湖南省衡阳市田家炳实验中学2025届高三数学12月月考试题

PAGE18PAGE19湖南省衡阳市田家炳试验中学2025届高三数学12月月考试题（满分：150分，时间：120分钟）一、单项选择题（本大题共8小题，共40分）1.已知复数z=5+3i1-i，则下列说法正确的是A.z的虚部为4i；B.z在复平面内对应的点在其次象限；C.|z|=5；D.z的共轭复数为1-4i

2.已知集合，则A∩B=(

) 3.通过随机询问200名性别不同的高校生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量K2的观测值k≈4.892，参照附表，得到的正确结论是(    )P(0.100.050.025k2.7063.8415.024有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”D.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”4.《易经》是中国传统文化中的精髓．如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为(    )114 B.5C.528 D.15..若函数f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)在RA. B. C.D.6.现有5名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为(    )A.22B.24 C.36 D.207.已知定义在R上的函数y=f(x)满意：函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称，且当x∈(-∞,0)时，f(x)+xf'(x)<0成立(f'(x)是函数f(x)的导函数)，若a=sinπ6fsinπ6，b=(ln2)f(ln2)，c=2flog121A.b>a>c B.a>b>c C.c>a>b D.a>c>b二、多项选择题（本大题共4小题，共20分）9.给出下列命题，其中正确命题为(    )A.若回来直线的斜率估计值为0.25，样本点中心为2,3，则回来直线的方程为y=0.25x+2.5

B.随机变量ξ∼ B(n,p)，若Eξ=30，Dξ=20，则n=90

C.随机变量X听从正态分布N1,σ2，PX>1.5=0.3410.将曲线y=sin2x-3sin(π-x)sin(x+3π2)上每个点的横坐标伸长为原来的2倍A.g(x)的图象关于直线x=3π2B.g(x)在[0,π]上的值域为[0,32]

C.g(x)D.g(x)的图象可由y=cosx+111.以下四个命题表述正确的是(    )直线3+mx+4y-3+3m=0x∈R恒过定点（-2,3）；

B.圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:x-y+2=0的距离都等于1

C.曲线C1:x2+y2+2x=0与曲线12.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC=23，CD=PC=PD=26.A.BM⊥平面PCD;B.PA//平面MBD

C.四棱锥M-ABCD外接球的表面积为36π；D.三棱锥M-PAD的体积为三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知向量a,b夹角为45°，且a=1,2a-14.在(x+3x)n的的绽开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则在(x+3x)15..已知tanαtanα+π4=-216.已知点P在曲线y=4ex+1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α四、解答题（本大题共6小题，共70分）17题（满分10分）.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满意b2+c2-a2=c(acosC+ccosA)．

(Ⅰ)求角A的大小；

(Ⅱ)若△ABC的面积为

18题（满分12分）.设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b

19题（满分12分）.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B(1)求证：平面CC1D(2)若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为20.题（满分12分）2024年春节期间，某超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过800元(含800元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形态、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单实惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折．方案二：从装有10个形态、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．(1)若两个顾客均分别消费了800元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单实惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？

21题（满分12分）.已知椭圆C的中心在原点，离心率等于12，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=83y的焦点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，已知P(2,3)，Q(2,-3)是椭圆上的两点，A

①若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值；

②当A，B运动时，满意∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．

22.已知函数f(x)=x2(1)探讨f(x)的单调性；(2)若f(x)恰好有两个零点，求实数a的取值范围．

高三数学12月月考卷解答题答案单项选择题（每小题5分，共40分）题号12345678选项DDDBCCBC多项选择题（每小题5分，共20分）题号9101112选项ABDBDBCDBCD填空题（每小题5分，共20分）四、解答题（本大题共6小题，）17题（10分）已知△ABC的内角X的对边分别为X，满意b2+c2−a2=c(acosC+ccosA)．

(Ⅰ)求角A的大小；

(Ⅱ若△ABC的面积为【答案】解：(Ⅰ)∵b2+c2−a2=c(acosC+ccosA)，

由余弦定理得，b2+c2−a2=c(aa2+b2−c2【解析】(Ⅰ)由余弦定理化简已知等式得b2+c2−a2=bc，可求cosA的值，结合范围0<A<π，可求A的值．

(Ⅱ)利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，利用二倍角公式可求sin2B，cos2B的值，进而依据两角和的正弦函数公式可求sin(2B+A)的值．

(18题（12分）设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b【答案】(Ⅰ)解：设等比数列{an}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2−q−2=0．

∵q>0，可得q=2．

故an=2n−1．

设等差数列{bn}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，

由a5【解析】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础学问，考查利用裂项相消法求和，是中档题．

