拓展三构造抽象函数模型解不等式和比较大小-高二数学讲义（人教a版2019选择性必修第二册）

拓展三：构造抽象函数模型解不等式和比较大小

善高频考点

—考点一根据导数四则运算构造辅助函数

(->旷(x)+/(x)型

考点二构造F(x)=1见V)类型的辅助函数(二)4(x)-/(x)型

(三)^c)+nf(x)tAxf(x)-nf(x)ffl

《一)/(x)+/(x)M

构造抽象函数模型解不

等式和比较大小

《三)/(.v)+wf(x)Af(x)-wf(x)fl

(一)正切型

考点四构造F(x)二/(x)sin.M(x)3).尸(幻/(x)cosx.F(x)〃幻臭型的辅助的数—《：)利用cosx9/仕)构造型

sinxcosx

(三)利用加x与/(x)构造型

考点五构造F(x)=M/(x)类型的辅助函数

之二知识梳理

1、构造抽象函数模型主要观察两个结构：

(1)等价不等式的变形结构(分离变量)

(2)已知条件中关于导数/'(x)的关系式特征；

2、构造抽象函数模型解不等式和比较大小，前提要求学生熟练应用两个函数的和、差、积、商的求导公式，

实质上就是构造目标导函数(一元)的原函数，是一个积分的过程，学生可以通过专题训练体会求原函数

和原函数的不唯一性，因题而异，构造合适的抽象函数模型；

3、本专题从函数多项式、具体的指数函数、三角函数与/(幻的关系分类构造抽象函数模型，读者朋友可

以基于文章，直接根据函数的四种运算进行分类讨论和归纳，其中乘法和除法比较常见，现归纳如下：

常见函数的变形

(1)对于/'(x)>g'(x),构造〃(x)=/(x)—g(x)

(2)对于尸(x)+g，(x)>0,构造Mx)=/(x)+g(x).

(3)对于r(x)g(x)+/(x)g'(x)>0,构造〃(x)=/(x)g(x)

(4)对于/'(x)g(x)-/(x)g'(x)>0,构造〃(龙)=今?

g(x)

(5)对于不等式f(x)>Z(后70),构造函数g(x)=/(x)-履+6.

(6)对于不等式/'(6+/(尤)>0,构造函数g(x)=e"(x)

拓展：对于不等式/'(龙)+〃/(x)〉0,构造函数g(x)=e""(x)

(7)对于不等式f(x)—/(x)>0,构造函数g(x)=/学

e

拓展：对于不等式f(x)-4(x)>0,构造函数8(6=与

e

对>k,构造g(X)=e*[/(x)-打

(8)对于不等式"(x)+/(x)>0,构造函数g(x)=?(x)

拓展：对于不等式力(%)+歹(%)>0，构造函数g(x)=x"/(x)

(9)对于不等式对'(x)-/(x)〉0,构造函数g(x)=/®(xH0)

X

拓展：对于不等式"(x)-4(x)>0,构造函数g(x)=」乎

(10)对于黑>0,分类讨论：

f(x)

①若/(x)>0,则构造/z(x)=ln/(x);②若/(x)<0,则构造〃(x)=ln[-/*)]

(11)对于f'(x)+lnQ(x)>0,构造/?(%)=a"(x).

(12)对于r(x)lnx+四>0,构造〃(x)=/(x)lnx.

X

(13)对于/'(x)>/(x)tanx(§^/'(x)v/(x)tanx),即尸(x)cosx二f(x)sinx>0,构造

h(x)=f(x)cosx.

(14)对于尸(x)cosx+/(x)sinx>0,构造/心)=^^.

cosx

(15)对于f'(x)sinx+f(x)cosx>0,构造h(x)=/(x)sinx.

(16)对于/'(x)sinx—/(x)cosx>0,构造力(幻=型».

sinx

4、构造函数是数学的一种重要思想方法，它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想.分

析近些年的高考，发现构造函数的思想越来越重要，而且很多都用在压轴题(无论是主观题还是客观题)的解

答上.

构造函数的主要步骤：

(1)分析：分析已知条件，联想函数模型;

(2)构造：构造辅助函数，转化问题本质;

(3)回归：解析所构函数，回归所求问题.

N颗考点精析____________________________________________________

考点一根据导数四则运算构造辅助函数

1.(2022秋.黑龙江哈尔滨.高二哈尔滨市第一六二中学校校考阶段练习)已知定义在R上的函数/(“满足

/(1)=1,且“X)的导函数:(X)在R上恒有((x)<1I则不等式y+；1的解集为()

A.(l,+oo)B.(-oo,l)C.(-1,1)D.(TO/)(1,-KO)

【答案】A

【分析】令=根据题意可得g(x)在R为单调递减函数，进而即得.

