中考数学压轴题100题

中考数学压轴题100题精选

[001]如图，已矢口抛物线y=a(x-l)2+3G(aW0)经过

点A(-2,0),抛物线的顶点为。，过。作射线OM〃AO.过

顶点。平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正

半轴上，连结8c.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若动点P从点。出发，以每秒1个长度单位的速度

沿射线运动，设点P运动的时间为心).问当f为何

值时，四边形D40P分别为平行四边形？直角梯形？等

腰梯形？

(3)若6CWB,动点P和动点。分别从点。和点8同时

出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度

沿OC和8。运动，当其中一个点停止运动时另一个点也

随之停止运动.设它们的运动的时间为"s),连接PQ,

当f为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值

及此时PQ的长.

【002］如图16,在RgABC中，ZC=90°,AC=3,AB=

5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点

入匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；

点Q从点4出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B

匀速运动.伴随着P、Q的运动，。£保持垂直平分PQ,

且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时

出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止.设

点P、Q运动的时间是t秒(f>0).

(1)当t=2时，AP=，点Q到AC的距离

是______；

(2)蓑点P从C向人运动的过程中，求△APQ的面

积S与

t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)

(3)在点E从B向C运动的过程中，四边形Q8ED

能否成

为直篇梯形？若能，求t的值.若不能，请说明

理由；

(4)当DE经过点C时，请直接写出t的值.

图16

【003］如图，在平面直角坐标系中，已知矩形4BCD的

三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx

过A、C两点.

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点P从点八出发.沿线段AB向终点8运动，

同时点Q从点C出发，沿线段CD

向终点。运动.速度均为每秒1个单位长度，运动时间

为t秒.过点P作PELAB交AC于点E,①过点E作EF1AD

于点F,交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长？

②连接EQ.在点P、Q运动的过程中，判断有几个

时刻使得△CEQ是等腰三角形？

请直接写出相应的t值。

[004]如图，已矢口直线4：y=；x+|与直线4：y=—2X+16

相交于点C,小4分别交了轴于A、8两点.矩形。EFG的

顶点。、E分别在直线卜4上，顶点尸、G都在x轴上，且

点G与点8重合.

(1)求△ABC的面积；

(2)求矩形DEFG的边OE与EF的长；

(3)若矩形。"G从原点出发，沿x轴的反方向以每

秒1个单位长度的速度平移，

设移动时间为以0，W12)秒，矩形DEFG与△A5C重叠部

分的面积为S,求S关

，的函数关系式，并写出相应的f的取值范围.

【005］如图1,在等腰梯形A5CO中，AD//BC,E是AB

的中点，过点E作E尸〃交C。于点尸.AB=4,BC=6,

ZB=60°.

(1)求点E到BC的距离；

(2)点P为线段"上的一个动点，过P作PM_LEF交BC

于点M,过M作MN〃A8交折线AOC于点N,连结PN,

设EP=x.

①当点N在线段A。上时（如图2）,AW的形状是否

发生改变？若不变，求出△PA/N的周长；若改变，请说

明理由；

②当点N在线段。。上时（如图3）,是否存在点P,使

△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的

x的值；若不存在，请说明理由.

AcAN

CB

M

图1图2

图4（备用）图5

[006]如图13,二次函数y=%2+px+g(p<o)的图象与

x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,-1),AABC

的面积为2。

4

(1)求该二次函数的关系式；

(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线，若

该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取

值范围；

(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形

ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；

若不存在，请说明理由。

图13

【007］如图1,在平面直角坐标系中，点0是坐标原点,

四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3,4）,

点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M,AB边

交y轴于点H.

（1）求直线AC的解析式；

（2）连接BM,如图2,动点P从点A出发，沿折

线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，

设aPIVIB的面积为S（S#0）,点P的运动时间为t秒，

求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值

范围）;

（3）在（2）的条件下，当t为何值时，NMPB与

/BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角

的正切值.

yy

________H_____B________H____B

0C\X0C、x

（图1）

[008]如图所示，在直角梯形ABCD中，ZABC=90°,

AD〃BC,AB=BC,E是AB的中点，CE±BDo

(1)求证：BE=AD；

(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线;(第26题图)

(3)ZXDBC是等腰三角形吗？并说明理由。

[009]一次函数>=依+8的图象分别与x轴、y轴交于

点、M,N,与反比例函数y=A的图象相交于点A,8.过点

X

A分别作AC_Lx轴，AE_Ly轴，垂足分别为C,E;过点8

分别作轴,轴，垂足分别为尸,D,AC与BD

交于点K,连接CD.

