高考数学二轮复习 第二部分 突破热点 分层教学 专项二 二 2 第2讲 三角恒等变换与解三角形学案-人教版高三全册数学学案

第2讲三角恒等变换与解三角形

居搞图册

年份卷别考查内容及考题位置命题分析

卷I利用正、余弦定理求边或角•T171.高考对此部分的考查一

利用余弦定理求边长三角恒等变般以“二小”或“一大”

2018卷II

换•T15的命题形式出现.

卷III倍角公式三角形的面积公式•T92.若无解答题，一般在选

正、余弦定理、三角形的面积公式及两角择题或填空题各有一题，主

卷I

和的余弦公式要考查三角恒等变换、解三

2017余弦定理、三角恒等变换及三角形的面积角形，难度一般，一般出现

卷II

公式•T17在第4〜9题或第13〜15题

卷III余弦定理、三角形的面积公式•Tn位置上.

卷I正、余弦定理、两角和的正弦公式•T173.若以解答题命题形式出

诱导公式、三角恒等变换、给值求值问现，主要考查三角函数与解

三角形的综合问题，一般出

2016卷II题•T9

正弦定理的应用、诱导公式•「3现在解答题第17题位置

上，难度中等.

卷III正、余弦定理解三角形•T8

二考点突破

三角恒等变换与求值（基础型）

Q两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(。±£)=sinacos£±cosasin£.

(2)cos(Q±£)=cosacos£=FsinasinB.

tana+tan£

(3)tan(a±£)=

1+tanQtan8

a二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin2a=2sinQcosa.

(2)cos2Q=cos2CL—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a.

2tana

(3)tan2。=

1—tan2a

阴三角恒等变换的“四大策略”

(1)常值代换：特别是“1”的代换，l=sin?夕+cos?«=tan45。等.

(2)项的分拆与角的配凑：如sin2a+2cos2a=(sin2a+cos2a)+cos2a,a={a—

£)+£等.

(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.

(4)弦、切互化：一般是切化弦.

［考法全练］

1.已知aefo,—LJI

tana=2,则cos|a~T

解析：因为ae(0,g

,tan。=2,

所以sin。=芈，cos

55

JIJI

所以cos.-f=cosacos-r+sinasin-r

44

5>_3^10

9510,

答案:噜

2.已知cosa=g,cos(4+£)=•，且a,££(0JI

，则cos(。一£)

解析：因为aefo,-1

，所以2ae(0,Ji).

1,7

因为cosa=-,所以cos2a=2cos2a~1=

oy

=

所以sin2a=也一COS22Q~~^~

所以4+££((),兀)，

所以sin(。+£)=qi-cos?(a+£)

o

所以cos(q—£)=cos[2q—(q+£)]

cos2acos(q+£)+sin2asin(〃+£)

23

答案：力

3,兀

3.已知sin£4k〈£〈且sin（。+£）=cosa,则tan（。+£）=

3JI

解析：因为sin£=三，且于＜£＜兀，

o/

43

所以cos£=一7tan£=一了.

54

因为sin（。+£）=sinacos£+cosasin£=cosa,

1

所以tanQ2-

tan〃+tanB

所以tan（a+£）2.

1—tanatan£

答案：一2

考点㊁

正、余弦定理在解三角形中的应用(综合型)

n正弦定理及其变形

在△,中'£1=—2必"为△/比■的外接圆半径).变形：a=2必in/,

aA-A-

sin4=/a\b\c=sinA:sinB:sinC等.

0余弦定理及其变形

在中，a=］j+c2—2Z?ccos4

j2I22

9.9ob-rc-a

变形：D+c—a=2bccos4cosA=--------.

2be

©三角形面积公式

111

S^ABc=~^azbsinC=~bcsinA=~acsinB.

［典型例题］

。命题角度一求解三角形中的角

(fill］已知△Z8C的内角2,B,C所对的边分别为a,b,c,且8cosC+AsinC=a,

(1)求角8的大小；

(2)若回边上的高等于;a,求cos/的值.

【解】(1)由6cosC+6sinC=a,

得sinBcosC+sinBsinC=sinA.

因为A+B+C=兀,

所以sin8cosC+sinBsinf=sin(8+0,

即sinBcosC+sin厌in67=sin尻osC+cos厌inC,

因为sin今0,所以sinB=cosB.

JI

因为6£(0,兀)，所以6=了.

(2)设8c边上的高为AD,则AD^a.

JI13

因为T6=1，所以初=/〃=1为所以切=『，

所以AC=«A4+Dd=^a,AB=^a.