【详解】因为y+g1可化为V*1

令g(x)=—；，则g'(x)=/(x)—g,

因为ra)<g，

所以g'(x)<0,所以g(x)在R上单调递减,

因为/。)=1,所以g(i)=/(i)_g_g=o，

所以g(x)<g⑴，

所以X>1,即不等式f(x)<]+g的解集为(l,xo).

故选：A.

2.(2022秋•江苏淮安•高二校考开学考试)已知广⑴是函数/⑴的导数，且/(-1)=/(幻，当时，

r(x)>3x,则不等式/(划一/*一1)<3工一|的解集是()

A.(—!,0)B.C.(《,+00)D.(—oo,《)

2222

【答案】D

【分析】构造函数g(X)=/(X)-|x2,根据导数判断单调性，再利用奇偶性求出解集.

【详解】设g(x)=f(x)-1x2,则g'(x)=/'3—3x,

因为当xNO时，r(x)>3x,所以当XWO时，g'(x)>0,

即g(x)在。内)上单调递增，

因为/(-X)=/(X),所以/(X)为偶函数，则g(x)也是偶函数，所以g(x)在(F,0］上单调递减.

333

因为/(x)-f(xT)<3x-5,所以/⑶丁-

即g(x)<g(x-l),

则解得x<g,

故选：D.

3.(2023•青海海东・统考一模)已知定义在R上的函数/(x)的导函数为广(x),若r(x)<e^',且〃2)=e2+2,

则不等式/(lm)>x+2的解集是()

A.(0,e2)B.(0,2)C.(-oo,e2)D.(-oo,2)

【答案】A

【分析】设g(x)=/(x)-e，+2,求导可得g(x)在R上单调递减,再根据f(hu)>x+2转化为g(hu)>4,

再结合g(x)的单调性求解即可.

【详解】设g(x)=/(x)—e'+2,则g，(x)=_f(x)—e'.

因为广(x)<e',所以/'(x)—e，<。，即g'(x)<0,

所以g(x)在R上单调递减.

不等式〃隈)>》+2等价于不等式/(hu)-x+2>4,即g(hu)>4.

因为f(2)=e2+2,所以g(2)=〃2)-e2+2=4,所以g(lnx)>g⑵.

因为g(x)在R上单调递减，所以lnx<2,解得0-2

故选：A

4.(2021秋•黑龙江大庆♦高二大庆实验中学校考开学考试)已知函数/J)满足：VXGR,/(x)+/(-x)=2cosx,

且r(x)+sinx<0.若角。满足不等式/S+a)+/(a),,0,则。的取值范围是()

71\(71~

A.--,+℃>B.-co,--

L2)I2」

乃乃］「八万

C.----D.0,-

122」2」

【答案】A

［分析］构造函数g(x)=/*)-cosx,XeR,并判断函数g(x)为R卜.的奇函数,再根据g'(x)=/'(x)+sinx<0,

可得g(x)在R上单调递减，最后进行求解得a的取值范围.

【详解】解：构造函数g(x)=/(x)-cosx,xeR,

由/(X)+/(-X)=2cosX化为：/(x)-cosx=4/(-x)-cos(-x)］,

g(x)=-g(-x)，，函数g(x)为R上的奇函数，

则g'(x)=/'(X)+sinx<0,g(x)在R上单调递减.

若角&满足不等式/(万+&)+/(£),,0,则/(乃+£)-8$(乃+。),，-"3)-<：0$0］,

71

即g0r+a)„—g(a)=g(-e),.•.乃+a..-a,解得：a...--.

故选：A.

5.(2022春.湖南邵阳.高二统考期末)设〃x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，

r(x)g(x)+/(x)/(x)>0,且〃2)=0,则不等式/(x)g(x)>0的解集是()

A.(—，-2)_(0,2)B.(-2,0)u(0,2)

C.(-<»,-2)U(2,+a?)D.(-2,0)(2,+<»)

【答案】D

【分析】设6(x)=/(x)g(x),可得奇偶性,求导数确定力(X)的单调性，由单调性解不等式.

【详解】设h(x)=f(x)g(x)，则h\x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),

x<0时，//(x)>0,〃(x)递增，

又是奇函数,所以/(-2)=-/(2)=0,从而以-2)—(-2)=0,

由h(x)=/(x)g(x)>0得-2<x<0,

人(0)=f(0)g(0)=0,

K-x)=/(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),所以〃(x)是奇函数，

所以h(x)在x>0时也是增函数，〃(2)=/(2)g(2)=0,

所以由h(x)=/(x)g(x)>0得X>2,

综上，不等式的解为(-2,0凡1(2,内).

