C,点D
是抛物线的顶点,抛物线的对称轴DE交x轴于点E,连接BD。
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的函数表达式;
(2)点P是线段BD上一点,当PE=PC时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,过点P作PFJ_x轴于点F,G为抛物线上一动点,M为光轴上一动点,
N为直线PF上一动点,当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时,请求出点M的坐标。
备用图
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4、如图,在平面直角坐标系中,直线/的解析式为:y=-^-x+4,与x轴交于点C,直线/
上有一点B的横坐标为百,点A是0C的中点。
(1)求直线AB的函数表达式;
(2)在直线BC上有两点P、Q,且PQ=4,使四边形OAPQ的周长最小,求周长的最小值;
(3)直线AB与),轴交于点H,将△OBH沿AB翻折得到△HBG,M为直线AB上一动点,N
为平面内一点,是否存在这样的M、N,使得以H、M、N、G为顶点的四边形为菱形?若存在,
直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由。
第12页
5、如图,抛物线y=—2与龙轴交于A、B两点(点B在点A的右侧),与y轴交
于点C,P为抛物线上的一个动点,过点P作PDLx轴于点D,交直线BC于点E。
(1)求点A和点B的坐标;
(2)若点P在第四象限内,当OD=4PE时,求四边形POBE的面积。
(3)在(2)的条件下,若M为直线BC上一点,N为平面直角坐标系内一点,是否存在这样
的点M和点N,使得以B、D、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点N的坐标;
若不存在,请说明理由。
备用图
第13页
6、如图,在平面直角坐标系中,点。为坐标原点,直线y=-x+8与坐标轴交于C、D两点,
直线AB与坐标轴交于A、B两点,线段OA、0C的长是方程d—3x+2=0的两个根(0A
>00
(1)求点人、C的坐标;
k
(2)直线AB与直线CD交于点E,若点E是线段AB的中点,反比例函数y=±(七0)的图象
x
的一个分支经过点E,求左的值;
(3)在(2)的条件下,点M在直线CD上,坐标平面内是否存在点N,使以点B、E、M、N为
顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由。
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专题七相似、全等三角形存在性问题
问题1(1)熟练掌握相似三角形的判定方法:
①“SAS”型(分清对应边)②“AA”型
(2)如何找对应角:
①公共角②平行出等角③垂直出等角(同角的余角相等)④等腰出等角
问题2熟练掌握相似的重要结论和模型
(1)射影定理,如图1
(2)母子型,如图2、图3
(3)一线三等角
①三垂直,如图4;②三个60。,如图5;③三普通,如图6.
AB
图2图3
图4图5图6
专题攻略
•相似三角形的判定定理有3个,其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件,因
此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等。
•判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步:寻找一组等角,分两种情况列比例方程,
解方程并检验。
•应用判定定理1解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等。
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例1:如图所示,在平面直角坐标系中xOy中,顶点为M的抛物线y=a/+法(«>0)经过
点A和x轴正半轴上的点B,AO=BO=2,ZAOB=120°»
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接OM,求NAOM的大小;
(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标。
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变式:直线y=-$+1分别交光轴、y轴于A、B两点,△AO3绕点。按逆时针方向旋转90。
后得到△CO。,抛物线),=加+灰+。经过4、C、D三点.
(1)写出点A、B、C、。的坐标;
(2)求经过A、C、。三点的抛物线表达式,并求抛物线顶点G的坐标;
(3)在直线BG上是否存在点。,使得以点A、B、。为顶点的三角形与△C。。相似?若存
在,请求出点。的坐标;若不存在,请说明理由.
6
5
1,
ill』ill」.
-4•1-3•1-2•1-1•191234x
-1-1
<•!
-3•1
T・i
第17页
例2:如图,在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y=-"的图像过点A(4,0),
顶点为B,连接AB、BOo
(1)求二次函数表达式;
(2)若点C是BO的中点,点Q在线段AB上,设点B关于直线CQ的对称点为B"当^OCB,
为等边三角形时,求BQ的长度;
(3)若点D为线段BO上,OD=2DB,点E、F在^OAB的边上,且满足△DOF与△DEF全
等,求点E的坐标。
第18页
3
例3:如图1,△ABC中,AB=5,AC=3,cosA=—.。为射线84上的点(点。不与点
10
8重合),作OE//BC交射线C4于点E.
