初中数学试题大全（六十九）尺规作图难题

69初中数学组卷：尺规作图难题

一.选择题（共1小题）

1.如图，矩形ABCD中，AD=3AB,。为AD中点，俞是半圆.甲、乙两人想在会

上取一点P,使得4PBC的面积等于矩形ABCD的面积其作法如下：

（甲）延长B0交会于P点，则P即为所求；

（乙）以A为圆心，AB长为半径画弧，交会于P点，则P即为所求.

对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）

Bl---------------------------------------------'C

A.两人皆正确B.两人皆错误

C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确

二.填空题（共10小题）

2.如图，在一张长为8cm,宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm

的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两

个顶点在矩形的边上）.则剪下的等腰三角形的面积为cm2.

3.阅读下面材料:

在数学课上，老师提出如下问题:

尺规作图：作一条戏段的垂直平分级.

已知：线段月5.

小芸的作法如下:

如图,/C

]

(1)分别以点4和点B为圆心，大于己43的长为半

径作弧，两弧相交于C,。两点；_____、B

(2)作直姣CD.

•

老师说："小芸的作法正确.”

请回答：小芸的作图依据是.

4.如图，将4ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,点B,点C

均落在格点上.

(I)计算AC2+BC2的值等于；

(II)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形,

使该矩形的面积等于AC?+BC2,并简要说明画图方法(不要求证明).

5.如图，将线段AB放在边长为1的小正方形网格，点A点B均落在格点上，

请用无刻度直尺在线段AB上画出点P,使AP=%叵，并保留作图痕迹.(备注:

3

本题只是找点不是证明，.•.只需连接一对角线就行)

6.已知：ZAOB,求作/AOB的平分线；如图所示，填写作法:

①.

②________

（I）当NMAN=69。时，Na的大小为（度）；

（II）如图，将NMAN放置在每个小正方形的边长为1cm的网格中，角的一边

AM与水平方向的网格线平行，另一边AN经过格点B,且AB=2.5cm.现要求只

能使用带刻度的直尺，请你在图中作出/a,并简要说明做法（不要求证

明）.

5肉口口

_/______________

一乙二二二二二二

了IIIII

8.请在图中作出^ABC的角平分线BD（要求保留作图痕迹）.

9.如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形.NACB画在方格纸上,

请在小方格的顶点上标出一个点P，使点P落在/ACB的平分线上..

10.如图所示是由7个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一条直线将它分成

面积相等的两部分.（在原图上作出）.

11.如图，在^ABC中，ZC=90",ZCAB=60°,按以下步骤作图：

①分别以A,B为圆心，以大于LAB的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q.

2

②作直线PQ交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若CE=4,则AE=

三.解答题（共18小题）

12.CD经过NBCA顶点C的一条直线，CA=CB.E,F分别是直线CD上两点，且

ZBEC=ZCFA=Za.

（1）若直线CD经过NBCA的内部，且E,F在射线CD上，请解决下面两个问

题：

①如图1,若NBCA=90°,Za=90°,

则BECF；EF|BE-AF|（填">","V"或"="）；

②如图2,若0°<ZBCA<180°,请添加一个关于Na与NBCA关系的条

件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.

（2）如图3,若直线CD经过NBCA的外部，Na=/BCA,请提出EF,BE,AF

三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）.

13.如图，在^ABC中，BA=BC,ZB=120°,AB的垂直平分线MN交AC于D,

14.课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1,己知四边形ABCD

中，AC平分NDAB,ZDAB=60°,NB与ND互补，求证：AB+AD=VsAC.小敏反

复探索，不得其解.她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题.

（1）特殊情况入手添加条件："NB=ND",如图2,可证AB+AD=J^C；（请你

完成此证明）

（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3,过C

点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F.（请你补全证明）

15.(1)-5的绝对值是.

(2)如图，ZAOB=50°,0c平分NAOB,则NA0C的度数=

16.如图，某大学有A、B、C三栋教学楼，A、B在校内的主干道上，C在校内

支路的末端.为了方便教学和管理，现计划修建一栋办公楼P,使办公室到公路

AB、BC的距离相等，且到B、C两栋教学楼的距离也相等，请在图中作出办公楼

P的位置（要求：尺规作图，不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，在

所作图中标出P的位置）.