人〜口AE+Ad—BGA/5

由余弦7E理得cos/=—―~——=—毛.

ZI/L£)*/ILy0

融管同回

利用正、余弦定理求三角形的角，常见形式有：

(1)已知两边及其夹角，先由余弦定理求第三边，再由正弦定理求角.

(2)已知三边，直接由余弦定理求角.

(3)已知两边及其中一边的对角，先由正弦定理求另一边的对角，再由三角形内角和求

第三角，注意此类问题有一解、两解或无解的情况.

。命题角度二求解三角形中的边与面积

豳的如图所示，在△/6C中，点，为a7边上一点，且劭=1,

rRDc

、，32d72Ji

£为4。的中点，AE=~,cosB=^~,ZADB=—

(1)求4?的长；

(2)求△/庞的面积.

【解】(1)在△/砌中，因为COS8=T-,四(0,口)，

所以sinB=yjl—cos~B=

所以sin/掰2=sin(6+//庞)=

14,

1X恒

上丁力…TBkADBDBD*sinB7

由正弦定理知—~:/RAN付AD=:7DAn=m—=2•

sinBsin/BADsmXBADyj21

14

（2）由（1）知49=2,依题意得在△力切中，由余弦定理得力/二力力十加2

oJl

-2AD*DCcosXADC,BP9=4+D(^—2X2XDCcos~9

所以加一2%—5=0,解得%=1+m（负值舍去）,

所以SAAO>=^AD-DCsinZADC=^X2X(1+76)X小3+3/

22

从而c_lc^3+3^2

/AriljD/^ADE—~^>XACD一4

利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角.利用正弦定理求边，必须知道

两角及其中一边，如该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性.而三角形的面积

主要是利用两边与其夹角的正弦值求解.

［对点训练］

1.(2018•高考全国卷I)在平面四边形465中，NADC=90°,NA=45°,AB=2,

BD=5.

(1)求cos/ADB；

(2)若〃C=2/，求8C

BDAB

解：（1）在△/曲中，由正弦定理得

sinNZsin/ADB

52、回

由题设知,所以sin4的=5.

sin45°sin/ADE

2_y[23

由题设知，NZ施（90°,所以cosNZ施二125—5,

、历

⑵由题设及⑴知，c"如—膜板=半

在48切中，由余弦定理得

初=函+"—2•BD-DC•cosZBDC

=25+8—2义5义2/X

5

=25.

所以比'=5.

2.(2018•山西八校第一次联考)在回中，a,b,c分别是内角4B,。的对边，且

(a+c)2=Z/+34ac.

(1)求角8的大小；

(2)若6=2,且sin6+sin(。-4)=2sin2A,求△/回的面积.

解：(1)由(a+c)2=62+3ac,整理得才+c?一9二班

1

ac—b_ac-

由余弦定理得cosB—2

2ac2ac

因为所以6=可.

o

(2)在△/回中，A+B+C=TI,

即B=兀一(4+0，

故sin8=sin(4+0，

由已知sin夕+sin(C—/)=2sin2/可得sin(Z+0+sin(C—4)=2sin24

所以sinAcosC+cos/sinC+sinCeosA—cos6sinZ=4sinJeosA,

整理得cosZsinf=2sinZcosA.

JI

若cosZ=0,则/=5，

由6=2,可得。=丁七=芈，

tanB3

此时△力回的面积

4O

若cos/W0,则sinC=2sinA,

由正弦定理可知，c=2a,

代入a?+c2—炉=ac,整理可得3a2=4,解得a=芈，所以c=芈，

JO

此时△/回的面积S=；acsin

综上所述，△26C的面积为逑.

考点㊂

解三角形的综合问题（综合型）

［典型例题］

口命题角度一正、余弦定理与平面几何的综合

昕1（2018•成都模拟）如图，在直角梯形/叱中，已知

/ABD=NEDB=9Q°,，是初上一点，/6=3—十，ZACB^15°,

/口力=60°,Z£4（7=45°,则线段庞的长度为.

【解析】易知N〃F=105°,&‘=30°,在直角三角形

ACCEACsin45

胸中，仁盂1/在三角形.中，------=------nCF-------

sin30°sin45°sin30°

在直角三角形侬中，DE=CEsin60

亚X正

sin45°sin60°AB223—#

所以座=6Fsin60°sin30°Xsin15°j_义#_小

24

【答案】6

融陶园国

利用正、余弦定理求解平面几何中的问题，应根据图形特征及已知条件，将所给量及待

求量放在同一个三角形中，结合三角形内角和定理，外角和定理及正、余弦定理求解.