（1）若点48在反比例函数y=A的图象的同一分支

X

上，如图1,试证明:

四边

①S影AEDK=S四版CFBK；

②AN=BM.

（2）若点A,5分别在反比例函数y=&的图象的不同

X

分支上，如图2,则AN与还相等吗？试证明你的结

论.

【010］如图，抛物线丁=加+笈_3与X轴交于A8两点,

与y轴交于C点，且经过点（2,-3a）,对称轴是直线x=l,

顶点是M.

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）经过CM两点作直线与x轴交于点N,在抛物线上

是否存在这样的点P,使以点P，AC,N为顶点的四边

形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存

在，请说明理由；

（3）设直线y=-x+3与y轴的交点是。，在线段3。上

任取一点E（不与B。重合），经过AB,E三点的圆交

直线BC于点八试判断的形状，并说明理由；

（4）当E是直线y=-x+3上任意一点时，（3）中的结论

是否成立？（请直接写出结论）.

[Oil]已知正方形A8CD中，E为对角线8。上一点，

过E点作EF_LB。交8c于F,连接。F,G为DF中点，

连接EG,CG.

(1)求证：EG=CG；

(2)将图①中△8EF绕8点逆时针旋转45°,如图

②所示，取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论

是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说

明理由.

(3)将图①中ABEF绕B点旋转任意角度，如图③

所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成

立？通过观察你还能得出什么结论？(均不要求证明)

第24题图①第24题图②第24题图③

【012］如图，在平面直角坐标系尤0），中，半径为1的圆

的圆心。在坐标原点，且与两坐标轴分别交于

43、a。四点.抛物线丁=加+法+C,与y轴交于点O,

与直线y=x交于点M、N,且M4、NC分别与圆。相切于

点A和点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x轴于点E,连结OE,并延长OE

交圆。于F,求“的长.

（3）过点B作圆。的切线交OC的延长线于点P,判断

点P是否在抛物线上，说明理由.

[013]如图，抛物线经过A(4,0),5(1,0),C(0,-2)三点.

(1)求出抛物线的解析式；

(2)P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足

为M,是否存在P点，使得以4P,M为顶点的三角

形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐

标；若不存在，请说明理由；

(3)在直线4：上方的抛物线上有一点。，使得

的面积最大，求出点。的坐标.

[014]在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的

两顶点A、C分别在y轴、％轴的正半轴上，点。在原点.

现将正方形。ABC绕。点顺时针旋转，当A点第一次落在

直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，A3边交直线y=x

于点M边交x轴于点N(如图).

(1)求边0A在旋转过程中所扫过的面积；

(2)旋转过程中，当MN和AC平行时，

求正方形

0ABe旋转的度数；

(3)设AMBN的周长为p,在旋转正

方形0A8C

(第26题)

的过程中，P值是否有变化？请证

明你的结论.

【015】如图，二次函数的图象经过点D(0,1后,且顶

9

点C的横坐标为4,该图象在x轴上截得的线段AB的

长为6.

⑴求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,

求出点P的坐标；

⑶在抛物线上是否存在点Q,使aQAB与4ABC相

似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明

理由.

y

[016]如图9,已知正比例函数和反比例函数的图象都

经过点43,3）.

（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；

（2）把直线04向下平移后与反比例函数的图象交于点

8（6,/〃），求加的值和这个一次函数的解析式；

（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、），轴分别交

于C、D,求过4B、D三点的二次函数的解析式；

（4）在第（3）间的条件下，二次函数的图象上是否存

在点E,使四边形OECD的面积5与四边形OABD的面积

S满足：S1=：S?若存在，求点E的坐标；

若不存在，请说明理由.

【017】如图，已矢口抛物线^=》2+灰+。经过41,0）,8（0,2）

两点，顶点为。.

（1）求抛物线的解析式；

（2）将△0A3绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C

的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所

得图象的函数关系式；

（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为不

顶点为A,若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBg的

面积是△可£>〃面积的2倍，求点N的坐标.

（第26题）

【018］如图,抛物线丁=。+反-4a经过A(-l,0)、C(0,4)两

点，与x轴交于另一点8.

