陕师大附中2025届高三下学期期末教学质量检测试题数学试题含解析

陕师大附中2025届高三下学期期末教学质量检测试题数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为()A． B． C． D．2．已知函数的图象在点处的切线方程是，则（）A．2 B．3 C．-2 D．-33．已知平面向量满足，且，则所夹的锐角为（）A． B． C． D．04．已知函数，则函数的零点所在区间为（）A． B． C． D．5．如图，在平行四边形中，为对角线的交点，点为平行四边形外一点，且，，则（）A． B．C． D．6．半径为2的球内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（）A． B． C． D．7．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）.A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸8．已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为A． B． C． D．9．已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．的展开式中的系数为()A．－30 B．－40 C．40 D．5011．已知集合，将集合的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列，则（）A．1194 B．1695 C．311 D．109512．根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归方程是，则下列说法正确的是()A．至少有一个样本点落在回归直线上B．若所有样本点都在回归直线上，则变量同的相关系数为1C．对所有的解释变量（），的值一定与有误差D．若回归直线的斜率，则变量x与y正相关二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知半径为4的球面上有两点A，B，AB=42，球心为O，若球面上的动点C满足二面角C-AB-O的大小为60°，则四面体14．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则D（ξ1）＝_____，E（ξ1）﹣E（ξ2）＝_____．15．函数的单调增区间为__________.16．假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款，则有________种不同的支付方式.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知各项均不相等的等差数列的前项和为,且成等比数列.（1）求数列的通项公式;（2）求数列的前项和.18．（12分）已知圆,定点,为平面内一动点，以线段为直径的圆内切于圆，设动点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程（2）过点的直线与交于两点，已知点，直线分别与直线交于两点，线段的中点是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.19．（12分）已知函数，.（1）当为何值时，轴为曲线的切线；（2）用表示、中的最大值，设函数，当时，讨论零点的个数.20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.21．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）曲线在点处的切线斜率为.（i）求；（ii）若，求整数的最大值.22．（10分）如图，矩形和梯形所在的平面互相垂直，，，.（1）若为的中点，求证：平面；（2）若，求四棱锥的体积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.【详解】由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：其中，底面为直角三角形，，，高为.∴该几何体的体积为故选：A.本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题.2．B【解析】

根据求出再根据也在直线上，求出b的值，即得解.【详解】因为，所以所以，又也在直线上，所以，解得所以.故选：B本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．B【解析】

根据题意可得，利用向量的数量积即可求解夹角.【详解】因为即而所以夹角为故选：B本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题.4．A【解析】

首先求得时，的取值范围.然后求得时，的单调性和零点，令，根据“时，的取值范围”得到，利用零点存在性定理，求得函数的零点所在区间.【详解】当时，.当时，为增函数，且，则是唯一零点.由于“当时，.”，所以令，得，因为，，所以函数的零点所在区间为.故选：A本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5．D【解析】

连接，根据题目，证明出四边形为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案【详解】连接，由，知，四边形为平行四边形，可得四边形为平行四边形，所以.本题考查向量的线性运算问题，属于基础题6．B【解析】

设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，利用，可得，进一步得到侧面积，再利用基本不等式求最值即可.【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，则，在中，，化为，，，当且仅当时取等号，此时.故选：B.本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.7．B【解析】试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选B.考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.8．D【解析】

如图所示，设依次构成等差数列，其公差为.根据椭圆定义得，又，则，解得，.所以，，，.在和中，由余弦定理得，整理解得.故选D．9．D【解析】

根据复数运算，求得，再求其对应点即可判断.【详解】，故其对应点的坐标为.其位于第四象限.故选：D.本题考查复数的运算，以及复数对应点的坐标，属综合基础题.10．C【解析】

先写出的通项公式，再根据的产生过程，即可求得.【详解】对二项式，其通项公式为的展开式中的系数是展开式中的系数与的系数之和.令，可得的系数为；令，可得的系数为；故的展开式中的系数为.故选：C.本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.11．D【解析】

确定中前35项里两个数列中的项数，数列中第35项为70，这时可通过比较确定中有多少项可以插入这35项里面即可得，然后可求和．【详解】时，，所以数列的前35项和中，有三项3，9，27，有32项，所以．故选：D．本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前项和公式是解题基础．解题关键是确定数列的前35项中有多少项是中的，又有多少项是中的．12．D【解析】

对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误；所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为，故B错误；若所有的样本点都在回归直线上，则的值与相等，故C错误；相关系数r与符号相同，若回归直线的斜率，则，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D正确．故选D．本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．4【解析】

