2024-2025学年高中数学第三章指数函数和对数函数阶段提升课学案北师大版必修1

PAGEPAGE5第三课指数函数和对数函数题组训练一指数和对数的运算问题1．已知y＝4x的反函数为y＝f(x)，若f(x0)＝eq\f(1,2)，则x0的值为()A．－2B．－1C．2D．eq\f(1,2)【解析】选C.因为y＝4x的反函数f(x)＝log4x，又因为f(x0)＝eq\f(1,2)，所以log4x0＝eq\f(1,2).所以x0＝2.2．化简：eq\r(2\f(1,4))－eq\r(3,－8)＋eq\r(4,\f(1,16))＝__________.【解析】原式＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))－eq\r(3,（－2）3)＋eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(4))＝eq\f(3,2)－(－2)＋eq\f(1,2)＝4.答案：43．计算：①eq\r(3,（－4）3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)＋×.②log3eq\f(\r(4,27),3)＋2log510＋log50.25＋.【解析】①原式＝－4－1＋eq\f(1,2)×(－eq\r(2))4＝－3.②原式＝＋log5(100×0.25)＋7÷＝＋log552＋eq\f(7,2)＝－eq\f(1,4)＋2＋eq\f(7,2)＝eq\f(21,4).1．指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．2．对数运算的常用方法(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．题组训练二比较大小1．若a＝，b＝，c＝，当x＞1时，a，b，c的大小关系是()A．a<b<c B．c<a<bC．c<b<a D．a<c<b【解析】选B.a＝，b＝，c＝，当x>1时，利用指数函数和对数函数的值域可知，0<a<1，b>1，c<0，所以c<a<b.2．已知a＝，b＝，c＝，则()A．b<a<cB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b【解析】选A.因为a＝＝>＝b，c＝＝>＝a，所以b<a<c.3．若a>b>1，0<c<1，则()A．ac<bc B．abc<bacC．alogbc<blogac D．logac<logbc【解析】选C.对于选项A，考虑幂函数y＝xc，因为c>0，所以y＝xc为增函数，又a>b>1，所以ac>bc，A错．对于选项B，abc<bac⇔<eq\f(b,a)，又y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(x)是减函数，所以B错．对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C.数的大小比较常用的方法与技巧(1)常用方法：单调性法、图像法、中间量法．(2)技巧：①构造函数：当须要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．②借助中间值：比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”“大于等于0小于等于1”“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．题组训练三指(对)数函数的性质及应用1．当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是()A．(0，1)B．(1，2)C．(1，2]D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))【解析】选C.设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1，2)上的图像在f2(x)＝logax的下方即可，当0<a<1时明显不成立．当a>1时，如图，要使在(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2.所以loga2≥1，所以1<a≤2.2．当0＜x≤eq\f(1,2)时，4x＜logax，则a的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C．(1，eq\r(2)) D．(eq\r(2)，2)【解析】选B.当0＜x≤eq\f(1,2)时，1＜4x≤2，要使4x＜logax，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜logax，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,logaa2<logax，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,a2>x))对0＜x≤eq\f(1,2)时恒成立，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,a2>\f(1,2)，))解得eq\f(\r(2),2)＜a＜1.3．已知函数f(x)＝若f(x0)>3，则x0的取值范围是()A．x0>8 B．x0<0或x0>8C．0<x0<8 D．x0<0或0<x0<8【解析】选A.依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0≤0，,3x0＋1>3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0>0，,log2x0>3，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0≤0，,x0＋1>1))或eq\b\lc\{(\a\vs4