17.如图1,矩形MNPQ中，点E,F,G,H分别在NP,PQ,QM,MN上，若

Z1=Z2=Z3=Z4,则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形.图2,图3,

图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4,BC=8.

理解与作图：

（1）在图2,图3中，点E,F分别在BC,CD边上，试利用正方形网格在图上

作出矩形ABCD的反射四边形EFGH.

计算与猜想：

（2）求图2,图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形

的周长是否为定值？

启发与证明：

（3）如图4,为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M,

试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想.

18.如果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积同时平分，那么就把这条直

线称作这个封闭图形的二分线.

平行四边形等腰三角形

备用图2

(1)请在图1的三个图形中，分别作一条二分线.

(2)请你在图2中用尺规作图法作一条直线I,使得它既是矩形的二分线，又

是圆的二分线.(保留作图痕迹，不写画法).

(3)如图3,在RtZ\ABC中，ZA=90°,AB=3,AC=4,是否存在过AB边上的点

P的二分线？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由.

19.问题探究：

(1)请在图①的正方形ABCD内，画出使NAPB=90。的一个点，并说明理由.

(2)请在图②的正方形ABCD内(含边)，画出使NAPB=60。的所有的点P,并说

明理由.

问题解决：

(3)如图③，现在一块矩形钢板ABCD,AB=4,BC=3.工人师傅想用它裁出两

块全等的、面积最大的^APB和△CP，D钢板，且NAPB=/CP'D=60度.请你在图

③中画出符合要求的点和P和P，，并求出4APB的面积（结果保留根号）.

20.问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为

顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？

问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊性的策略，先从简单

和具体的情形入手：

探究一：以^ABC的三个顶点和它内部的1个点P,共4个点为顶点，可把4ABC

分割成多少个互不重叠的小三角形？

如图①，显然，此时可把^ABC分割成3个互不重叠的小三角形.

探究二：以AABC的三个顶点和它内部的2个点P、Q,共5个点为顶点，可把

△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？

在探究一的基础上，我们可看作在图①^ABC的内部，再添加1个点Q,那么点

Q的位置会有两种情况：

一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部.不妨假设点Q在APAC内

部，如图②;

另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上.不妨假设点Q在

PA±,如图③.

显然，不管哪种情况，都可把^ABC分割成5个不重叠的小三角形.

探究三：以^ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R,共6个点为顶点可把

△ABC分割成个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图.

探究四：以aABC的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个顶点可把aABC

分割成个互不重叠的小三角形.

探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个顶点可把四

边形分割成个互不重叠的小三角形.

问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个顶点可把△

ABC分割成个互不重叠的小三角形.

实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八

边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）

21.如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称

为这个平面图形的一条面积等分线，例如平行四边形的一条对角线所在的直线就

是平行四边形的一条面积等分线.

（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分

线的有;

（2）如图，梯形ABCD中，AB〃DC,如果延长DC到E,使CE=AB,连接AE,

那么有S梯形ABCD=SAADE.请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD

的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；

（如图，四边形中，与不平行，过点能否作出

3）ABCDABCDSAADC>SAABC»A

四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，

图1图2

22.提出问题：如图，在“儿童节"前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形

状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD〃BC）,在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，

小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量

都一样）.

背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这

条线为梯形的"等分积周线

尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮

小明在图1中作出这条"等分积周线"，从而平分蛋糕.

（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条

直线EF分别交AD、BC于点E、F.你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定

的方法；如不能成功，请说明理由.

（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识.若图2中AD〃BC,ZA=90°,

AD<BC,AB=4cm,BC=6cm,CD=5cm.请你找出梯形ABCD的所有"等分积周线”,

并简要的说明确定的方法.

23.在图中求作一点P,使点P到NAOB两边的距离相等，并且使0P等于MN,

保留作图痕迹并写出作法.（要求：用尺规作图）

24.一种电讯信号转发装置的发射直径为31km.现要求：在一边长为30km的

正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发

的信号能完全覆盖这个城市.问：

（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预

设的要求？在图1中画出安装点的示意图，并用大写字母M、N、P、Q表示安

装点；

（2）能否找到这样的3个安装点，使得在这些点安装了这种转发装置后能达到

预设的要求？在图2中画出示意图说明，并用大写字母M、N、P表示安装点，

25.如图所示，有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形

面积等分），试设计一种方案（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法）,

并简要说明理由.