(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q，由已知列式求得q，则数列{an}的通项公式可求；等差数列{bn}的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，可得等差数列的通项公式；

(Ⅱ)(i)由等比数列的前n项和公式求得Sn，再由分组求和及等比数列的前n项和求得数列19题（12分）如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B(1)求证：平面CC1D(2)若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为【答案】解：(1)证明：∵底面ABCD和侧面SCC1B1都是矩形，

∴BC⊥CD，BC⊥CC1

∵CD∩CC1=C，∴BC⊥平面DCC1D1

∵D1E⊂平面DCC1D1，∴BC⊥D1E，

∵D1E⊥CD，BC∩CD=C，∴D1E⊥底面ABCD

∵D1E⊂平面DCC1D1，

∴平面CC1D1D⊥底面ABCD．

(2)取AB的中点F

∵E是CD的中点，底面ABCD是矩形，

∴EF⊥CD

以E为原点，以EF、EC、ED1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E−xyz如图所示．

设ED1=a(a>0)，则E(0,0，0)，B(1,1，0)，D1(0,0，a)，C(0,1，0)，C1(0,2，a)

设平面BED1的法向量n1=(x1,y1,z1)，EB=(1,1,0)，ED1=(0,0,a)．

由n1⋅EB=0n1【解析】本题重点考查面面垂直的判定、二面角和线面角，考查推理实力和计算实力，属于一般题．

(1)通过求证D1E⊥底面ABCD，即可求证平面CC1D1D⊥底面ABCD；

(2)建立空间直角坐标系，设ED1=a(a>0)，由平面BCC20题（12分）2024年春节期间，某超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过800元(含800元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形态、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单实惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折．方案二：从装有10个形态、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．(1)若两个顾客均分别消费了800元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单实惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】解：(1)选择方案一，若享受到免单实惠，则须要摸出3个红球，

设顾客享受到免单实惠为事务A，则

P(A)=C33C103=1120，

所以两位顾客均享受到免单的概率为

P=P(A)⋅P(A)=114400；

(2)若选择方案一，设付款金额为X元，则

X可能的取值为0，600X06007001000P17217所以E(X)=0×1120+600×740+700×2140+1000×724=76416(元)；

若选择方案二，设摸到红球的个数为Y【解析】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．

(1)选择方案一，利用积事务的概率公式计算两位顾客均享受到免单的概率值；

(2)选择方案一，计算所付款金额X的分布列和数学期望值，

选择方案二，计算所付款金额Z的数学期望值，比较得出结论．

21题（12分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于12，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=83y的焦点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，已知P(2,3)，Q(2,−3)是椭圆上的两点，A

①若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值；

②当A，B运动时，满意∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．【答案】解：(1)设椭圆C的方程为x2∵抛物线的焦点为(0,2∴b=23由ca=12，∴椭圆C的方程为x2(2)设A(x1①设直线AB的方程为y=1代入x2得x2由Δ>0，解得−4<t<4，∴x1+∴|x∴四边形APBQ的面积S=1∴当t=0时，S取得最大值，且Smax②若∠APQ=∠BPQ，则直线PA，PB的斜率之和为0，

设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为−k，直线PA的方程为y−3=k(x−2)，由y−3=k(x−2),x216+y∴x将k换成−k可得x2∴x1+∴k∴直线AB的斜率为定值12【解析】本题考查椭圆标准方程和几何意义、抛物线的几何意义、直线与椭圆的位置关系以及圆锥曲线中的定值问题，属于较难的题目；(1)设椭圆C的方程为x2a2+y(2)①设A(x1,y1)，B(x2,②若∠APQ=∠BPQ，则直线PA，PB的斜率之和为0，

设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为−k，直线PA的方程为y−3=k(x−2)，由y−3=k(x−2),x216+y212=1消去

22题（12分）已知函数f(x)=x2(1)探讨f(x)的单调性；(2)若f(x)恰好有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)f′(x)=2x−(2a+1)+ax=2x2−(2a+1)x+ax=(2x−1)(x−a)x(x>0)，

①当a≤0时，x−a>0，故由f′(x)<0得0<x<12，f′(x)>0得x>12，

所以f(x)在0,12上单调递减，在12,+∞上单调递增；

②当a>0时，由f′(x)=0得x=12或x=a，

(ⅰ)若0<a<12，则由f′(x)<0得a<x<12，f′(x)>0得0<x<a或x>12，

f(x)在(0,a)上单调递增，在a,12上单调递减，在12,+∞上单调递增；

(ⅱ)若a=12，则由f′(x)=(2x−1)22x≥0，f(x)在(0,+∞)上单调递增；

(ⅲ)若a>12，则由f′(x)<0得12<x<a，f′(x)>0得0<x<12或x>a，

f(