设△ABC所在截面圆的圆心为O1，AB中点为D，连接OD,易知∠ODO1即为二面角C-AB-O的平面角，可求出OD, O1D及OO1，然后可判断出四面体OABC外接球的球心E在直线OO1上，在【详解】设△ABC所在截面圆的圆心为O1，AB中点为D，连接OD,OA＝OB，所以，OD⊥AB，同理O1D⊥AB，所以，∠ODO1即为二面角∠ODO因为OA=OB=4, AB=42，所以△OAB在Rt△ODO1中，由cos60º＝O1D因为O1到A、B、C三的距离相等，所以，四面体OABC外接球的球心E在直线OO设四面体OABC外接球半径为R，在Rt△O1由勾股定理可得：O1B2+O本题考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力，属于中档题．14．20.2【解析】

分别求出随机变量ξ1和ξ2的分布列，根据期望和方差公式计算得解.【详解】设a，b∈{1，2，1，4，5}，则p（ξ1＝a），其ξ1分布列为：ξ112145PE（ξ1）（1+2+1+4+5）＝1．D（ξ1）[（1﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2+（4﹣1）2+（5﹣1）2]＝2．ξ2＝1.4|a﹣b|的可能取值分别为：1.4，2.3，4.2，5.6，P（ξ2＝1.4），P（ξ2＝2.3），P（ξ2＝4.2），P（ξ2＝5.6），可得分布列．ξ21.42.34.25.6PE（ξ2）＝1.42.34.25.62.3．∴E（ξ1）﹣E（ξ2）＝0.2．故答案为：2，0.2．此题考查随机变量及其分布，关键在于准确求出随机变量取值的概率，根据公式准确计算期望和方差.15．【解析】

先求出导数，再在定义域上考虑导数的符号为正时对应的的集合，从而可得函数的单调增区间.【详解】函数的定义域为.，令，则，故函数的单调增区间为：.故答案为：.本题考查导数在函数单调性中的应用，注意先考虑函数的定义域，再考虑导数在定义域上的符号，本题属于基础题.16．1【解析】

按照个位上的9元的支付情况分类，三个数位上的钱数分步计算，相加即可．【详解】9元的支付有两种情况，或者，①当9元采用方式支付时，200元的支付方式为，或者或者共3种方式，10元的支付只能用1张10元，此时共有种支付方式；②当9元采用方式支付时：200元的支付方式为，或者或者共3种方式，10元的支付只能用1张10元，此时共有种支付方式；所以总的支付方式共有种．故答案为：1．本题考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于中档题．做题时注意分类做到不重不漏，分步做到步骤完整．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）设公差为，列出关于的方程组，求解的值，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）可得，即可利用裂项相消求解数列的和.试题解析：（1）设公差为.由已知得,解得或（舍去）,所以,故.（2）,考点：等差数列的通项公式；数列的求和.18．（1）；（2）存在，.【解析】

（1）设以为直径的圆心为，切点为，取关于轴的对称点，连接，计算得到，故轨迹为椭圆，计算得到答案.（2）设直线的方程为，设，联立方程得到，，计算，得到答案.【详解】（1）设以为直径的圆心为，切点为，则，取关于轴的对称点，连接，故，所以点的轨迹是以为焦点，长轴为4的椭圆，其中，曲线方程为.（2）设直线的方程为，设，直线的方程为，同理，所以，即，联立，所以，代入得，所以点都在定直线上.本题考查了轨迹方程，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19．（1）；（2）见解析.【解析】

（1）设切点坐标为，然后根据可解得实数的值；（2）令，，然后对实数进行分类讨论，结合和的符号来确定函数的零点个数.【详解】（1），，设曲线与轴相切于点，则，即，解得.所以，当时，轴为曲线的切线；（2）令，，则，，由，得.当时，，此时，函数为增函数；当时，，此时，函数为减函数.，.①当，即当时，函数有一个零点；②当，即当时，函数有两个零点；③当，即当时，函数有三个零点；④当，即当时，函数有两个零点；⑤当，即当时，函数只有一个零点.综上所述，当或时，函数只有一个零点；当或时，函数有两个零点；当时，函数有三个零点.本题考查了利用导数的几何意义研究切线方程和利用导数研究函数的单调性与极值，关键是分类讨论思想的应用，属难题．20．（1）：，：；（2），此时.【解析】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.试题解析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．21．（1）在上增；在上减；（2）（i）；（ii）2【解析】

（1）求导求出，对分类讨论，求出的解，即可得出结论；（2）（i）由，求出的值；（ii）由（i）得所求问题转化为，恒成立，设，，只需，根据的单调性，即可求解.【详解】（1）当时，，即在上增；当时，，，，，即在上增；在上减；（2）（i），.（ⅱ），即，即，只需.当时，，在单调递增，所以满足题意；当时，，，，所以在上减，在上增，令，..在单调递减，所以