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知点。伽，加+1)在第一象限的抛物线上，求点。关

于直线对称的点的坐标；

(3)在(2)的条件下，连接8。，点P为抛物线上一点,

且ZDBP=45。，求点P的坐标.

【019］如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点。恰

好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH,延长BC

至M,使CM=ICF—EOI,再以CM、CO为边作矩形

CMNO

⑴试比较EO、EC的大小，并说明理由

⑵令，〃=,四边形皿，请问m是否为定值？若是，请求出

m的值；若不是，请说明理由

⑶在⑵的条件下，若CO=1,CE=；,Q为AE上一点且

QF=1,抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，请求

出此抛物线的解析式.

⑷在⑶的条件下，若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交

于点P,试问在直线BC上是否存在点K,使得以P、

B、K为顶点的三角形与4AEF相似?若存在，请求直

线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理

由。

【020】如图甲，在aABC中，NACB为锐角，点D为射

线BC上一动点，连结AD,以AD为一边且在AD的右侧

作正方形ADEF。

解答下列问题：

(1)如果AB=AC,ZBAC=90°,①当点D在线段

BC上时(与点B不重合)，如图乙，线段CF、BD之间

的位置关系为，数量关系为O

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中

的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果ABNAC,ZBAC^90°点D在线段BC上

运动。

试探究：当^ABC满足一个什么条件时一，CFLBC（点

C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图

不写作法）

（3）若AC=4亚，BC=3,在（2）的条件下，设正

方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长

的最大值。

中考数学压轴题100题精选答案

[001]解：(1)抛物线y=1)2+3/^(aw0：经过点

A(—20),

・・.0=9a+3G:.a=--.......................................................................................1分

3

・•・二次函数的解析式为：y〜6八还x+晅...................................3分

333

(2)。为抛物线的顶点.•.0(1,3我过。作DN_L08于N,

则rw=3VL

AN=3,A£)=J32+(36>=6ZDAO=600................................................4分

OM//AD

①当AO=OP时，四边形D4OP是平行四边形

:.OP=6.」=6(s)..............................................5分

②当时，四边形D4OP是直角梯形

过。作OHLAO于H,AO=2,贝

(如果没求出ZDAO=60°可由RdOH"R4。八求

AH=\)

..OP=DH=5f=5(s).........................................................................................6分

③当PD=OA时，四边形D4OP是等腰梯形

...OP=AD—2AH=6—2=4.」=4(s)

综上所述：当"6、5、4时，对应四边形分别是平行四

边形、直角梯形、等腰梯形...............................7分

（3）由（2）及已知，ZCOB=60°,=是等边

三角形

贝!JOB=OC=AD=6,OP=t,3Q=2r,.•.OQ=6—2f(0<r<3)

过P作PE_LOQ于E,则=...........................8分

'2

=；x6x36—gx(6—2f)x*/=*[—|)+£有

.,°BCPQ..............9分

当f=g时，58c也的面积最小值为第百......................10分

,此时OQ=3,OP=-,OE=-：.QE=?>--=-PE=*~

24444

2

229

:.PQ=y1PE+QE陷+11分

丁4

【。。2】解：⑴1,|

(2)作QFd_AC于点F,如图3,AQ=CP=t,：.AP=^/t.

D

由△AQFS/V\BC,BC=^?=4,F*PC

图3

得如，..・.QF=3.；（3一*

455

即s=_%+3.

55

A

(3)能.图4

①当。E〃QB时，如图4.

'：DE±PQ,：.PQ±QB,四边形Q8E。是直角梯形

此时N4QP=90°./

由△APQS/V\8C,得丝="，,

即£=”.解得,=2.

358

②如图5,当PQ〃8c时，DE1BC,

梯形.

此时N4PQ=90°.

由△4QPs/\4BC,得丝二丝，

ABAC

即'”.解得f=”.

538

(4)r△或「竺.

214

【注：①点P由。向4运动，。

方法一、连接QC,作QGLBC于点G,如图6.

PC=t,QC2=QG-+CG2=[|(5-0]2+[4-(5-r)]2.

由*得产心_必[4于博2,解得今.

方法二、由CQ="=AQ,得NQAC=NQCA,进而可得

NB=NBCQ,得CQ=BQ,AQ=BQ=^.♦.'=1

②点P由A向C运动，DE经过点C,如图7.