(1)若CE=x,BD=y,求y与x的函数关系式,并写出函数的定义域;
(2)当分别以线段80,CE为直径的两圆相切时,求OE的长度;
(3)当点。在AB边上时,边上是否存在点F,使△ABC与相似?若存在,请求
出线段3尸的长;若不存在,请说明理由.
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0随堂练习
1、如图,抛物线y=办2+以-3与x轴交于点A(1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点D,
顶点为C»
(1)求此抛物线的解析式;
(2)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作MN_Lx轴于点N,使以A、M、N为顶点
的三角形与△BCD相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。
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2、如图,直线y=4x+4与x轴、y轴相交于B、C两点,抛物线y=ax?-2ax+c(aRO)过点
B、C,且与x轴另一个交点为A,以OC、OA为边作矩形OADC,CD交抛物线于点G
(1)求抛物线的解析式以及点A的坐标;
(2)已知直线广〃?交0A于点E,交CD于点F,交AC于点M,交抛物线(CD上方部分)于点
P,请用含m的代数式表示PM的长;
(3)在(2)的条件下,连接PC,若△PCF和△AEM相似,求小的值.
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k
3、RS48C在直角坐标系内的位置如图所示,反比例函数〉=£(攵工0)在第一象限内的图像与
x
BC边交于点D(4,m),与AB边交于点E(2,〃),△8DE的面积为2.
(1)求机与〃的数量关系;
(2)当tanNA=1时,求反比例函数的解析式和直线AB的表达式;
2
(3)设直线与y轴交于点F,点P在射线FO上,在(2)的条件下,如果△AEO与
△EFP相似,求点P的坐标.
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11A
4、如图,已知抛物线y」x2's_i)x+g(匕是实数且Q2)与X轴的正半轴分别交于点A、
444
B(点A位于点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C。
(1)点B的坐标为,点C的坐标为(用含b的代数式表示)。
(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于26,且^PBC是以
点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由。
(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得^QC。、AQOA和AQAB中的任意两
个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请
说明理由。
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5、如图,抛物线,=必:2+"+以4>0)交x轴于两点(A点在8点左侧),交y轴于点C.已
知8(8,0),tanZABC=-,△ABC的面积为8.
2
(1)求抛物线的解析式;
(2)若动直线EF(EF〃x轴),从点C开始,以每秒1个单位长度的速度沿y轴负方向
平移,且交y轴、线段BC于E、F两点,动点P同时从点B出发,在线段OB上以每秒2个单
位长度的速度向原点O运动,连接FP,设运动时间为/秒,当f为何值时,0-的值最大,
EF+OP
求出最大值;
(3)在(2)的条件下,是否存在/的值,使以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似.若
存在,试求出/的值;若不存在,请说明理由.
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专题八相切问题
专题攻略
直线与圆的位置关系问题,一般也无法先画出比较准确的图形
解这类问题,一般也分三步走,第一步先罗列两要素:R和d,第二步列方程,第三解方
程并验根。
第一步在罗列两要素R和△的过程中,确定的要素罗列出来以后,不确定的要素就是要用
含有x的式子表示的,
第二步列方程,就是根据直线与圆相切时衣R列方程。
附加公式
•两点间的距离公式:
若A(王,/)、B(%2,%),则AB=_/)2+(、-%)2
•点到直线的距离公式:
若点A(%,%),直线/的解析式为:y=kx+b,则A点到直线/的距离为丁飞「、+以。
Jl+公
例1:如图,P是抛物线y=——5x+5上的一个动点,OP的半径为1,如果。P与坐标轴相切,
第25页
变式:如图,已知。P圆心P在直线尸〃-1的图像上运动.
(1)若。尸的半径为2,当。P与x轴相切时,求尸点的坐标;
(2)若OP的半径为2,当。P与y轴相切时,求P点的坐标;
(3)当OP与x轴和y轴都相切时I0P的半径是多少?并写出此时点P的坐标.