故选：D.

6.(2022・全国•高二专题练习)已知函数火x)的定义域为R,/(x)为兀0的导函数，且式x)+(x—1»'(x)>0,

则()

A..AD=0B.f(x)<0

C.於)>0D.(》一1施)<0

【解析】令g(x)=(x-1求X),

贝Ug'(x)=Ax)+(%-!/(x)>0,

所以g(x)在R上是增函数，

又因为g⑴=0,

所以当x>l时，g(x)=(x-l)f(x)>0；当x<l时，g(x)=(x-l)J(x)<0,

所以当xWl时，J(x)X),

又用)+(1—(1)=川)>0,

所以ABD错误，C正确.故选C

7.(2022春.云南曲靖.高二校考期中淀义在(0,+8)上的函数〃同满足4'(力-1-》>0,且/(10)=w10610),

则不等式/(e')>e'+x的解集为()

A.(10,-+oo)B.(Inl0,-K)o)

C.(ln5,+oo)D.(-oo,5)

【答案】B

【分析】令g(x)=/(x)-lnx-x,由已知条件可得g(x)在(0,+8)上单调递增，不等式/(e*)>e*+xuj转化

为g(e')=/(e')—x—e*>0,即g(e，)>g(10),进而有ex>10,解不等式即可得答案.

【详解】解：令g(x)=f(x)-lnx-x,

因为定义在(0,y)上的函数满足/(x)T-x>0,

所以8，")=尸(刈_1-1=老耳上」>0,

所以g(x)在(0,+8)上单调递增,

因为f(10)=ln(10e*>)=10+lnl0,

所以g(10)=0,

所以不等式/(e*)>e，+x可转化为g(e，)=/(e>x-e'>0,即g(e")>g(10),

所以ex>10,

所以x>lnlO,

所以不等式/(e')>e'+x的解集为(In10,”).

故选：B.

考点二构造"X)=『/U)类型的辅助函数

(一)4(x)+/(x)型

8.(2022秋.江西赣州•高二校考阶段练习)已知定义在R上的函数/(x)的导函数为尸(x),若对任意的实

数x,不等式#'(x)+/(x)<()恒成立，且〃1)=3,则不等式/(e-')<3e，的解集为()

A.(一»,0)B.(Y0,T)

C.(In3,-no)D.(l,+<»)

【答案】A

【分析】引入函数g(x)=^(x),由导数确定其单调性，题设不等式转化为关于函数g(x)的不等式，然后

由单调性求解.

【详解】设g(x)=4(x)，则g'(x)=#'(x)+〃x)<o,所以g(x)在R上单调递减；由/(ef)<3e，，得

e-V(eT)<lxf(l),即g(e=')<g(l),所以解得x<0.

故选：A.

9.(2022.全国•高二专题练习)已知犬x)的定义域为(0,+8),/(*)为人x)的导函数，且满足兀0<一4(x),

则不等式加+1)>(L1次《-1)的解集是()

A.(0,1)B.(2,+8)

C.(1,2)D.(1,+°°)

【解析】构造函数y=q/(x),%e(0,+°°),

则y'=Ax)+xf'(x)<0,

所以函数y=?(/(x)在(0,+8)上单调递减.

又因为fl,x+I)>(%—1求/—1),

所以(x+一l^X2—1),

所以x+142—1,且A2—1>0,x+1>0,

解得x>2或x<—1(舍去)，

所以不等式/(x+l)>(x—1双P—1)的解集是(2,+8).故选B

10.(2022秋・福建莆田•高二莆田一中校考期中)定义在R上的可导函数y=/(x)的导函数记为/(X),若

y=/(x)为奇函数且/(-1)=0,当x>0时，W)+/U)<0,则不等式/(x)<0的解集是()

A.(-<o,-l)u(l,+oo)B.(-1,1)C.(-oo,T)50,DD.(-1,0)<J(l,+oo)