口命题角度二正、余弦定理与最值（范围）问题的综合

丽（1）（2018•潍坊模拟）在中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,外接圆

+oK|A0-h

的半径为1,且E=丁,则△盘面积的最大值为-

(2)(2018•西安模拟)已知△/回的内角4B,C的对边分别是&b,c,且(才十方一

c)(acosB+bcosA)=abc,若a+6=2,则c的取值范围为.

_ell_/、、itanA2c—b〜…bsinA,.sinB,

【解析】(1)因为7---n=一二，所以----7=(2c—5)-----由正弦定理得zsain厌in

tanBbcosAcosB

AcosB=(2sinf—sinB)sin尻osA,又sinB#0,所以sinAcosB=(2sinC—sin0)cos

A,所以sinAcos6+sinBcosZ=2sinCeosA,sin(Z+而=2sin6bosA,即sinC=2sin

1

CeosA,又sinCWO,所以cosZ=］,sin2=匕-.设外接圆的半径为r,则r=l,由余弦

,2I2_2

C2

定理得bc=o―c—a=lj+c~(2rsinA)—ID+d—3226c—3(当且仅当b=c

2cosA

时，等号成立)，所以所以5kA=^bc^--.

(2)由sinAcos夕+sinBcos/=sin(Z+而=sinC及正弦定理，可知acos8+AcosA

=c,则由(才+Z?2—冷(acosB+bcosA)=abc,得才+炉一/=36,由余弦定理可得cosC

Ie兀2兀

=5，贝！J看至，B=-^--A,

bcb

由正弦定理旨得后厂一,一-一,又a~\~b=2,所以

sinBsinCJI

sinsin-

u

.Acsin

csinA1,因为力£（0,得

~i=-----=2,即c=

(2Ji

sinZ+sin3~~AsinM+y

22

兀，兀5兀、(nA(\~

所以4+至6匠，sinM+—lei-,1,则cG[l,2).

【答案】⑴平(2)[1,2)

曲陶囱回

解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法:一是利用基本不等式求得最大值或

最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所

求式的范围.

口命题角度三正、余弦定理与实际问题的综合

圆©某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高

度：在C处（点C在水平地面下方，。为纺与水平地面46。的交点）进行该仪器的垂直弹射，

水平地面上两个观察点A,8两地相距100米，ZBAC=60°,其中A到，的距离比6到C

的距离远40米./地测得该仪器在。处的俯角为/0。=15°,/地测得最高点〃的仰角为

/物行30°,则该仪器的垂直弹射高度）为（）

A.210(乖+米

C.21千米D.20(乖一班)米

【解析】由题意，设/C=x米，则8c=(x—40)米，在△dBC内,由余弦定理得力

=加2+窃2—2胡•CA•cosABAC,

即(x-40)2=f+10000-100^,解得x=420米.

在△/纺中，4(^420米，/俏〃=30°+15°=45°,/或=90°-30°=60°,

CHAC

由正弦定理：一一77通=——777^

sinNO〃sinZJTTC

可—r/得口CH=AC・s~i~n~Z7C7A7H万=140加厂(八水八).

sm/AHCv

【答案】B

融陶囱罔

(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理

或余弦定理求解.

(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作

出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几

个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.

［对点训练］

1.(2018•合肥第一次质量检测)己知△/回的内角4B,C的对边分别为a,b,c,(a

—26)cosC+ccosA=0.

(1)求角G,

⑵若c=24,求△/回周长的最大值.

解：(1)根据正弦定理，由已知得(sinTJ—2sinB)cosC+sin6cos4=0,

即sinAcosC+sinCeosZ=2sinBcos3

所以sinG4+0=2sin反osC,

因为A-\~C—兀一B,

所以sin(/+0=sin(兀一面=sinB>0,

1

-

所以sin8=2sinBcosC,所以cosc=2

JI

因为Ce(o,JI),所以C=可.

2।72__2-I

(2)由⑴及余弦定理得cosC=a\7C=o,

又c=2y[3f所以a+/j—12=ab,

Q+芥

所以(a+Z?)2—12=3aZ?W3(~~J，

即Q+6)2・48(当且仅当a=6=2/时等号成立).

所以a+Z?+cW6(.

所以△/回周长的最大值为673.

2.(2018•武汉调研)在锐角△/阿中，内角4B,。的对边分别是a,b,c,满足cos

2^—cos2^+2cos^■一'•cos^~+^j=0.

