有限abel群的结构定理Fundamental Theorem of Finite Abelian

有限Abel群的结构定理（FundamentalTheoremofFiniteAbelianGroups）有限Abel群是群论中已被研究清楚了的重要群类，也是应用比较广泛的群类，本节的主要结论是有限Abel群可以分解成阶为素数的方幂的循环群（循环p-群）的直积，而且表法是唯一的。我们先看几个具体的例子。4阶群都是Abel群，它们有两种互不同构的类型，代表分别是。6阶群有两种不同的类型，代表分别是，其中是非Abel群；是Abel群，且。8阶Abel群有三种不同的类型，代表分别是。9阶群都是Abel群，它们有两种互不同构的类型，代表分别是。这些有限Abel群都同构于循环群或者循环群的直积，并且每个循环群的阶都是一个素数的方幂，这些循环群的阶组成的有重集合正好是该群阶素数方幂乘积的所有可能组合。例如8阶Abel群，有三种情形：，分别对应于8写成素数方幂乘积所有可能的形式（三种）：。下面我们讨论一般有限Abel群的结构。引理1设a是群G的一个元素，a的阶等于。其中与是两个互素的正整数，那么a可以唯一的表示成，式中的阶是；；而且都是a的方幂。证明因为与互素，所以存在整数使得。于是，令，则，而且都是的方幂。因为，所以的阶是的因子。由于与互素，从而互素，并且，故的阶等于。但是的阶是，所以必有。再证表法的唯一性。设，其中满足条件。那么，注意到可以交换，所以的阶是的因子，同理的阶是的因子，又与互素，故必有，从而。引理2设是群的有限阶元素，，是使的最小正整数，则（1）当时，；（2）当<>时，orda。证明（1）令，则，由k的最小性知，。因此，k|s。（2）由条件可知存在。令。设orda=n，则，由k的最小性知，。假若，则由（1）可知n|s,所以，与矛盾。因此，orda。定理1设G是一个n（）阶Abel群，，其中是互异的素数，，那么。其中表示G中阶为素数的方幂的元素的全体（这里因为非空，而且对G的运算封闭，所以是G的子群）。证明由引理1，考虑分解成几个互素的因子的一般情形，可证结论。因中元素的阶都是素数的方幂，的阶也是素数的方幂，，所以。定义1如果群G中一个元素g的阶为素数p的一个方幂，则称g为一个p－元素(p－element)。如果群G的阶是素数p的一个方幂，则称G为一个ｐ－群(ｐ－group)。定义2设群G的阶为是一个素数，q与p互素，那么G的阶子群称为G的一个Sylowp－子群(Sylowp－subgroup)。定理1说明每个n阶Abel群可以表示为它的Sylowp－子群的直积。定理2（有限Abel群的结构定理）任何阶大于1的有限Abel群都可以唯一地分解为素幂阶循环群（从而为不可分解群）的直积。也可以描述为：设G是一个n（）阶Abel群，，其中是互异的素数，，那么，其中且。称每个为群的初等因子(elementarydivisor)，其全体称为群的初等因子组(groupofelementarydivisor)。证明由定理1我们仅需证明G是素幂阶有限Abel群即可。为此，我们可设是素数，是正整数。（1）存在性设，且是G的使最小的一组n元生成系，即对G的任何一组n元生成系均有。下面证明：。令，仅需证。若不然，不妨设，，其中。再令是使的最小正整数且不妨设，则由引理2，。但是，，故每个都是p的方幂，从而都是p的方幂而且，再由引理2可得（1）再由于，故可令，（2）从而由此可知，故。于是由（2）知，（3）由此等式又可知，从而由引理2，。进而。令，（4）并且令，（5）则由此可知。从而即也是群G的一组n元生成系。然而由（5）以及（3），（4）可知，于是由（1）知，ord().从而，这与的最小性矛盾。因此，结论成立。2）唯一性设(6)是G的两种这样的分解，且其初等因子组分别为。由于，故每个和每个，都是p的方幂。不妨假定。（1）若且不妨设r<s，又。则由（5）知，G的阶按第一种分解为,而按第二种分解又为,这显然是不可能的。（2）若，但。则令,并由此易知且由（6）有因为，故.但因都是p的方幂，故。从而H的阶按第一种分解为正整数之积。同理，H的阶按第二种分解又为正整数之积。这显然也是不可能的。因此，有（1）与（2）可知：r=s且。从而。亦即G的两种分解的初等因子组相同。由定理2可知，一个有限Abel群完全由其初等因子组所决定。定理3两个阶大于1的有限Abel群同构的充要条件是，二者有相同的初等因子组。证明（1）充分性。设阶大于1的有限Abel群G与有相同的初等因子组：则由定理2知，G与有相应的分解：，，其中。于是据此易知（其中为任意整数）是群G与的一个同构映射，因此，。（2）必要性。设，且仍用表示群G到的一个同构映射。如果G的初等因子组为，则由定理2知，G有分解，其中，在之下仍设，由于是同构映射，故，从而由此以及可知即与G有相同的初等因子组。定理2和定理3把有限Abel群的结构完全搞清楚了。例1给出所有45阶Abel群的互不同构的类型。解因为45＝，故相应45阶Abel群的初等因子组共有二种：因此，在同构意义下45阶Abel群共有二个，其代表是：，例2给出Klein四元群的分解和其初等因子组。解令e=(1),a=(12),b=(34),c=(12)(34)，则Klein四元群为,且易知,从而其初等因子组为。例3决定200阶Abel群的互不同构的类型。解200=。由于3的分拆有：3=3，3=2+1，3=1+1+1；2的分拆有：2=2，2=1+1，因此200阶Abel群的初等因子有下述6种可能情形：从而200阶Abel群有6种互不同构的类型它们的代表分别是其中，这是循环群。例4设，求G的初等因子组。解因此G的初等因子组是初等因子为的Abelp-群称为初等Abelp-群（elementaryabelianp-group）。Klein四元群是一个初等Abel群。45阶Abel群都不是初等Abel群。实际上，更一般的，凡阶有两个或两个以上互异素因子的Abel群都不是初等Abel群.习题1－101.决定12阶Abel群的互不同构的类型.2.决定36阶Abel群的互不同构的类型3.决定108阶Abel群的互不同构的类型4.决定360阶Abel群的互不同构的类型5.决定144阶Abel群的互不同构的类型6.决定216阶Abel群的互不同构的类型7.求下列群的初等因子组:(1)；(2)；(3)。8.设G是100阶Abel群。(1)证明G必含有10阶元;(2)G的初等因子组应当怎样才能使G不含阶大于10的元素?9.证明:对任意素数和任意正整数总存在有限Abel群G,其初等因子组为。10.设p是素数.试给出同构意义下的所有阶Abel群.11.设G是阶大于1的有限群.证明:若除e外其余元素的阶均相同,则G为素幂阶群.12.用表示k阶循环群.证明:当且仅当正整数两两互素.13.设是个素数分解,证明：。14.设m,n是两个自然数,记,证明：.15.设G是个有限Abel群,.证明