26.如图（1）,凸四边形ABCD,如果点P满足NAPD=NAPB=a,且NBPC=NCPD=B，

则称点P为四边形ABCD的一个半等角点.

（1）在图（2）正方形ABCD内画一个半等角点P,且满足aWB；

（2）在图（3）四边形ABCD中画出一个半等角点P,保留画图痕迹（不需写出

图（3）

画法）.图⑴图（2）

27.作图题：已知：NAOB,点M、N.求作：点P,使点P到OA、0B的距离

相等，且PM=PN.（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.）

28.已知：如图，直线AB与直线BC相交于点B,点D是直线BC上一点.

求作：点E,使直线DE〃AB,且点E到B,D两点的距离相等.（在题目的原图

中完成作图）

结论：BE=DE.

29.如图（1）,凸四边形ABCD,如果点P满足NAPD=NAPB=a.且NBPC=NCPD邛,

则称点P为四边形ABCD的一个半等角点.

（1）在图（3）正方形ABCD内画一个半等角点P,且满足aW0；

（2）在图（4）四边形ABCD中画出一个半等角点P,保留画图痕迹（不需写出

画法）；

（3）若四边形ABCD有两个半等角点Pi、P2（如图（2））,证明线段P】P2上任一

点也是它的半等角点.

69初中数学组卷：尺规作图难题

参考答案与试题解析

一.选择题（共1小题）

1.（2014•台湾）如图，矩形ABCD中，AD=3AB,。为AD中点，而是半圆.甲、

乙两人想在俞上取一点P,使得4PBC的面积等于矩形ABCD的面积其作法如下:

（甲）延长BO交众于P点，则P即为所求；

（乙）以A为圆心，AB长为半径画弧，交俞于P点，则P即为所求.

对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）

Bl--------------------------------------------IC

A.两人皆正确B.两人皆错误

C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确

【分析】利用三角形的面积公式进而得出需P『H=PzK=2AB,即可得出答案.

【解答】解：要使得aPBC的面积等于矩形ABCD的面积，

需P甲H=PzK=2AB.

故两人皆错误.

故选:B.

【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及矩形的性质，利用四边形与三角形

面积关系得出是解题关键.

填空题（共10小题）

2.（2014•黄冈）如图，在一张长为8cm,宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一

个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点

重合，其余的两个顶点在矩形的边上）.则剪下的等腰三角形的面积为—至或

【分析】因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分（1）腰长在矩形相邻的两边

上，（2）一腰在矩形的宽上，（3）一腰在矩形的长上，三种情况讨论.（1）AAEF

为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE

边上的高BF,再代入面积公式求解；（3）先求出AE边上的高DF,再代入面积

公式求解.

【解答】解：分三种情况计算：

2

，SAAEF=L\E・AF=LX5X5=空厘米,

222

BF=&F2_BE气/52-1米,

SAAEF=^AE*BF=1-X5X

(3)当AE=EF=5厘米时，如图

DF=7EF2-DE2=V52-32=4座米，

.0AEF=XAE・DF」X5X4=10厘米2.

22

故答案为：空，5返，10.

2

【点评】本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形

的腰长的不确定分情况讨论.

3.(2015•北京)阅读下面材料:

在数学课上，老师提出如下问题：

尺视作图：作一条线段的垂直平分线

己知：线段45.

____________,B

小芸的作法如下:

如图，

(1)分别以点/和点B为圆心，大于;43的长为半

径作弧，两弧相交于CD两点；

(2)作直统C。.

老师说："小芸的作法正确.”

请回答：小芸的作图依据是到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线

上，两点确定一条直线..

【分析】通过作图得到CA=CB,DA=DB,则可根据线段垂直平分线定理的逆定理

判断CD为线段AB的垂直平分线.

【解答】解:VCA=CB,DA=DB,

，CD垂直平分AB（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点

确定一条直线.）

故答案为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条

直线..

【点评】本题考查了基本作图：基本作图有：作一条线段等于已知线段；作一个

角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知

直线的垂线.

4.（2014•天津）如图，将AABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,

点B,点C均落在格点上.

（I）计算AC2+BC2的值等于11；

（H）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，

使该矩形的面积等于AC2+BC2,并简要说明画图方法（不要求证明）如图所

木：

【分析】（1）直接利用勾股定理求出即可；

（2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED,正方形BCNM,正方形ABHF；

进而得出答案.