(1)求角力的值；

(2)若6=/且bWa,求a的取值范围.

解：⑴由cos2A—cos28+2cos6~一^cos=0,得2sin3—Zsir?/+

2件os28—=化简得sinZ=坐，又为锐角三角形，故

(2)因为仁所以所以所以]〈sin虑乎.

v326322

3

,__r、ab.3,"\l3已厂,,2

由正弦定理一:j=~〜倚"々，所以a=一:‘

sinAsinBU3sinBsinB

2

由sin乎得aG[-^3,3).

■■■专题强化训练■■■

[A组夯基保分专练]

一、选择题

1.(2018•高考全国卷I)邑知函数F(x)=2cos?x-Sin's+Z,则()

A.f(x)的最小正周期为n,最大值为3

B.f(x)的最小正周期为Ji,最大值为4

C.f(x)的最小正周期为2n，最大值为3

D.f(x)的最小正周期为2口，最大值为4

3335

解析：选B.易知f{x)=2cos2jr—sin2^+2=3cos2^+l="(2cos2^r—1)+~+l=~cos2x+g,

则Hx）的最小正周期为兀，当x=A兀（A£Z）时，Hx）取得最大值，最大值为4.

2.在中，内角4B,C的对边分别是a,b,c,若c=2a,Z?sinB-asinA=~asin

4则

si正n

3

44

4-

VZB.

3D.1

c

3-

解析：选A.由Z?sinB—asinA—~asinC,

且c=2a,

得b=y[ia,

才+•一43+4才一2才3

因为cosB—

Zac4?=1'

3.（2018•洛阳第一次统考）在中，角4B,C的对边分别是a,b,c,若a,b,

c成等比数列,且a2=c?+ac—6c,则扃（）

亚2m

,23

解析：选B.由2b,c成等比数列得层=石。，则有a=c-\~l}—bc,由余弦定理得cosZ

1Jc—abe1,,兀1丁2,-r-、TE,口2*\/3

abeFF故/=§,对于"=ac,由正弦定理倚'Sin®=sin如inC=2-sin

,一j、一e/dcsinCsinC2\3,,_

C,由正弦定理得，—~~=.26=~r=-----.故选B.

bsmBsmDA/33

■^-sinC

4.（2018•昆明模拟）在△/6C中，已知力6=筐，AC=#,tanZBAC=-13,贝16c边

上的高等于（）

A.1B.V2

C.y[3D.2

3

解析：选A.法一：因为tan/掰餐一3,所以sin/掰C=~j=,cos/BAC=~i=.由

y/io4

余弦定理，B^=A(^+A^-2,AC-AB•cosZ^4C=5+2-2X^5X^2X=9,所以

氏7=3,所以&=38.dCsin/8dC=Tx小X小*君=5,所以比■边上的高力=爰:

3

2X-

-2~=1,故选A.

法二：因为tan/的「=—3,所以cos/物餐一忘〈0,则/物。为钝角，因此勿边上

的高小于十，故选A.

5.的内角A,B,。的对边分别为a,b,c.已知sin6+sin/(sinC-cosC)=

0,a=2,c=y[2f则。=()

解析：选B.因为sin8+sin2(sinC—cos6)=0,所以sin(2+。+sin/sinC1—sin

AcosC=0f所以sinJcosCH-cos/sinC+sinZsinC—sinAcosC=0,整理得

sinC(sinZ+cosZ)=0.因为sin6^0,

,3兀

所以sin4+cos2=0,所以tan/=—l,因为力£(0,兀)，所以Z=一

也

X

21

2_C-

1X

JIJI

又0"〈了，所以、百

JI

6.如图，在中，ZC=y,6。=4,点〃在边2。上，AD=DB,DELAB,£为垂足.若

DE=2y[2,则cos力等于()

A墟B也

A.3氏4

「亚D亚

43

DE2、/2

解析：选c.依题意得，初初+NQ2/4在△颉

,BCBD42巾,24镜nn44^2„

中，~；/E>D/~'=-K-'4—•/X"尸=r—，即可一"：4[―，由止匕

sin/BDCsinCsmQ2nsinJ'3q3sin/2sinAcosAq3sinA

解得cos/=乎.

二、填空题

7.若sin^--&)=；，贝Ucos[j3"+2q)=-

解析：依题意得cos(了+2

=—cos兀-^~+24)

答案：一看

C、/5

8.（2018•高考全国卷H改编）在△/a1中，cos$=号，BC=1,AC=5,则AB=

4o

C13

2

解析：因为cosC-2COS--l=2X--l=-?所以由余弦定理,得初=〃+*

卜|j=32,所以AB=4\「.