第26页
3
例2:如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=:x+4的图像是直线小4与x轴、y轴分别
交于A、B两点,直线4过点C(a,0)且与直线4垂直,其中a>0.点P、Q同时从A点出发,
其中点P沿射线AB运动,速度为每秒4个单位;点Q沿射线AO运动,速度为每秒5个单位.
(1)求出A点的坐标和AB的长;
(2)当点P、Q运动了多少秒时,以点Q为圆心,PQ为半径的。Q与直线4、y轴都相切,
求此时a的值.
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例3:如图,抛物线丁=一:/+3+〃的图像经过点A(2,3),对称轴为41,一次函数y=&x+b
的图像经过点A,交x轴于点P,交抛物线于另一点B,点A、B位于点P的同侧.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若PA:PB=3:1,求一次函数解析式;
(3)在(2)的条件下,当人>0时,抛物线的对称轴上是否存在点C,使得。C同时与无轴和
直线AP都相切,如果存在,请求出点C的坐标,如果不存在,请说明理由.
第28页
0随堂练习
1、如图,直线y=*x+若与九轴、y轴分别相交于A、B两点,圆心P的坐标为(1,0),
圆P与y轴相切于点O,若将圆P沿x轴向左移动,当圆P与该直线相交时,横坐标为整数的
点P的个数是()
D.5
2、如图,在平面直角坐标系中,已知D(-5,4)、B(-3,0),过点D分别作x轴、y轴的
垂线,垂足分别为A、C两点,动点P从。点出发,沿九轴以每秒I个单位长度的速度向右运
动,运动时间为/秒.
(1)当仁时,PC〃DB;
(2)当U时,PC±BC;
(3)以点。为圆心,OP的长为半径作。O,当。。与ABCD的边所在直线相切时,求f的值.
第29页
专题九线段问题
例1:如图,已知一条直线过点(0,4),且与抛物线>=:/交于A、B两点,其实点A的横
坐标为-2.
(1)求这条直线的函数关系式及点B的坐标;
(2)过线段AB上一点P,作PM〃尤轴,交抛物线于点M,点M在第一象限,点N(0,1),
当点M的横坐标为何值时,MN+3Mp的长度最大?最大值是多少?
第30页
例2:如图,抛物线,=。/+"+。(/0)与》轴交于点人,B(L0),与y轴交于点C,
直线y=;x-2经过点A、C.抛物线的顶点为D,对称轴为直线/.
(2)设点E为x轴上一点,且AE=CE,求点E的坐标;
(3)设点N是直线AC下方抛物线上的一点,连接BN交AC于点M,且MN=2BN,求点N
第31页
(4)设点G是y轴上一点,是否存在点G,使得GD+GB的值最小,若存在,求出点G的坐
标;若不存在,请说明理由;
(5)在直线/上是否存在一点F,使得4BCF的周长最小,若存在,求出点F的坐标及ABCF
周长的最小值;若不存在,请说明理由;
第32页
(6)若点H是抛物线上位于AC上方的一点,过点H作y轴的平行线,交AC于点K,设点H
的横坐标为〃,线段HK=d.
①求”关于〃的函数关系式;
②求d的最大值及此时H点的坐标.
(7)已知直线y=-x+2交抛物线于点L,交y轴于点P,若点M是直线y=-2上一点,过点M
作MN,x轴,交x轴于点N,连接PN、ML,是否存在点M,使得PN+PM+ML有最小值?若
第33页
3
(8)若点P为x轴上一点,求—PA+PC的最小值。
5
第34页
(9)已知x轴上一点R的坐标为(行-1,0),连接CR,点Q是线段CR上一点,过点Q
作QJLCO于点J,QILAC于点I,判断券皆是否为定值,并说明理由。
第35页
0随堂练习
1、如图,抛物线>=一害/+芈x+3小与x轴交于A,8两点(点A在点8的左侧),与
y轴交于点C,连接AC,8C.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点4向点C运动,同时,
点。沿30以每秒2个单位长度的速度由点B向点0运动,当一个点停止运动时,另一个点也
随之停止运动,连接PQ.过点。作轴,与抛物线交于点。,与交于点E.连接P。,
与BC交于点E设点P的运动时间为t秒。>0).