【解答】解：（I）AC2+BC2=（V2）2+32=11；

故答案为：11;

（2）方法一:

分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED,正方形BCNM,正方形ABHF；

延长DE交MN于点Q,连接QC,平移QC至AG,BP位置，直线GP分别交AF,

BH于点T,S,

则四边形ABST即为所求.

方法二：

如图1,所求矩形的面积等于两个粉色正方形的面积和

小正方形面积为2,大正方形面积为9,

图1

如图2,第一次变化，图中绿色三角形的面积等于粉色小正方形的面积,

如图3,第二次变化，图中蓝色平行四边形的面积等于粉色小正方形的面积,

*-

经过几次变形以后，如图5,两块阴影所示的面积和，还是等于11,

如图6,然后进行一次割补，上面黑色阴影与aABC全等，把黑色割补到aABC,

则平行四边形ABEF的面积也是11,

图6

下面再进行最后一次等积变形，过A,B两点分别做AB的垂，然后延长EF,与

这两条垂线分别相交于M,N

如图7,矩形ABMN与平行四边形ABEF面积相等，都是

【点评】此题主要考查了应用设计与作图，借助网格得出正方形是解题关键.

5.（2015•自贡）如图，将线段AB放在边长为1的小正方形网格，点A点B均

落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB上画出点P,使AP=2叵，并保留作图

3

痕迹.（备注：本题只是找点不是证明，.•.只需连接一对角线就行）

【分析】利用勾股定理列式求出AB=JF，然后作一小正方形对角线，使对角线

与AB的交点满足AP：BP=2：1即可.

【解答】解：由勾股定理得，

AB=^42+12=Vrr.

所以，AP=空立时AP：BP=2：1.

3

点P如图所示.

【点评】本题考查了应用与设计作图，考虑利用相似三角形对应边成比例的性质

是解题的关键.

6.（2010•凉山州）已知：ZAOB,求作NAOB的平分线；如图所示，填写作法：

①以。为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M,交OB于N.

②分别以M、N为圆心，大于U/IN的长为半径画弧，两弧在NAOB的内部交

1-

于点C.

③画射线OC,射线OC即为所求..

【分析】关键应描述出OM=ON,在/AOB的内部交于点C,角平分线是射线这

几点.

【解答】解：①以。为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M,交OB于N.

②分别以M、N为圆心，大于工MN的长为半径画弧，两弧在NAOB的内部交于

点C.

③画射线0C,射线0C即为所求.

【点评】根据所给图形抓住关键点是解决本题的关键.

7.（2012•天津）“三等分任意角"是数学史上一个著名问题.已知一个角/MAN,

设NaJ/MAN.

（I）当NMAN=69。时，Na的大小为23（度）；

（II）如图，将NMAN放置在每个小正方形的边长为1cm的网格中，角的一边

AM与水平方向的网格线平行，另一边AN经过格点B,且AB=2.5cm.现要求只

能使用带刻度的直尺，请你在图中作出Na,并简要说明做法（不要求证明）如

图，让直尺有刻度一边过点A设该边与过点B的竖直方向的网格线交于点C

与过点B水平方向的网格线交于点D,保持直尺有刻度的一边过点A调整点C、

D的位置，使CD=5cm,画射线AD,此时NMAD即为所求的/a..

【分析】（I）根据题意，用69。乘以上，计算即可得解;

3

（II）利用网格结构，作以点B为直角顶点的直角三角形，并且使斜边所在的直

线过点A,且斜边的长度为5,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可

得斜边上的中线等于AB的长度，再结合三角形的外角性质可知，ZBAD=2ZBDC,

再根据两直线平行，内错角相等可得NBDC=NMAD,从而得到NMADJ/MAN.

【解答】解：（I）1X69°=23°；

3

（H）如图，让直尺有刻度一边过点A,设该边与过点B的竖直方向的网格线交

于点C,与过点B水平方向的网格线交于点D,保持直尺有刻度的一边过点A,

调整点C、D的位置，使CD=5cm,画射线AD,此时NMAD即为所求的Na.