2心8aosc=25+l—2X5X1X

答案：472

9.(2018•惠州第一次调研)已知a,b,c是△/灰中角4B,C的对边，a=4,(4,

6),sin2J=sinG则c的取值范围为.

4c4c

解析：由——；=——K得♦—j=―—寸，所以C=8COS4因为16=作+1—2Z?CCOS

sinAsinCsinAsin2力

-|6_(4-Z?)(4+Z?)

4所以16—62=64cosY—166cos2/,又6W4,所以。(^/二百二板：16(4—6)~~

胃'所以a64c-4X&=16+44因为比（4,6）,所以32＜国4。，所以4小

答案：（”「，2710）

三、解答题

10.（2018•沈阳教学质量监测（一））在△/回中，已知内角4B,C的对边分别是a,b,

c,且2ccosB=2a+b.

⑴求G

（2）若a+6=6,△46C的面积为入白，求.

解：（1）由正弦定理得2sin6cos8=2sinZ+sinB,

又sinZ=sin(8+0,

所以2sinCeos8=2sin(8+0+sinB,

所以2sin6cos8=2sin尻osC+2cosBsinC+sinB,

所以2sinBcosC+sinB=0,

因为sin/0,所以cos。=—

2JI

又。£（0,兀），所以

==

(2)因为S^ABc~^bsinC2yj^>9

所以ab=8,

由余弦定理，得。2=3+方2—2aZ?cosC=a+ab-\-l)=(a+Z?)2—5Z?=28,

所以c=2y[7.

11.(2018•石家庄质量检测(二))已知△/优的内角/、B、。的对边分别为a、b、c,

ny[^c,

且----=tan4+tanB,

acosD

(1)求角力的大小；

(2)设/〃为以边上的高，己=小,求4?的取值范围.

.4人,「、i73c,\/3sinCsinA,sinB

解：(1)在△/笈中，因为二一-=tan/1+tanB,所以7——-=——~+——

acosDsin月cosDCOSAcosD

口rA/3sinCsinAcos6+sinBcosA

即----L=-----------；----n------'

smAcosBcos4cosb

\[31r-JI

所以T/=---->贝!Jtan4=小，所以力二R.

sinAcosAN3

⑵因为S^ABC=~^AD•BC=；bcsinA,

所以AD=~^bc.

.A>-rm/Ft1+C—Q2be-3

由余弦定理得cosA=-=-------T7—,

22be2be

所以0<AW3(当且仅当6=c时等号成立)，

3

所以0<A吟.

12.(2018•郑州质量检测(二))已知△/阿内接于半径为A的圆，a,b,。分别是角4

B,C的对边，且2A(sin2^—sin?4)=(6—c)sinC,c=3.

⑴求Z;

⑵若4?是比'边上的中线，加=乎，求△/肉的面积.

解：(1)对于Z-si/6-sinM)=(6—c)sinC,由正弦定理得，

Asin6——asinA=bsir\C—csinC,BPlj—a=bc—c,

822

+C-a1

为

-因o

26c2<^<180°，所以4=60°.

(2)以48,2。为邻边作平行四边形/应C连接/易知4D,£三点共线.

在△/庞中，//欧=120°,AE=2,AD=\[19,

在△/应'中，由余弦定理得/片=/4+应'一？/^•蹶os120°，

■),得/C=2.

BP19=9+Alf-2X3XACX

.13#

故S^ABc=~^bcsinABAC=~^~.

[B组大题增分专练]

1.(2018•长春质量监测(二))在△/欧中，内角4B,。的对边分别为&b,c,其面

积S=1JsinA.

(1)求9c,的值；

b

⑵设内角/的平分线交于理于。，么?=乎，af,求4

\c

解：⑴由S=]6csinA=l}sinA,可知c=2b,即卫=2.

(2)由角平分线定理可知，劭=平，CD=*,

2।44

4b+~—~

4Z?2+3-Z?2即^4=

在中，cosB—,在中，cosB=--------------7=

2・26・42・26・43

2.2b邛

O

,44

4b2+~--

解得b=l.

2.(2018•贵阳模拟)已知在△/%中，角4B,。所对的边长分别为ab,c,4B边

、2

上的高h=~c.

o

3

⑴若△熊C为锐角三角形,且cos"=匚，求角C的正弦值;

才+9

JI3.,,

(2)若。=丁，M=--------------，求〃的值.

4ab

解：⑴