【答案】D

【分析】设g(x)=犷(x),x>0,根据题意求得函数g(x)在(TO,0)为单调递增函数，然后分x=0,x>0和

x<0三种情况进行求解即可

【详解】设g(x)=V(x),x>0,则g'(x)=/(x)+V，(x),

因为当x>0时，〃力+矿(刈<0成立，所以g'(x)<0,g(x)为递减函数，

乂因为函数y=〃x)为奇函数，可得/(T)=-"X),

则g(-何二一切^一打二步⑴二8门)，所以函数g(x)为偶函数，

所以函数g(x)在(TO,0)为单调递增函数，

因为J(T)=O,所以"1)=0,g⑴=0,g(-D=O,

当x=0时，由y=/(x)为奇函数可得f(x)=o不满足题意；

当x>0时,由f(x)<0可得g(x)=#(x)<O=g⑴,所以>>1；

当x<0时,由/(x)<0可得且⑴二双力对二8(-1),所以x>-l,此时-l<x<0,

综上所述，不等式/。)<0的解集是(-LO)u(L”)

故选：D

11.(2022春.湖北.高二校联考阶段练习)已知f(x)是定义在(YO,0)(0,一)上的奇函数，当x>0时,

/(x)+矿(x)>0且/(2)=(，则不等式/(%)>■!■的解集是()

2x

A.(-2,0)(0,2)B.(F-2)(2,包)

C.(9,-2)(0,2)D.(-2,())(2收)

【答案】D

【分析】构造函数g(x)="(x)，由己知条件可得函数g(x)的单调性和奇偶性，利用函数的单调和奇偶性解

不等式即可.

【详解】令g(x)=mx),“X)是定义在(YO,0)—(0,")上的奇函数，所以g(-x)=-V(—x)=4(x)=g(x),

所以g(x)是(F,0)一(0,««)上的偶函数，

当x>o时，g,(x)=/(x)+#,(x)>o,所以g。)在(o,+s)上单调递增，所以g(x)在(3,0)/•⑵=g,所以

2/(2)=1,则g(-2)=g⑵=1.

对于不等式/(x)>4,当x>0时，即g(x)>g(2),解得x>2：

X

当xvO时，xf(x)<1,gpg(x)<g(-2),解得一2Vx<0,

所以不等式/(x)>』的解集是(—2,0)(2,-KO).

x

故选：D.

12.(2022秋•江西赣州•高二校联考期中)已知定义在R上的偶函数产/'(x)的导函数为//'(X),当x>0时，

(⑴+以立<0,且"2)=3,则不等式/(工一1)<二的解集为()

XX—1

A.卜°,加(|收)B.(-oo,l)u(3,4«))

C.(3,+oo)D.6,1卜(1,3)

【答案】B

【分析】根据广(x)+§<0可变形为"‘(X)；"力<o,构造函数尸(力=v(x),判断其奇偶性、单调性，

据此分类解不等式F(x-1)>F(2)或F(x-1)<F(2)即可.

【详解】当x>0时，4(x)+区。=矿⑴土£■(包<0,

XX

所以当x>0时，#z(x)+/(x)<0,

令尸(x)=M'(x),则当x>0时，F'(x)=xf'(x)+/(x)<0,

故尸(x)=犷(x)在x>o时，单调递减，

乂因为产六可在R上为偶函数，所以尸(耳=#(尤)在R上为奇函数，

故尸(力=切'("在R上单调递减，因为〃2)=3,所以尸(2)=2〃2)=6,

当x>l时，/(x-l)〈二可变形为即尸(x—l)<F(2),

x—1

因为尸(x)=4(x)在R上单调递减，所以x—1>2且x>l,得x>3；

当x<l时，/(xT)〈二可变形为(犬-1)/(》-1)>6,即F(x_l)>F(2),

因为E(x)=4(x)在R上单调递减，所以x—l<2且x<l,得x<l；

综上：不等式f(x-l)〈二的解集为

X-I

故选：B.

13.(2022•全国・高二专题练习)函数/(x)是定义在(0,+8)上的可导函数，f(x)为其导函数，若

xf(x)+f(x)=K(x-2)且/(3)=0,则不等式/(x)<0的解集为()

A.(0,2)B.(0,3)C.(2,3)D.(3,+~)

【解析】函数/(x)是定义在(0,+8)上的可导函数，f(x)为其导函数，

令<p(x)=xf(x),则<p'(x)=x*f(x)+f(x)="(x-2),

可知当xG(0,2)时，<p(x)是单调减函数，并且0・_f(0)+f(0)=e°(0-2)=-2<0,即/(0)<0

XG(2,+8)时，函数是单调增函数，/(3)=0,

则<p(3)=3f(3)=0,

则不等式/(x)<0的解集就是xf(x)<0的解集，

不等式的解集为：{x|0<x<3}.

故选：B.