(6-r)2=[j(5-r)]2+[4-^(5-O]2t=—_

55,14]

[003]解.⑴点A的坐标为（4,

8)....................1分

将A(4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入y=ax2+bx

r8=16a+4b

I得

0=64a+8b

_1_

解得a=-2,b=4

抛物线的解析式为：y=-

]_

2x2+4x....................3分

PEBC

(2)①在RSAPE和RtAABC中，tanZPAE=AP=ABt

PE4

即而

.•.PE=2AP=^t.PB=8-t.

]_

点E的坐标为(4+'t,8-t).

11

.•.点G的纵坐标为：一2(4+2t)2+4(4+2t)=-

8t2+8...........5分

，EG=-8t2+8-(8-t)=-8t2+t.

1

V-8<0,...当t=4时，线段EG最长为

2...........7分

②共有三个时

亥IJ............

8分

1640

tl=3t2=13,t3=

8石

2+6...........11分

[0041(1)解：由寸+厂°'得x点坐标为㈠灯

由-2x+16=0,得x=8..'.B点坐标为(&°)・

AB=8-(-4)=12.(2分)

28

<y=­3X+—39］rx=u5，

由［y=-2x+16.解得［y=6....c点的坐标为(5,6>(3分)

,SaABC=/X12x6=36.（4八）

2Q

jx=x=8,y=-x84——8.

（2）解：•.•点。在4上且nRn33：,D

点坐标为（&外（5分）又•.•点E在4上且

%=%再，升6.=8E点坐标为（4,8）・（6分）

OE=8—4=4,EF=8.（7分）

（3）解法一：①当00<3时，如图1,矩形DEFG与△ABC

重叠部分为五边形C"FGR（f=°时-，为四边形C”FG）.过

C作CM，于M,贝|JRtA/?GBsRtACMB.

（图1）（图2）（图3）

BGRGtRG

~BM-~CM'即3一工’RG=It.RtAAF/7sRtAAMG

1i2

.S=S&ABC一S4BRG-SAAFH=36--X/X2/--(8-/)X-(8-r).

>•'NJ

【005］（1）如图1,过点E作EG_L5C于点G.

•.•E为”的中点,

BE=—AB=2.

在放ZXEBG中，NB=60。,N5EG=30。.2分

BG=—BE=1,EG=物―『=瓜

即点E到BC的距离为63分

(2)①当点N在线段A。上运动时，△PMN的形状不发

生改变.

•/PM±EF,EG±EF,：.PM//EG.

••EF//BC,•EP=GMPM=EG=品

同理MN=A8=4.4分

如图2,过点P作于〃，

ZNMC=ZB=60°,ZPMH=30°.A___

PH=>PM=0

22

3

MH=PMcos30°=-.

2

35

NH=MN-MH=4--=-.

则22

PN=>jNH2+PH2=I-|+—=Q

在中，12J

△PMN的周长=PM+PN+"N=G+V7+4.6分

②当点N在线段。。上运动时，△PMN的形状发生改变,

但△MNC恒为等边三角形.

当PM=PN时，如图3,作PRLMN于R,则MR=NR

MN=2MR=3.7分

•.•△MNC是等边三角形，:.MC=MN=3.

此时，x=EP=GM=BC-BG—MC=67-3=2.8分

,如=”哪如图4这时MC、N=MP=q

虱&P=MW如“5,J扁PM=/PMM一如B应_____

GMGMG

图3图4图5

则/PMN=120°,又NMNC=60°,

/PNM+/MNC=180°.

因此点尸与尸重合，APMC为直角三角形.

MC=PMtan30°=1.

止匕时，x~EP=GM=6—1—1=4.

综上所述，当x=2或4或（5—6）时，为等腰三角

形.

5_

【006］解：（1）（^=1,所以浦=-1,又由面积知0.50CXAB=4Z

5_

得AB=2,

,）+3

±

设A（a,0）,B（b,0）AB=b-a=，+加?-4"=彳，解得p=2?

