22.2 二次函数与一元二次方程 人教版数学九年级上册课件

22.2二次函数与一元二次方程课堂小结获取新知例题讲解随堂演练第二十二章

二次函数知识回顾知识回顾一元二次方程根的判别式：式子b²-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母Δ表示.(1)当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根.(2)当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根.(3)当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.获取新知问题:如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h=20t-5t2知识点一：二次函数与一元二次方程的关系考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地需要用多少时间？

所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t

的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值．分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.解：解方程

15=20t-5t2,

t2-4t+3=0,

t1=1,t2=3.Oht1513你能结合上图，指出为什么在两个时间球的高度为15m吗？（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？Oht202解方程：20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.当球飞行2s时，它的高度为20m.你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m吗？20m解方程：20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5m.（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？Oht20.5你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?（4）球从飞出到落地要用多少时间？Oht0=20t-5t2,t2-4t=0,t1=0，t2=4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m.即0s时小球从地面飞出，4s时小球落回地面，小球从飞出到落地要用4s.h=20t-5t2从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切．一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c

深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0.例如，已知二次函数y=－x2＋4x

的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x

2－4x+3=0）．反过来，解方程x

2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x

2－4x+3的值为0，求自变量x的值．例题讲解例1如图，小明在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？解：（1）由抛物线的表达式得

即

解得

即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？解：由抛物线的表达式得

即

解得

即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.解：由抛物线的表达式得

即

因为Δ=（-6）2-4×1×14＜0，

所以方程无实根.

所以铅球离地面的高度不能达到3m.（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？思考

观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.获取新知知识点二：利用二次函数深入讨论一元二次方程观察图象，完成下表：抛物线与x轴公共点个数公共点横坐标相应的一元二次方程的根y=x2＋x－2y=x2－6x＋9y=x2－x＋10个1个2个无解0x1=x2=3-2,1x1=-2,x2=11xyOy=x2－6x＋9y=x2－x＋1y=x2＋x－2无二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac

=0没有交点没有实数根b2-4ac<0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系知识要点例2

已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．求证：此抛物线与x轴总有交点．证明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，∴此抛物线与x轴总有交点.例题讲解例3利用二次函数图象估计方程x2-2x-2=0的根（结果保留小数点后一位）解：画出函数y＝x2－2x－2的图象(如图)，它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7，2.7.所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7.知识点三：利用二次函数求一元二次方程的近似解获取新知利用计算器探索两根的近似值，过程如下：x23y-21当自变量取2和3之间的某个数时，函数值为0，精度|2-3|=1>0.1.x2.53y-0.751当自变量取2.5和3之间的某个数时，函数值为0，精度|2.5-3|=0.5>0.1.x2.52.75y-0.750.0625当自变量取2.5和2.75之间的某个数时，函数值为0，精度|2.5-2.75|=0.25>0.1.x2.6252.75y-0.360.0625当自变量取2.625和2.75之间的某个数时，函数值为0，精度|2.625-2.75|=0.125>0.1.当自变量取2.6875和2.75之间的某个数时，函数值为0，精度|2.6875-2.75|=0.0625<0.1.x2.68752.75y-0.150.0625我们可以将2.6875作为根的一个近似值.(1)用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象；(2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；(可将单位长度十等分,借助计算器确定其近似值);利用图象法求一元二次方程的近似根(3)确定方程ax2+bx+c=0的近似根（两个函数值异号）(4)判断两个自变量的精度是否满足要求（两个函数值异号）否是(5)写出结果知识要点1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是 (

)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定A随堂演练2.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图象上有两点分别为A(2.18，－0.51)，B(2.68，0.54)，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个根可能是()A．2.18 B．2.68 C．－0.51 D．2.45D3.(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则方程ax2＋bx＋c＝0的解是_______，_______；(2)∵方程x2＋3x＋2＝0的解是______，______，∴抛物线y＝x2＋3x＋2与x轴的交点坐标是_______和________．x1=-3x2

=1x1=-1x2=-2(-1,0)(-2,0)4.已知抛物线y＝x2－6x＋m－1，当m_____时，抛物线与x轴有两个交点；当