14.(2022•全国•高二专题练习)已知函数的定义域为R,其图象关于点(-1,0)中心对称，其导函数/《x),

当x<-l时，(x+l)[/(x)+(x+l)/(x)]<0,则不等式犷(x—l)>/(O)的解集为

A.(1,+?)B.(―<»,—1)C.(—1,1)D.l)<J(l,+℃)

【答案】C

【详解】由题意设g(x)=(x+l)/(x),则r(x)=/(x)+(x+l)1(x),当X<—1时，

(x+l)[/(x)+(x+l)/'(x)]<0,，当xv—l时，/(x)+(x+l)/'(x)>0,则g(x)在(-00,-1)上递增，函数

/(X)的定义域为R,其图象关丁点(-1,0)中心对称，，函数/(X-1)的图象关于点(0,0)中心对称，则函数

/(x-l)是奇函数，令Mx)=g(xT)=4(xT)，，〃(x)是R上的偶函数，且在(-?，。)递增，由偶函数的性

质得：函数〃(力在(0,+?)上递减，人(1)=〃0),.,.不等式双化为：/?(%)>/1(1),即|乂<1,

解得二不等式解集是(-1,1),故选C.

(二)4(x)-/(x)型

15.(2022・全国•高二专题练习)已知函数兀t)是定义在R上的奇函数,述1)=0,当x>0时，有灯亭"/)>0,

则不等式^)>0的解集是.

【解析】令g(x)=孽(xNO),

nI,zxf(x)—/(x)

则g'(x)=，八I

♦.,当x>0时，'4-■■1>0,

即g'(x)>0,

...g(x)在(0,+8)上单调递增.

又11)=0,

...在(0,+8)上，g(x)>0的解集为(1,+8),g(x)<0的解集为(0,1).

♦•7U)为奇函数，

，g(x)为偶函数,

...在(一8,0)±,g(x)>0的解集为(-8,-1),

g(x)vO的解集为(一1,0).

由不上>0,得,/(x)>O(xWO).

又於)乂)的解集为(-1,O)U(1,+«>),

不等式冏》>0的解集为(一1,O)U(1,+8).

16.(2021春・天津蓟州.高二校考期中)已知函数〃x)是定义域为｛Mx/。｝的奇函数，/(x)是其导函数,

"2)=2,当x>0时，矿(力-/(力<0,则不等式小1<1的解集是()

X

A.(—2,0)(2,+<»)B.(-2)<J(2,+”)

C.(2,+8)D.(-2,0)50,2)

【答案】B

【分析】由题意构造函数g(x)=以利用导数判断单调性，再由奇偶性解不等式即可.

X

【详解】令8。)=这，则g'(x)="'a)：/(x),

XX

当。>0时,xf(x)-f(x)<09故g'(x)v0,

所以g(x)在(0,+8)上单调递减，又g(2)=与=1,

所以g1<1即g(x)<g(2),

X

因为函数“X)是定义域为例XW0｝的奇函数，

而|、|<\/(-X)-/(X)/、

所以g(-x)=-----=------=g(x),

-x-x

即g(x)为定义域为例XH。｝的偶函数，

所以由g(x)<g(2)可得g(|x|)<g(2),

所以|x|>2,即x>2或x<-2,

即不等式犯<I的解集是(y,_2)U(2,+8),

X

故选：B

17.(2022.全国•高二专题练习)已知函数〃x)是定义在(3,0)5°，+8)的奇函数，当x«(),+8)时，

V，(x)</(x),则不等式》(2—x)+(x—2)"5)<0的解集为()

A.(-Go,—3)<J(3,+8)B.(―3,0)u(0,3)

C.(-3,0)0(0,7)D.(9,-3)0(2,7)

【答案】D

【分析】令g(x)=组，由题意可得g(x)=组为定义域上的偶函数，且在(3,0)上单调递增，在(0，+8)

上单调递减；分2-x>0与2T<0两类讨论，将不等式T(2-力+(尤-2)/(5)<0等价转化为g(2-x)<g⑸与

g（2-x）>g（-5）,分别解之即可.

【详解】令晨同=卓，

「当X€（0,+8）时，J/，（X）</（X）,

.•.当XG（0,+8）时，g'o"（a）,/⑴<0,

••.8（”）在（0，+8）匕单调递减；

又“X）为（-卜,0）（0，+?）的奇函数，

.・・8（_刈=正0=二"立=丛。=g（x）,即g（x）为偶函数，

—X—XX

.•透口）在（口,0）上单调递增；

又由不等式3（2-x）+（x-2）〃5）<0得3（2-x）v（2—x）〃5）,

当2—x>0,即x<2时，不等式可化为一"〈工包,即g（2-x）<g（5）,

2-x5

由g（x）在（0，+8）上单调递减得2-x>5,解得x<-3,故x<-3；

当2-x<0,即x>2时，不等式可化为，1*）>〃£）,即g（2-x）>g（5）=g（-5）,

2-x5

由g（x）在（Y,o）上单调递增得2-x>-5,解得x<7,故2Vx<7；

综上所述，不等式T（2—x）+（x—2）〃5）<0的解集为：（y,—3）u（2,7）.