【点评】本题考查了应用与设计作图，主要利用了直角三角形斜边上的中线等于

斜边的一半的性质，使作出的直角三角形斜边上的中线恰好把三角形分成两个等

腰三角形是解题的关键.

8.（2005•长沙）请在图中作出AABC的角平分线BD（要求保留作图痕迹）.

【分析】①以点B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角ABC两边于点M,N；

②分别以点M,N为圆心，以大于J_MN的长度为半径画弧，两弧交于点E；

2

③作射线BE交AC与D.

则线段BD为4ABC的角平分线.

【解答】解:

【点评】本题主要考查基本作图：作一个角的平分线.

9.（2004•江西）如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形.ZACB

画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P,使点P落在NACB的平分线

上.请参见解答.

【分析】CA,CB上分别取点A,B使CA=CB=5；以点A、B、C为顶点，作菱形

即可找到P点.

【解答】解：作法：

【点评】考查了格点中角平分线的画法；注意尽量运用格点构造菱形.

10.（2014•思明区校级模拟）如图所示是由7个完全相同的正方形拼成的图形,

请你用一条直线将它分成面积相等的两部分.（在原图上作出）.

【分析】将图形分为两部分，分别算出两部分的面积，使面积值相等.

【解答】解:如图:

设小正方形的边长为2,E为BC中点.

则SAABEJX1X4=2,所以梯形ADCE的面积为8-2=6；

2

则AE左侧的面积总和为:4X3+2=14,AE右侧的面积为4X2+6=14.

所以AE两侧的图形面积相等.

【点评】此题重点在于分析出完整正方形多的一方分割的小图形就少一点，这样

才可以保证两边图形面积相等.同时解题过程中可以设出具体的边长然后验证面

积相等.

11.（2013•三明）如图，在^ABC中，ZC=90°,ZCAB=60°,按以下步骤作图:

①分别以A,B为圆心，以大于LkB的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q.

2

②作直线PQ交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若CE=4,则AE=8.

【分析】根据垂直平分线的作法得出PQ是AB的垂直平分线，进而得出NEAB=

ZCAE=30°,即可得出AE的长.

【解答】解：由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，

...AE=BE,

•.,在aABC中，ZC=90°,ZCAB=60°,

.,.ZCBA=30°,

/.ZEAB=ZCAE=30°,

.,.CE=1V\E=4,

2

/.AE=8.

故答案为:8.

【点评】此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30。所对直角边

等于斜边的一半，根据已知得出NEAB=NCAE=30。是解题关键.

三.解答题（共18小题）

12.（2008•台州）CD经过NBCA顶点C的一条直线，CA=CB.E,F分别是直线

CD上两点，且NBEC=NCFA=Na.

（1）若直线CD经过NBCA的内部，且E,F在射线CD上，请解决下面两个问

题：

①如图1,若NBCA=90。，Za=90°,

则BE=CF；EF=iBE-AFl（填"V"或"="）；

②如图2,若0o<NBCAV180。，请添加一个关于Na与NBCA关系的条件Na+

NBCA=180。，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.

（2）如图3,若直线CD经过NBCA的外部，Za=ZBCA,请提出EF,BE,AF

三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）.

【分析】由题意推出NCBE=NACF,再由AAS定理证△BCE^^CAF,继而得答案.

【解答】解：（1）①•.•NBCA=90°,Za=90°,

/.ZBCE+ZCBE=90°,ZBCE+ZACF=90",

.,.ZCBE=ZACF,

VCA=CB,ZBEC=ZCFA；

/.△BCE^ACAF,

...BE=CF；EF=CF-CE|=|BE-AFI.

②所填的条件是：Za+ZBCA=180°.

证明：在ABCE中，ZCBE+ZBCE=180°-ZBEC=180°-Na.

VZBCA=180°-Za,

AZCBE+ZBCE=ZBCA.

又•:ZACF+ZBCE=ZBCA,

/.ZCBE=ZACF,

又•.•BC=CA,ZBEC=ZCFA,

.'.△BCE^ACAF(AAS)

，BE=CF,CE=AF,

又•.•EF=CF-CE,

EF=BE-AF.

(2)猜想:EF=BE+AF.

证明过程：

VZBEC=ZCFA=Za,Na=NBCA,ZBCA+ZBCE+ZACF=180°,ZCFA+ZCAF+Z

ACF=180°,

/.ZBCE=ZCAF,

XVBC=CA,

.'.△BCE^ACAF(AAS).