_3

但p<0,所以p=2o

23,

y—x—x-1

所以解析式为：2

231

（2）令y=0,解方程得'-5'一1=°,得"=-5'々=2,所

_1正

以A（2Q）,B（2,0）,在直角三角形AOC中可求得AC=2,

同样可求得BC=石，显然AC2+BC2=AB2,得^ABC是直

5_

角三角形。AB为斜边，所以外接圆的直径为AB=5,所以

55

——<m<—

440

(3)存在，AC±BC,①若以AC为底边，则BD〃AC,易

求AC的解析式为y=-2x-l,可设BD的解析式为y=-2x+b,

把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4,解方程组

[,3,

y二厂——x-1

2_5

y=-2x+4得D(-5,9)

②若以BC为底边，则BC〃AD,易求BC的解析式为

y=0.5x-l,可设AD的解析式为y=0.5x+b,把A(2,0)代

23

y=x——x—1

<.2

入得AD解析式为y=0.5x+0.25,解方程组b=。&+0.25得

53_5_53

D(252)综上，所以存在两点：(一万护)或(5'5)。

.(1)过点A作AEJLx轴垂足为E(如图1)

•••A(-3,4),-.AE=40E=3.-.OA=VAE2+OE2=5

[007]•••四边形ABCO为菱形.-.OC=CB=BA=OA=5.-.C(5,0)..............................

设直线AC的解析式为:y=kx+b丹

l-3k+b=4

直线AC的解析式为:y=-^-x+^......................

(2)由(1)得M点坐标为(0,*).-.OM=1-

如图1,当P点在AB边上运动时

由题意得OH=4

2

.-5=i-BP»MH=l-(5-2t)-1-

•••S=-3+舁(0Wt<4")...............................2分

242

当P点在BC边上运动时，记为P1

・・•乙OCM二乙BCMCO=CBCM=CM

.-.△OMCsABMC.-.OM=BM=4-Z.M0C=ziMBC=90o

2图］

.,.S=；PBBM』(2t-5)W金亚-冬符＜区5).......................................................2分

//乙/4/

(3)设OP与AC相交于点Q连接OB交AC于点KvzlAOC=Z.ABC.ZA0M二4ABM

•••匕MPB+乙BCO=90°乙BAO=Z.BCO乙BAO+乙AOH=90°

・•・4MPB=4AOH.・•乙MPB=ZMBH

当P点在AB边上运动时，如图2

•.Z.MPB=ZMBH,-.PM=BMvMHIPB

.-.PH=HB=2.-.PA=AH-PH=1■■-t=T……1分

vAB/ZOC.-.ZPAQ=ZOCQ

vZ.AQP=ZCQO.'.△AQP'^ACQO.AQ_AP__1.

"CQ="CO'

在RtAAEC中AC=VAE2+EC2=V4i+8r=4"

.­.AQ=2VTQC=¥

在RtAOHB中OB=VHB2+HO2=\/^+V=2VT

vAC±OBOK=KBAK=CK图2

.­.OK=A/TAK=KC=2V5".•.QK=AK-AQ=^^..•tan4OQC=^=/1分

当P点在BC边上运动时，如图3•.2BHM=Z.PBM=90。NMPB=Z.MBH

53

r.tan乙MPB=tanZ.MBH.•.嚼=黑2_2

DrHBBP-2

.-.BP=^-1分

36

.•.PC=BC-BP=5-4T-=4-

33

由PC〃OA同理可证△PQC-ZiOQA.CQ=CP

"AQ'AO

"

.CQ_=LCQ=〃AC=VT.­.QK=KC-CQ=V5

"AQ3

•.•OK=VT.".tanLOQK=^^-=11分

综上所述’当上十时,乙MPB与乙BC0互为余角,直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为今

当t=竺时，4MPB与aBCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为1

O

[008]证明：(1)VZABC=90°，BD±EC,

.•.Nl与N3互余，N2与N3互余，

.\Z1=Z2............................................................1分

VZABC=ZDAB=90°，AB=AC

.,.△BAD^ACBE2分

.\AD=BE3分

(2)YE是AB中点,

，EB=EA由(1)AD=BE得：AE=AD..................................5

分

VAD//BCAZ7=ZACB=45°VZ6=45°，N6=N7

由等腰三角形的性质，得：EM=MD,AMlDEo

即，AC是线段ED的垂直平分线。..........7分

(3)△DBC是等腰三角(CD=BD)........................8分

理由如下:

由(2)得：CD=CE由(1)得：CE=BD/.CD=BD

.'.△DBC是等腰三角形。..............10分

[009]解：(1)①AC_Lx轴，轴,

••・四边形4E0C为矩形.