故选：D.

18.（2022秋.安徽六安.高二六安二中校考阶段练习）定义在R上的奇函数满足％£（0,内）时，都有不

等式“同一#'（力>0成立，^a=log32/（log23）,6=应/［曰］，c=lnj/"n书），则。，h,c的大小

关系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b>a>cD.a>b>c

【答案】A

【分析】根据〃x）-#'（x）>0构造函数g（x）=©,可得函数为减函数，又由/（x）为奇函数可知g（x）为偶

X

函数，据此可比较a。，。大小.

【详解】当xe(O,+«)时不等式〃力-4'(力>0成立,

"(x)[=r(x)x-〃x)<0,

、一X2

g(X)=以皂在(0,+00)上是减函数.

X

#,近、

Lf(--)

贝|Ja=log,2/(log23)=/y?=goog?①，％=血/(乎)=2_=

log232V2

T

乂•・函数y=/(x)是定义在R上的奇函数,

；.g(x)=△。是定义在R上的偶函数，则

X

1%3>1>也/，g(x)在(0,+功上是减函数,

222

g(log23)<g*)<g(；)，贝lja<h<c,

故选：A.

「1-

19.(2022・全国•高二专题练习)已知函数兀i)=jdnx+Mx-a)2meR).若存在入£后，2」，使得#幻>4(x)

成立，则实数〃的取值范围是()

A£,+8)B.(|,+8)

C.(啦，+8)D.(3,+8)

【解析】由火x)H'(x)成立，可得图］'=史二号二幽<0.

设g(x)=•雪=lnx+(x—aA，则存在xG1,2,使得g'(x)=：+2(x—a)<0成立，

即心，+义)疝>.又X(=小,当且仅当X=(,即*=当时取等号，所以4>让.故选C

(三)以(x)+或X)或#'(x)-成X)型

20.(2022•全国•高二专题练习)设函数f(x)在R上可导，其导函数为/'(X),且2/(x)+矿(x)>0.则下列不

等式在R上恒成立的是()

A./(%)>0B.f(x)<0C./(x)>xD.f(x)<x

【答案】A

【分析】

根据给定不等式构造函数g(x)=/f(x),利用导数探讨g(x)的性质即可判断作答.

【详解】

依题意,令函数g(x)=x2/(x),则短。)=20'(8)+广/(X)=乂2/a)+切'，(刈，

因2/(幻+矿(x)>0,于是得x<0时g'(x)<0,x>0时g'(x)>0,

从而有g(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

因此得：VxeR,x2f(x)=g(x)>g(0)=0,而.f(())>0,即/(x)不恒为0,

所以f(x)20恒成立.故选：A

21.(2022・全国•高二专题练习)函数/(x)在定义域(0,钙)内恒满足:①,/(x)>0,②2/(x)<矿(x)<3/(x),

其中为f(x)的导函数，则

A1"1)J1<&)/1<〃1)J

R。-⑴/D.

A./南<5B.而<祠<京C.寸再8/(2)4

【答案】D

【详解】令g(x)=4*,x«0,x),g'(x)=")j2〃x),

0Vxe(O,+oo),2/(x)<xf\x)<3/(x),0/(x)>0,>0,

回函数g(x)在x«0,一)上单调递增，回g(l)<g(2),即4/(l)<〃2),隽<；，

J4

令心)=与，xw(o收)，〃，⑺="'("))37(力,

0Vxe(O,+oo),2/(x)<^f\x)<3/(x),”(x)<0,

即川)>『‘卜捐,故选a

团函数M%)在xe(。««)上单调递减,田〃⑴〉力⑵,

a

22.(2022秋・天津南开・高二校考期末)己知定义在(0,抬)上的函数/(可满足力(力+^7'(力<0,〃2)=j,

3

则关于X的不等式/(X)>3的解集为()

A.(0,4)B.(2,-H»)C.(4,-KO)D.(0,2)

【答案】D

【分析】构造函数Mx)=x2"x)，得到函数〃(%)的单调性，根据单调性解不等式即可.

【详解】令4(x)=x2〃x),则〃(x)=w(x)+f尸(x)<0,所以〃(x)在(0,”)单调递减，

不等式可以转化为x"(x)>4x[=22f(2),EP/Z(X)>/7(2),所以0<x<2.