，BE=CF,EC=FA,

，EF=EC+CF=BE+AF.

【点评】本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识.注意对三

角形全等，相似的综合应用.

13.(2004•呼和浩特)如图，在△ABC中，BA=BC,ZB=120°,AB的垂直平分线

MN交AC于D,求证：AD=LDC.

2

【分析】连接BD,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得

AD=BD,然后求出NA=NC=NABD=30。，再求出NDBC=90。，再根据直角三角形

30。所对的直角边等于斜边的一半即可得证.

【解答】解：如图，连接DB.

「MN是AB的垂直平分线，

，AD=DB,

AZA=ZABD,

VBA=BC,ZB=120",

/.ZA=ZC=1(180°-120°)=30°,

2

AZABD=30",

XVZABC=120°,

AZDBC=120°-30°=90°,

.♦.BDJDC,

2

.*.AD=lx)C.

【点评】本题考查了30。角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分

线上的点到线段两端点的距离相等的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题

的关键.

14.（2007•绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1,己知

四边形ABCD中，AC平分NDAB,ZDAB=60°,NB与ND互补，求证：

AB+AD=J8C.小敏反复探索，不得其解.她想，若将四边形ABCD特殊化，看

如何解决该问题.

（1）特殊情况入手添加条件："NB=ND",如图2,可证AB+AD=V3AC；（请你

完成此证明）

（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3,过C

点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F.（请你补全证明）

DD

【分析】（1）如果："NB=ND",根据NB与ND互补，那么NB=ND=90。，又因

为ZDAC=ZBAC=30°，因止匕我们可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=^L\C,

2

那么AD+AB=VSAC.

（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD和BCD全等即

可得到（1）的条件.根据AAS可证两三角形全等，DF=BE.然后按照（1）的解

法进行计算即可.

【解答】证明：（1）Y/B与ND互补，ZB=ZD,

/.ZB=ZD=90",

ZCAD=ZCAB=LNDAB=30°,

2

•.,在△ADC中，cos30°=坦,

AC

在△ABC中，330。=里

AC

.,.AB=^SAC,AD3^-AC

22人

/.AB+AD=V3AC.

(2)由(1)知，AE+AF=V3AC,

丁AC为角平分线,CF1AD,CE_LAB,

/.CE=CF.

而NABC与ND互补，

ZABC与NCBE也互补，

/.ZD=ZCBE.

■.•在RtACDF与RtACBE中，

，ZCEB=ZCFD

<ZD=ZCBE

,CE=CF

，RtACDF^RtACBE.

，DF=BE.

，AB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=V3AC.

【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角

形是解题的常用方法，也是解决本题的关键.

15.（2010•三明）（1）-5的绝对值是5.

（2）如图，ZAOB=50°,OC平分NAOB,则NAOC的度数=25。.

【分析】（1）根据绝对值的定义：正数的绝对值是正数作答；

（2）根据角平分线的定义求解.

【解答】解：（1）-5的绝对值是5；

（2）VZAOB=50°,OC平分NAOB,

/.ZA0C=iZA0B=25o.

2

故答案为：5、25°.

【点评】此题主要考查绝对值的定义和角平分线的定义，比较简单.

16.（2012•沙坪坝区校级二模）如图，某大学有A、B、C三栋教学楼，A、B在

校内的主干道上，C在校内支路的末端.为了方便教学和管理，现计划修建一栋

办公楼P,使办公室到公路AB、BC的距离相等，且到B、C两栋教学楼的距离也

相等，请在图中作出办公楼P的位置（要求：尺规作图，不写已知、求作、作法

和结论，保留作图痕迹，在所作图中标出P的位置）.

c

【分析】作出NABC的平分线，再作出BC的垂直平分线，交点即是P点位置.

【解答】解：如图所示：

【点评】此题主要考查了角平分线的作法以及垂直平分线的作法，利用角平分线

的性质以及垂直平分线的性质解题是解题关键.

17.(2012・咸宁)如图1,矩形MNPQ中，点E,F,G,H分别在NP,PQ,QM,

MN上，若N1=N2=N3=N4,则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形.图

2,图3,图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4,BC=8.