轴，轴，

，四边形8。"为矩形.

AC，x轴，BD_Ly轴，

，四边形AEOK，DOCK,B8K均为矩形.1分

0。=玉，AC=y,Xyy=%

/.S矩形4foe=OCAC=x]y]=k

OF=&,FB=y2,x2y2=k

S矩形BDOF=OFFB=X2y?=k.

：.S矩形AEOC=S短形BDOF.

S矩形A£DK=S矩形AEOC_S矩形00cK,

S矩形CFB彳号形BD诊,

S矩形血＞K=S矩形CF8K.2分

②由(1)矢口S矩形AEDK=S矩形B8K.

.・・AKDK=BKCK.

AKBK

,\~CK~~DK,4分

/AKB=/CKD=9C,

・・・AAKBSUKD5分

ZCDK=ZABK

:,ABII3.6分

AC〃y轴，

••・四边形A8N是平行四边形.

:.AN=CD.7分

同理8M=CO.

/.AN=BM.8分

(2)AN与仍然相等.9分

S矩形A£DK=S矩形4foe+S矩形ODKC,

S矩形8KCF=§矩形BDOF+S矩形ODKC,

又S矩形0c=S矩形BDOF=卜,

S矩形4£DK=S矩形BKCF.10分

.•AKDK=BKCK

CKDK

NK=NK,

ACDKs/\ABK.

ZCDK=NABK

：.AB//CD^£分

AC//y轴，

••・四边形AN。。是平行四边形.

AN=CD

同理8M=CD

AN=BM.12分

—4Q+2b—3,

-----=1・

[010]解：(1)根据题意，得I2a2分

Q=1,

解得M=-2.抛物线对应的函数表达式为k公-2》-3

\N

3分K

(2)存在.

在y=f_2x_3中，令x=0,得好-3.

令y=0,得f_2x-3=0,"=T，%=3.

"(—1,0)，8(3,0)，C(0,-3)•

又y=d)2—4,.•.顶点M(L-4).5分

容易求得直线C”的表达式是y=r-3.

在y=r-3中，令y=0,得x=-3.

N(-3,0),；.AN=2.6分

在y=f_2x_3中，令y=_3,得%=0,%=2.

:.CP=2,;.AN=CP.

AN〃CP,.•.四边形ANCP为平行四边形，此时P(2,-3).

8分

(3)△AW是等腰直角三角形.

理由：在"T+3中，令x=。，得蚱3,令y=0,得尤=3.

...直线y=-X+3与坐标轴的交点是0(0,3),5(3,0).

OD=OB,ZOBD=45°.9分

又点C(0,-3),二08=。。..•.NOBC=45。.如分

由图知NAEF=NA5F=45°,ZAFE=ZABE=450#分

.•.NEAF=90°,且AE=A/..•・△4跖是等腰直角三角形.

12分

(4)当点E是直线丁=-x+3上任意一点时，(3)中的结

论成立.14分

[011]解：(1)证明：在RtZXFCD中，二飞为DF的中

点，CG=FD..............1分

同理，在RtADEF中，EG=FD.2分，

CG=EG................................3分

(2)(1)中结论仍然成立，即

EG=CG.............................................4分

证法一：连接AG,过G点作MN_1AD于M,与EF的延

长线交于N点.

ADAG-^ADCG中，AD=CD,ZADG=ZCDG,

DG=DG,

ADAG^ADCG.AG=CG...................................5

分

在△DMG与aENG中，：ZDGM=ZFGN,FG=DG,Z

MDG=ZNFG,

ADMG^AFNG.MG=NG在矩形AENM中，

AM=EN.......................6分

在Rt^AMG与Rt^ENG中，：AM=EN,MG=NG,

△AMG之△ENG.AG=EG.

EG=CG...................................................8分

证法二：延长CG至M,使MG=CG,

连接MF,ME,EC,....................................4分

在4DCG与△FMG中，VFG=DG,ZMGF=ZCGD,

MG=CG,

.,.△DCG^AFMG..\MF=CD,NFMG=NDCG.