故选：D.

23.(2023•全国•高二专题练习)/*)是定义在区间(0,+8)上的可导函数，其导函数为/(X),且满足

xf'(x)+2fM>0,则不等式(X+2022)?X+2022)<3舄的解集为()

3x+2022

A.{x|x>-2019}B.{x|x<-2019)

C.{x|-2022<x<0}D.{x|-2022<x<-2019)

【答案】D

【分析】构造g。)：//1),利用导数证明函数g(X)=//(X)在(0,+8)上单调递增，最后根据单调性解不

等式即可.

【详解】构造g(x)=//(x),贝IJg'(x)=2xf(x)+x2f\x)=42/U)+xfXx)],

因为定义域为(0,+8)，且矿(x)+2/(x)>0,

所以g'M=2jf(x)+x2f'(x)=A12/(x)+xf'(x)\>0

所以函数g(x)=x2f(x)在(0,+8)上单调递增，

不等式(x+2)22"x+2°22)<3嚷可化为：。+2()22)2/(%+2022)<32/(3),

3x+2022

即g(x+2022)<g(3),所以有0<x+2022<3,

解得：一2022cx<-2019.

即不等式的解集为："I-2022Vx<-2019}.

故选：D

24.(2023・全国♦高二专题练习)己知奇函数“X)是定义在R上的可导函数，其导函数为尸(x),当x>0时，

有2/(x)+V'(x)>。，则不等式(x+202iy/(x+2021)+”(-2)<0的解集为()

A.(2019,田)B.(-2021,-2019)

C.(TO,—2019)D.(-2019,0)

【答案】C

【分析】根据已知条件构造函数g(x)=//(x),可得g(x)在(0,+8)上为增函数，且g(x)为奇函数，然后将

(x+2021『f(x+2021)+4/(—2)<0可转化为g(x+2021)<g(2),从而可求出不等式的解集.

【详解】令g(x)=x2f(x),则g'M=2xf(x)+"(x)=42/(%)+xf\x)],

因为当x>0时，有2〃x)+矿(力>0,

所以当x>0时，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,+8)上为增函数，

因为/(x)为奇函数，所以/(-x)=-/3,

所以g(—X)=(一x)2f(-力=-x2f(x)=-g(x),

所以g(x)为R上的奇函数,

所以g(X)在R上为增函数，

由(x+2021)24X+2021)+4/(-2)<0,得

(X+2021)2/(X+2021)<^/(-2),

(X+2021)2/(X+2021)<-(-2)2/(-2).

所以g(x+2021)<-g(-2),

因为g(x)为奇函数，所以g(x+2021)<g(2),

所以x+2021<2,得x<-2019,

所以不等式的解集为(一»,-2019),

故选：C

25.(2022秋•江苏连云港.高二江苏省海头高级中学校考阶段练习)设函数/(x)是定义在(0,田)上的可导函

数，其导函数为/(X),且有刈''(x)>2/(x),则不等式4/(x-2022)-(x-2022)z/(2)<0的解集为()

A.(0,2023)B.(2022,2024)C.(2022,+oo)D.(7,2023)

【答案】B

【分析】构造函数g(x)=华，根据4'(x)>2/(x)得到g(x)=1苧的单调性，在变形不等式由单调性求解

x-X-

即可.

【详解】由题知，函数“X)是定义在(0,+8)上的可导函数，其导函数为了'(X),且有¥'(x)>2/(x),即

xf'(x)-2f(x)>0,

设g(x)=冬，

X

所以g，(x)=r/'(x)[2V(x)=旷'(x)12/(x)>0,

所以g(x)在(0,+s)上单调递增,

因为4/(x-2022)-(x-2022)2/(2)<0,

/(A-2022)/⑵

所以

(x-2022>

x-2022>0

所以,解得2022Vx<2024,

x-2022<2

所以不等式4/(x-2022)-(x-2022>/(2)<。的解集为(2022,2024),

故选：B

考点三构造尸(x)=e"贝x)类型的辅助函数

(一)/(幻+/(幻型

26.(2022.全国•高二专题练习)己知火x)为R上的可导函数，其导函数为/(x),且对于任意的xGR,均

有九0+/'(x)>0,贝心)

A.e-2021X-2021)</(0),e202lX2021)>/(0)

B.屋2021K—2021)勺(0),e202';(2021)</(0)

C.e-202，X-2021)>/(0),e2021/(2021)5^0)

D.e-2(,21X-2021)>y(0),e202lX2021)</(0)

【解析】构造函数/?(x)=e'fix),

则h'(x)=ey&)+e7‘(x)=e'L/U)+/(x)]>0,

所以函数/J(X)在R上单调递增，

故h(-2021)</?(0),即屋2。2次—2021)<e°/(0),即e202lJ(-2021)</(0).