(1)求直线BC的函数表达式;
(2)①直接写出P,。两点的坐标(用含/的代数式表示,结果需化简);
②在点P,。运动的过程中,当PQ=P。时,求,的值;
(3)试探究在点P,。运动的过程中,是否存在某一时刻,使得点尸为PO的中点?若存在,
请直接写出此时f的值与点尸的坐标;若不存在,请说明理由.
第36页
3
2^如图,抛物线y=-f+Zzr+c与x轴交于点A(—1,0),B(5,0)两点,直线y=—2+3与N
轴交于点C,与x轴交于点。,点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点尸作PFLx轴于点F,
交直线CD于点£设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的表达式;
(2)若PE=5EF,求机的值;
(3)若点£是点E关于直线PC的对称点,是否存在点P,使点E落在),轴上?若存在,请
直接写出相应的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
第37页
3、如图,在平面直角坐标系xO),中,将二次函数y=/_i的图像乂沿刀轴翻折,把所得到的
图像向右平移2个单位长度再向上平移8个单位长度,得到二次函数图像N.
(1)求N的函数表达式;
(2)设点P(m,〃)是以点C(1,4)为圆心,1为半径的圆上一动点,二次函数的图像M与
x轴相交于A、B两点,求PN+PB?的最大值;
(3)若一个点的横坐标与纵坐标均为整数,则该点称为整点,求M与N所围成封闭图形内(包
括边界)整点的个数.
第38页
第39页
4、如图,直线/:y=—3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线y=ox?-2ax+a+4(a
<0)经过点B.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM,设点M的
横坐标为机,^ABM的面积为5,求S与加的函数表达式,并求出S的最大值;
(3)在(2)的条件下,当S取得最大值时,动点M相应的位置记为点M,.
①写出点M,的坐标;
②将直线/绕点A按顺时针方向旋转得到直线匕当直线与直线AM,重合时停止旋转,在旋
转过程中,直线/'与线段BM,交于点C,设点B、到直线T的距离分别为4、d2,当4+4最
大时,求直线P旋转的角度(即NBAC的度数).
第40页
第41页
第42页
专题十角度问题
ill)知识导航
函数中的动点与角度问题,在考试中,主要体现在:
①角度的存在性问题(特殊角度问题);
②角度关系的存在性问题(角之间的和、差、倍、分关系)
一、角度的存在性问题(特殊角度问题)
角度的存在性问题分为特殊角和非特殊角的存在性问题,主要以特殊角的存在性问题为主,
特殊角通常包括30°、45°、60°>90°等.
几何法:利用(特殊)角度构造直角三角形,从边长比例关系进行求解.
工具:
解析法:利用直线丁=1四3工+机与抛物线>=0¥2+bx+c(a0)的交点.
工具:知识储备:(1)一次函数广自+匕中左的几何意义
假如广爪+h过两个不同的点区,y),(乙,月),由待定系数法可以解得左=上二为,从
玉一々
图象上来看,就是两个点的纵坐标之差与横坐标之差的比值,也就是直线与x轴夹角的正切值(但
要注意符号),即|k|=tan8。
第43页
引例:根据图中条件将直线解析式写在横线上
总结:①解析式为尸七计万的直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形;
L
②解析式为"土百或产土寸尤+匕的直线与坐标轴围成的三角形是含30°,60°的
直角三角形。
(2)借助辅助圆来解决问题
二、角度关系的存在性问题(角之间的和、差、倍、分关系)
角度关系的问题一般指两角或多角的和差倍分或大小关系的问题.
几何法:构造相似或全等三角形进行求解.
解析法:利用三角函数值进行求解.
和差关系
等量关系大小关系
(ZA+ZC=ZABD)
A
转化为三角形全等或相似找临界值,即找等量关系
B
专题攻略
函数中两个角度相等的问题
①已知两角相等:可得出这两个角的三角函数值相等,或利用这两个相等角推出平行与
相似;
②求证两角相等:常常通过这两个角的三角函数值来证明,或借助相似来证明.
第44页
解决角度有关问题的一般步骤:
1、读题,画图,理解题意.
2、分析动点、定点,找不变特征,如角有两边,其中一边是确定的.
3、确定分类特征,进行分类讨论.