理解与作图：

(1)在图2,图3中，点E,F分别在BC,CD边上，试利用正方形网格在图上

作出矩形ABCD的反射四边形EFGH.

计算与猜想：

(2)求图2,图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形

的周长是否为定值？

启发与证明：

(3)如图4,为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M,

试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想.

2

图1

【分析】（1）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形;

（2）图2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度，然后即可得到周长，图

3中利用勾股定理求出EF=GH,FG=HE的长度，然后求出周长，从而得到四边形

EFGH的周长是定值；

（3）证法一：延长GH交CB的延长线于点N,再利用"角边角"证明RtAFCE和

RtAFCM全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF,EC=MC,同理求出

NH=EH,NB=EB,从而得到MN=2BC,再证明GM=GN,过点G作GK1BC于K,

根据等腰三角形三线合一的性质求出MK=J_MN=8,再利用勾股定理求出GM的

2

长度，然后即可求出四边形EFGH的周长；

证法二：利用"角边角"证明RtAFCE和RtAFCM全等，根据全等三角形对应边相

等可得EF=MF,EC=MC,再根据角的关系推出NM=NHEB,根据同位角相等，两

直线平行可得HE〃GF,同理可证GH〃EF,所以四边形EFGH是平行四边形，过

点G作GK1BC于K,根据边的关系推出MK=BC,再利用勾股定理列式求出GM

的长度，然后即可求出四边形EFGH的周长.

【解答】解：（1）作图如下:

图2图3

(2)在图2中，EF=FG=GH=HE=J^7”=&5=2遥，

，四边形EFGH的周长为4X2岳8旗，

在图3中，EF=GH=62+产泥,FG=HE=^32+62=745=3^

，四边形EFGH的周长为2X依+2X3倔2代+6倔8遥.

猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值.

(3)证法一：延长GH交CB的延长线于点N.

VZ1=Z2,Z1=Z5,

/.Z2=Z5.

而FC=FC,

，RtAFCE^RtAFCM.

，EF=MF,EC=MC,

同理：NH=EH,NB=EB.

.,.MN=2BC=16.

VZM=90°-Z5=90°-Zl,NN=90°-N3,

AZM=ZN./.GM=GN.

过点G作GK_LBC于K,则KM=J-MN=8,

2

GM=VGK2+KM2=V42+82=4^

，四边形EFGH的周长为2GM=8遍，

证法二：VZ1=Z2,Z1=Z5,

/.Z2=Z5.

而FC=FC,

，RtAFCE^RtAFCM.

，EF=MF,EC=MC.

VZM=900-Z5=90°-Zl,ZHEB=90°-N4,

而/1=N4,

，NM=NHEB.

，HE〃GF.

同理:GH〃EF.

四边形EFGH是平行四边形.

:.FG=HE,

而N1=N4,

RtAFDG^RtAHBE.

Z.DG=BE.

过点G作GK1BC于K,则KM=KC+CM=GD+CM=BE+EC=8.

二GM=7GK2+KM2=V42+82=4^

二四边形EFGH的周长为2GM=8遥.

【点评】本题考查了应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应

用，矩形的性质，读懂题意理解"反射四边形EFGH"特征是解题的关键.

18.（2015•东城区二模）如果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积同时平

分，那么就把这条直线称作这个封闭图形的二分线.

4B

。一△工

囱平仃四边形等腰二角形DC

（图1）（图2）

AJA

（图3）备用图1°A留用图2L

（1）请在图1的三个图形中，分别作一条二分线.

（2）请你在图2中用尺规作图法作一条直线I,使得它既是矩形的二分线，又

是圆的二分线.（保留作图痕迹，不写画法）.

（3）如图3,在Rt^ABC中，NA=90。，AB=3,AC=4,是否存在过AB边上的点

P的二分线？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）圆过圆心画直线，平行四边形过对角线画直线，三角形做底边的垂

直平分线；

（2）作出圆的圆心，再作出矩形的对角线，过矩形对角线交点和圆心画直线即

可；

（3）利用中线的性质分析得出即可.

【解答】解:（1）（2）如图所示：

0m

园帝j四蹑等皆三角形D

（3）存在，

理由：设AP=x,PQ为二分线，则Q在BC边上，CQ=2-x,BQ=x+3,BP=3-x,

过点Q做QELAB于E,

则QE=4(X+3),

5

**SAPBQ=3,

.,.▲(3-x).I[♦+：＞')=3,

25

•x-娓

2

，AP=返.

