中科大保送生面试物理试题分析及解答

在线才智才智在线在线才智才智在线2011年中科大保送生面试物理试题分析及解答许冬保2010年12月中国科学技术大学对具有保送资格的保送生进行了面试。面试试题共五大题，其中物理2题，数学2题，化学1题。考生思考时间45分钟，然后向面试教师陈述试题解答思路、方法及结果。物理试题解答所涉及到的知识已远远超越中学教学的要求，难度大于高考试题，接近或达到竞赛复赛题的要求。随着高校招生制度的改革，自主招生的力度还将加大。因此，分析高校自主招生试题，研究命题思路，帮助理科优秀学生如何应对自主招生考试，是中学物理教师面临的一个重要课题。考虑到多方面的原因，教育部原则上规定自主招生试题及解答不向社会公布。下面根据考生提供的试题，进行分析及解答，以飨读者。v0θ图1试题1如图1所示，一物体从地球表面发射，初速度大小为（式中为第一宇宙速度），初速度方向与竖直方向成θ角，其中。地球视为质量均匀分布的球体，忽略空气阻力和地球自转的影响。请解答以下问题：v0θ图1（1）意味着什么？（2）物体运动过程中有哪些物理量守恒？（3）物体能到达的最大高度，并讨论和两种特殊情况。分析与解答：（1）设物体的质量为m，地球的质量为M，地球半径为R。物体从地球表面发射，成为绕地球运行的人造地球卫星，所需的最小发射速度即为第一宇宙速度。由万有引力定律及牛顿运动定律，有①解得物体脱离地球引力的束缚，成为环绕太阳运动的一颗人造行星，物体的最小发射速度即为第二宇宙速度。由机械能守恒定律，有②解得由题意知：，这意味着物体发射的初速度小于第二宇宙速度，物体不能脱离地球引力的束缚，只能绕地球运动。（2）引力场是有心力场，物体在地球引力作用下的运动是平面运动。如果不考虑空气阻力，物体在运动过程中机械能及角动量均守恒。（3）设物体运动离地面的最大高度为H，该处速度为。由机械能守恒定律，有③由角动量守恒定律，有④联立①③④方程，得解关于（R+H）的一元二次方程，得⑤⑤式即为物体达到最大高度的表达式。讨论：Ⅰ．当发射角度时，⑤式简化为解得（舍去），关于结果作两点讨论：ⅰ．如果，则根据（g为地球表面的重力加速度）及解得这是我们所熟知的物体竖直上抛运动的结果。ⅱ．如果，则。Ⅱ．当发射角度时，⑤式简化为解得，。图2此解的物理意义分析如下：图2ⅰ．当时，，表明物体无法抛离地面或物体绕地球表面作匀速圆周运动。ⅱ．当时，物体绕地球沿椭圆轨道运动，如图2所示，，对应物体在近地点；，对应物体在远地点。因此，，即为物体在角度时所能达到的最大高度。当角度时，物体运动所能达到的最大高度还有另一种解法：如图2所示，设物体在远地点的曲率半径为ρ，该处速度为。由万有引力定律及牛顿运动定律，有⑥物体沿椭圆轨道运动，半长轴及半短轴的长度记为a、b，则由数学知识有，，。联立以上各式及方程④解得该题第（3）问，亦可以在极坐标系中建立方程求解。将物体的发射速度沿径向和角向分解，写成⑦或⑧物体达到最大高度H时径向速度，角向速度为，由机械能守恒定律及角动量守恒定律，有⑨⑩联立⑦⑨⑩式解得讨论：Ⅰ．当发射角度时，，。所得结果同上。Ⅱ．当发射角度时，，。所得结果同上。rCABD图3O试题2如图3所示，在半径为R的金属球A内，有两个球形空腔，金属球整体不带电，在两空腔中心各放置一点电荷B和C，所带电荷量分别为和。在金属球A之外离球心O为r处放置另一点电荷D，电荷量为，已知rrCABD图3O（1）写出库仑定律的数学表达式；（2）写出点电荷D所受静电力大小的表达式；（3）求出点电荷B和C所受的静电力。分析与解答：（1）设真空中两个静止点电荷的电荷量分别为Q1和Q2，从Q1指向Q2的矢径为，则Q1对Q2的静电力即库仑力为①式中，为静电力常量。或写成如下的形式②，为真空中的介电常量或真空电容率。①或②式即为库仑定律的数学表达式。（2）置于空腔内的点电荷B和C，由于静电感应，在空腔内表面感应异种电荷，在A球外表面感应同种电荷。由于金属球A与点电荷D处的距离r远大于金属球A的半径，因此，所有这些电荷在点电荷D处的总场强，可以等效为处于球心处的两个点电荷和在点电荷D处产生的场强的矢量和。其次，点电荷D在金属球A的表面也会产生感应电荷，感应电荷是面电荷。该面电荷可以等效为两个镜像电荷：一个镜像电荷距离导体球A中心O点的距离为，并在点电荷与球心的连线上，电荷量为；另一个镜像电荷可以看成是集中在球心O处，由于导体球A原来不带电，因此其电荷量为。补充说明的是：第一个镜像电荷是为了与点电荷共同作用下保证导体球为零电势的等电势球；第二个镜像电荷是为了保证导体球A总电荷量为零的等电势球。感应电荷在球外产生的电场，用镜像电荷等效处理，会使问题变得简单。根据静电场唯一性定理，这个场就是所求的感应电荷在球外产生的静电场。综合上述，点电荷D处的电场等效为由四部分构成，由库仑定律可得其所受静电力的大小为③整理后得④由④式可知，如果除外，其他量均保持不变，讨论如下：Ⅰ．如果所受静电力为零，则Ⅱ．如果所受静电力表现为引力，则Ⅲ．如果所受静电力表现为斥力，则（3）由于静电屏蔽，因此，除空腔中的点电荷及空腔内表面的感应电荷外，其它电荷在空腔内的场强均为零。点电荷B和C只受到各自内表面感应电荷的作用，已知点电荷B、C又处于空腔中心，则感应电荷均匀分布在空腔内表面上，所以点电荷B和C所受静电力之合力均等于零。该结果也可以由高斯定律得到。引力势能、角动量守恒定律、镜像电荷（球面问题）等知识点，属于竞赛内容。因此，理科优秀学生要通过这样的考试，必须学习相关竞赛知识。最后需要说明的是，试题是由多名考生回忆整理出来的，试题文字部分一定和原题有出入。尽管如此，这并不影响对问题的分析。解答中如有不妥之处，敬请同仁斧正。参考文献[1]张永德，物理学大题典（力学上册）[M]．北京：科学出版社，2008：300[2]