4、把角放在直角三角形中,构造相似三角形或全等三角形,根据三角函数、相似或全等
的知识解决.
,例题精练
模块一角度的存在性问题(特殊角度问题)
例题1:如图,抛物线片加+"-4a经过A(-1,0)C(0,4)两点,与x轴交于另一点
B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点0(人加+1)在第一象限的抛物线上,连接BD,在抛物线上是否存在点P使得
“射=45。?若存在,请求出点P的坐标;不存在,说明理由.
变式:如图,已知抛物线yu’W+for+c与x轴相交于A(-6,0),B(1,0),与y轴相交于
2
点C,直线/_LAC,垂足为C.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)若直线/与该抛物线的另一个交点为。,求点。的坐标;
(3)设动点P(m,〃)在该抛物线上,当ZE4C=45。时,求机的值.
第45页
例题2:在平面直角坐标系中,抛物线>=-/+日-2火的顶点为N.
(1)若此抛物线过点A(-3,1),求抛物线的解析式;
(2)在(1)的条件下,若抛物线与y轴交于点3,连接相,C为抛物线上一点,且位于线段
他的上方,过C作CD垂直x轴于点£),CD交A5于点E,若CE=ED,求点C坐标;
(3)已知点M(2-生目,0),且无论攵取何值,抛物线都经过定点H,当ZMHZV=60。时,求抛
3
第46页
备用图
例题3:如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=a/+加;+c经过点A(-3,0)、B(0,3)、
C(1,0)三点.
(1)求抛物线的解析式和顶点。的坐标;
(2)将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点。顺时针旋转60。,与直线y=-x交于点N.在直线DN
上是否存在点M,使得NMON=75。.若存在,求出点〃的坐标;若不存在,请说明理由;
第47页
模块二角度关系的存在性问题(角之间的和、差、倍、分关系)
例题1:(2018•常州)如图,二次函数y=-gY+bx+2的图象与x轴交于点A、B,与y轴交
于点C,点A的坐标为(T,0),P是抛物线上一点(点P与点A、B、C不重合).
(1)b=,点3的坐标是;
第48页
(2)设直线依与直线AC相交于点M,是否存在这样的点P,使得PM:MB=1:2?若存在,
求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接AC、BC,判断NC4B和NCSA的数量关系,并说明理由.
变式:如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数产;/+区+0的图象经过点A(-3,6)
并与尤轴交于点B(-1,0)和点C,顶点为P.
(1)求二次函数的解析式;
(2)设。为线段。C上的一点,若ZDPC=ZBAC,求点。的坐标.
第49页
yk
4-
3-
2
1
।।।।।
-4-3-2-1O12345x
-1
-2
-3
-4
变式:如图,已知抛物线ynaf+-+c的对称轴为直线*=2,且与x轴交于A、B两点.与y
轴交于点C.其中4L°),CQ-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P在抛物线上运动(点P异于点A),当NPC8=ZBC4时,求点尸的坐标.
第50页
变式:抛物线y=(x-3)(x+l)与x轴交于A,B两点(点A在点8左侧),与y轴交于点C,点
D为顶点.
(1)求点B及点D的坐标;
(2)连结8。,CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E.
①若线段8。上一点P,使ZDCP=ZBDE,求点尸的坐标;
第51页
②若抛物线上一点M,作MV_L8,交直线CD于点N,使ZCMN=NBDE,求点M的坐标.
备用图
变式:(2020•常州)如图,二次函数旷=/+法+3的图象与y轴交于点A,过点A作x轴的平
行线交抛物线于另一点B,抛物线过点C(l,0),且顶点为。,连接AC、BC、BD、CD.
(1)填空:b-;
(2)点P是抛物线上一点,点尸的横坐标大于1,直线尸C交直线比)于点Q.若/CQD=ZACB,
求点尸的坐标;
第52页
(3)点£在直线AC上,点£关于直线处对称的点为尸,点尸关于直线8C对称的点为G,连
例题2:如图,抛物线丁=一3%2+法+。与x轴交于点4和点与V轴交于点C,点3坐标
为(4,0),点C坐标为(0,4),点。是抛物线的顶点,过点。作8轴的垂线,垂足为E,连接BD.