2

【点评】此题主要考查了应用设计作图以及中线的性质等知识，根据新定义分别

分析得出是解题关键.

19.(2009•陕西)问题探究:

(1)请在图①的正方形ABCD内，画出使NAPB=90。的一个点，并说明理由.

(2)请在图②的正方形ABCD内(含边)，画出使NAPB=60。的所有的点P,并说

明理由.

问题解决：

(3)如图③，现在一块矩形钢板ABCD,AB=4,BC=3.工人师傅想用它裁出两

块全等的、面积最大的4APB和aCPE钢板，且NAPB=NCP'D=60度.请你在图

③中画出符合要求的点和P和P，，并求出4APB的面积(结果保留根号).

DI---------1CDI----------1CDI-------------1C

A।------------IBAI----------\BAI-------------\B

①②③

【分析】(1)因为正方形的对角线互相垂直，所以连接AC、BD交于点0,。即

为所求；

(2)①以AB为边在正方形内作等边aABP；②作4ABP的外接圆0,分别与AD、

BC交于点E、F.因为在圆。中，弦AB所对的海上的圆周角均为60。，所以命:

上的所有点均为所求的点P;

(3)因为NAPB=NCP'D=60。，Z^APB和△CP，D的面积最大,所以同(2)：

①连接AC；

②以AB为边作等边aABE；

③作等边AABE的外接圆0,交AC于点P；

④在AC上截取AP'=CP.则点P、P为所求.

要求4APB的面积.可过点B作BGLAC,交AC于点G.

因为在Rt^ABC中，AB=4,BC=3,利用勾股定理可求AC=5,利用三角形的面积

可求BG=经迎12,又因在RtAABG中，AB=4,所以利用勾股定理可求出AG

AC_5_

的值，然后在Rt/XBPG中，因为NBPA=60。，所以PG=—既）叵^

tan60535

而AP=AG+PG,SAAPB=^P*BG,即可求出答案.

2

【解答】解：（1）如图①，连接AC、BD交于点P,

贝U/APB=90度..•.点P为所求.

（2）如图②，画法如下：

①以AB为边在正方形内作等边aABP；

②作AABP的外接圆0,分别与AD、BC交于点E、F.

•.•在圆。中，弦AB所对的市让的圆周角均为60。，

...谛上的所有点均为所求的点P.

（3）如图③，画法如下：

①连接AC；

②以AB为边作等边^ABE；

③作等边4ABE的外接圆0,交AC于点P；

④在AC上截取AP'=CP.则点P、P为所求.

（评卷时，作图准确，无画法的不扣分）

过点B作BG_LAC,交AC于点G.

•.,在RQABC中,AB=4,BC=3.

AAC=VAB2+BC2=5,

BGng'BC上.

AC-5

在RtAABG中，AB=4,

AAG=^AB2_BG2_H.在RtZ\BPG中，ZBPA=60°,

5

.•.PG=BG等.x返*.

tan600535

AP=AG+PG=.+%.

...Sw山P・BGJx心.)x丝=96+24人

22155'525

①

【点评】本题需仔细分析题意，利用同弧所对的圆周角相等即可解决问题.

20.（2012•青岛）问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）

个点作为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？

问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊性的策略，先从简单

和具体的情形入手：

探究一：以4ABC的三个顶点和它内部的1个点P,共4个点为顶点，可把4ABC

分割成多少个互不重叠的小三角形？

如图①，显然，此时可把AABC分割成3个互不重叠的小三角形.

探究二：以aABC的三个顶点和它内部的2个点P、Q,共5个点为顶点，可把

△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？

在探究一的基础上，我们可看作在图①^ABC的内部，再添加1个点Q,那么点

Q的位置会有两种情况：

一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部.不妨假设点Q在△PAC内

部,如图②；

另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上.不妨假设点Q在

PA上，如图③.

显然，不管哪种情况，都可把AABC分割成5个不重叠的小三角形.

探究三：以aABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R,共6个点为顶点可把

△ABC分割成7个互不重叠的小三角形,并在图④中画出一种分割示意图.

探究四：以aABC的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个顶点可把AABC

分割成（2m+l）个互不重叠的小三角形.

探究拓展：以四边