.•.MF〃CD〃AB.........................................5分：.在RtA

MFE与RtACBE中，

MF=CB,EF=BE,AAMFE^ACBE.AZMEC=Z

MEF+ZFEC=ZCEB+ZCEF=90°./XMEC为直角

三角形.,/MG=CG,...EG=MC.............8分

(3)(1)中的结论仍然成立，即EG=CG.其他的结论

还有:EG_LCG.........10分

【012］解：(1)圆心。在坐标原点，圆。的半径为1,

•••点A、£C、。的坐标分别为

A(-,J够、)，、(C0

抛物线与直线=x交于点/、N,且M4NC分别与圆

。相切于点A和点C,

A/(T，-1)、ML1).点。、用、N在抛物线上，将

£)(0,1)、M(-1,-1)>N(L1)的坐标代入y=af+6料,得：

a--\

[l=a+"c解之，得：g

抛物线的解析式为：yu-V+x+i.4分

L-1Y4

y=一丁+1+1=一

I2；4

(2)

X=

・•・抛物线的对称轴为2,

:.OE=-,DE=.f+l=75

2\42.6分y八

连结BE,NBFD=90°,

D

:.ABFDsAEOD,"D0Kx

/IB\

DE=MOD=\,DB=2/

又2

f4石

5

:・EF=FD—DE=迫—旦=^~

5210.8分

(3)点P在抛物线上.9分

设过°、。点的直线为：y=^+b,

将点C(1，O)、D(O，D的坐标代入产履+》,得:k=-1,b=1,

二直线比为：y=-x+i.10分

过点8作圆。的切线“与x轴平行，P点的纵坐标为

y=-1,

将y=T代入y=f+i,得:》=2.

2点的坐标为(2D,当》=2时

y=—x2+x+l=—22+2+1=—1,

所以，P点在抛物线k一/+x+l上.12分

【013］解:⑴该抛物线过点以0,-2),.•.可设该抛物

线的解析式为k加+法一2.

将44,0),8(1,0)代入，

1

a=—，

2

16。+48-2=0,|5

<h=-

得3+匕-2=(1解得I2

15c

y=—x24—x-2

此抛物线的解析式为-22(3分)

(2)存在.(4分)

如图，设P点的横坐标为加，

15-

—m2T—m—2

则P点的纵坐标为22,

当1(机<4时，

15

PM=——m7+—tn-2

AM=4-tnf22

又NCOA=/PMA=90°,

AMAO2

・•.①当市―加―？时，

△APMsxxco,

4-/n=2|——m2+—m-2।

即I22J.

解得町=2叱=4（舍去），.一（21）.（6分）

AM_O\_

②当~P~M一~61时,Ps血,即

2（4-tn）=——nr-\--m-2

22.

解得町=4,牡=5（均不合题意，舍去）

.•.当1＜加＜4时，P（2,l）.（7分）

类似地可求出当机＞4时，P（5,-2）.（8分）

当“＜1时，P（—3,-14）.

综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，-2）或（-3,-14）.

（9分）

(3)如图，设。点的横坐标为世°＜"4),则。点的纵坐

——r+-t-2

标为22.

过。作，’轴的平行线交AC于E.由题意可求得直线AC

1c

y=-x—2

的解析式为.2.(io分)

•1'E点的坐标为

DE^--t2+2t

22U；2

(11分)

1(1\

S&DAC=~x——/2+2zJx4=-f2+4,=—(f-2)~+4

.•.当"2时，4c面积最大.(13分)

[014](1)解：•「A点第一次落在直线):x上时停止旋

转，.旋转了45°.

...OA在旋转过程中所扫过的面积为

45万x2?_7i

360=5............4分

(2)解：MN//AC,

ZBMN=ABAC=45°fZ・BNM=ZBCA=45°

:JBMN=ZBNM.BM=BN.又,:BA=BC,；,AM=CN,

又O4O,ZOAM=NOCN△QAM三bOCN

中，当MN和AC平行时，正方形0ABe旋转的度数为

45°-22.5°=22.5°.....................................................................................

8分

（3）答:。值无变化.证明：延长BA交g轴于E点，则

ZAOE^45°-ZA0M,

ZCON90°-45°-ZAOM=45°-ZAOM,•ZAOE=ZCON

又061,NOAE=180°—90°=90°=NOCN.

△Q4E=\OCNOE=ON,AE=CN

）

V,・,ZMOE=AMON=4f5°OM=OfM•••AOME=MM/Nv

>••MN=ME=AM+AE••••MN=AM+CN9