第53页
(1)求抛物线的解析式及点。的坐标;
(2)点尸是抛物线上的动点,当=时,求点F的坐标。
例题3:如图,直线卜=—+〃与x轴交于点4(3,0),与丁轴交于点5,抛物线yn-f+bx+c
经过点AB.
(1)求抛物线的解析式;
第54页
(2)E(〃?,0)为x轴上一动点,过点E作团,x轴,交直线A3于点£),交抛物线于点P,连
接3P.点E在%轴的正半轴上运动,若ZPBD+NCBO=45。,请求出机的值.
变式:如图,已知抛物线了=(3_加)/+2(〃?-3口+4/〃-病的顶点A在双曲线y=3上,直线
X
y=,nr+〃经过点A,与y轴交于点8,与x轴交于点C.
(1)确定直线的解析式.
(2)将直线绕点。顺时针旋转90。,与x轴交于点。,与y轴交于点E,求sin/BOE的值.
第55页
(3)过点8作x轴的平行线与双曲线交于点G,点M在直线BG上,且到抛物线的对称轴的
距离为6.设点N在直线8G上,请你直接写出使得ZAMB+ZAA®=45。的点N的坐标.
0随堂练习
1、如图直线>=;%+%与抛物线丫=_/+加+。交于C、。两点,其中点C在y轴上,点£>的坐
第56页
标为(3,I),点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点尸作尸E_Lx轴于点E,交CO于点£
(1)求一次函数和抛物线的解析式.
(2)若点P的横坐标为3当r为何值时,四边形。CP尸是平行四边形?请说明理由.
(3)在CO上方是否存在点P,使ZPB=45。,若存在,求出相应的点尸的坐标,若不存在,
请说明理由.
2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数丁=依2+法+。的图像经过点A(一i,o)、B(O,一百)、
C(2,0),其中对称轴与x轴交于点D,M(5,力为抛物线对称轴上的一个动点,连接MA、
MB,若NAMB不小于60。,求/的取值范围?
第57页
3,已知在平面直角坐标系中,。为坐标原点,点A的坐标为(0,8),点B的坐标为(4,0),
点E是直线y=x+4上的一个动点,若NEAB=NABO,求点E的坐标。
第58页
3
4、如图,在平面直角坐标系中,抛物线),=加-5X+C与工轴交于点A、B,与y轴交于点C,
直线y=gx+2经过A、C两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线上的一个动点,当NPC4=NBC。时,请求出点P的坐标.
第59页
5、如图,抛物线yuaf+z^+c交x轴于o(0,0)、A(8,0)两点,顶点B的纵坐标为4.
(1)直接写出抛物线的解析式;
(2)若点C是抛物线上异于原点O的一点,且满足23c2=。42+2。。2,试判断△OBC的形
状,并说明理由;
第60页
(3)在(2)的条件下,若抛物线上存在一点D,使得NOCD=NAOC-NOCA,求点D的坐标.
6、如图,抛物线y=o?+反+3与%轴交于4-3,0),8(1,0)两点,与y轴交于点C,点。是
抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是V轴正半轴上的一点,点。在对称轴左侧的抛物线上运动,直线。。交
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抛物线的对称轴于点N,连接MN,当MN平分NOND时,求点。的坐标;
专题H■一面积问题
类型一面积最值问题
解题技巧:
铅垂法求三角形面积:A,B两点之间的水平距离称为“水平宽”;过点C作x轴的垂线
第62页
与AB交于点D,线段CD即为AB边的“铅垂高”.
2
/
铅
套
高
水平宽、铅垂高还可以这样做:如图2,取AC作水平宽,过点B作BDlx轴交直线AC
于点D,BD即对应的铅垂高,
。。。水平宽x铅垂高
SAABC—SAABD—SABCD=Q.
【解题步骤】
⑴求A,B两点水平距离,即水平宽;
⑵过点C作x轴垂线与AB交于点D,可得点D横坐标同点C;
(3)求直线AB解析式并代入点D横坐标,得点D纵坐标;
(4)根据C,D坐标求得铅垂高;
(5)利用公式求得三角形面积.
【例1】如图,在平面直角坐标系中,抛物线>=公2+法
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