同理,A(2021)>/i(0),即e202/2021)次0),故选A.

27.(2022春•天津和平•高二天津一中校考期中)设是定义在R上的可导函数，且满足/<-/(%),

对于任意的正数。，下面不等式恒成立的是()

A./(a)<eV(O)B./(«)>eV(O)

C./(小型D./(小型

【答案】C

【分析】构造函数g(x)=/(x)e1利用导数分析函数g(x)的单调性，结合函数g(x)的单调性可得出合适

的选项.

【详解】因为是定义在R上的可导函数，令g(x)=/(x)e',g，(x)=[r(x)+〃x)[e，，

因为/'(X)〈一/(X),e*>o,所以,g'(x)<0,故g(x)为R上的减函数,

因为〃>。所以,g(a)<g(O),即/(a)e"<〃0),因此，〃为<型.

e

故选：C.

28.(2022秋・湖南长沙•高二湘府中学校考阶段练习)已知f'(x)是函数/(X)的导数，

r(x)+f(x)>0,八2)=(2，则不等式f(lnx)<±2的解集是()

ex

A.(2,+oo)B.(e2,+oo)C.(0,e2)D.(0,2)

【答案】C

【分析】设g(x)=e"(x),求出函数的导数，得到g(x)在R上单调递增，问题/打。<2等价于g(f)<g(2),

即可解决.

【详解】令f=lnx,则x=e1

2

因为f(nr”？

所以〃。<看，即〃》'<2,

设g(x)=e"(x),

所以g'(x)=e*(〃x)+/"(x)),

因为/(x)+/'(x)>0，

所以g，(x)>0,所以g(x)在R上单调递增,

因为“2)=/,

所以g(2)=e2〃2)=2,

所以等价于g(f)<g⑵,

则/<2,RPlar<2,解得Oce].

所以不等式的解集是(O，e)

故选：C

29.(2022秋.江西南昌.高二南昌二中校考阶段练习)已知定义在R上的偶函数〃x)满足

/(x+2)-/(2-x)=0,42022)△，若〃x)<r(T),则不等式“x+l)>C的解集为()

ee

A.(y,0)B.(-00,1)

C.(l,+<»)D.(3,+oo)

【答案】B

【分析】由偶函数〃X)性质可按定义证得r(x)为奇函数，再结合f(x)〈尸(-X)得〃功+尸(力<0,构造

g(x)=e*〃x),由导数法可证g(x)单调递减,由。(*+2)-/(2-x)=0结合偶函数得f(x)的周期为4,即

可得e2/(2022)=g(2)=e,则f(x+1)>!等价为g(x+1)>g⑵，最后结合单调性求解即可.

【详解】."(%)是定义在R上的偶函数，.•j(x)=4-x),则r(x)=-r(-x),即/(可是奇函数，

由fM<f'(-x)=,可得f(x)+/'(x)<0,

构造g(x)=e"(x),则g'(x)=eI〃x)+r(x)]<0,所以函数g(x)单调递减，

/(x-2)=/(2-x),.-./(x)=/(-x+4)=/(-%),即/(x)的周期为4,

则/(2)=/(2022)=L即e»(2022)=e?/(2)=e=g(2)；

e

不等式f(x+1)>"可化简为e*+力x+1)>e,即g(x+1)>g(2),

所以x+l<2,解得xvl.

故选：B

30.(2022春•吉林•高二吉林省实验校考阶段练习)定义在R上的函数满足+⑴=4,

则关于不等式e"(x)>e，+3e的解集为()

A.(-w,0)B.(-oo,l)C.(0,+与D.(1,+8)

【答案】D

[分析]构造函数g(x)=e'/(x)-e'(xeR),由f(x)+f'(x)>1得g(x)的单调性，再将不等式e"(x)>e'+3e

转化为e"(x)-e'>3e,由构造函数g(x)的单调性与g⑴=3e即可求解.

【详解】设g(x)=e"(x)-e*(xwR),则g'(x)=e"(x)+e"'(x)-e"=e*[f(x)+r(x)-l],

Q/(x)+r(x)>l,..J(x)+/'(x)—1>0.又e*>0，

所以g'(x)>0.y=g(x)在定义域上单调递增，

对于不等式e"(x)>e'+3e转化为e'/(x)-er>3e,

X