第六章概率全章总结提升课件高二上学期数学北师大版选择性

第六章概率本章总结提升北师大版

数学

选择性必修第一册知识网络·整合构建专题突破·素养提升目录索引

易错易混·衔接高考网络构建·归纳整合知识网络·整合构建专题一常见概率类型及求法常见的概率问题多为求条件概率或相互独立事件的概率以及利用全概率公式求概率.对于一些复杂事件,我们往往需要先将该事件分解成若干个互斥事件的和,然后利用互斥事件加法公式求解,考查的核心素养为逻辑推理和数学建模.角度1.条件概率的应用【例1】

[2024湖北黄冈期末]现有甲、乙两名游客来某地旅游,都准备从H,G,L,Y四个著名旅游景点中随机选择一个游玩,设事件A为“甲和乙至少一人选择景点G”,事件B为“甲和乙选择的景点不同”,则条件概率P(B|A)=(

)A解析

由题知两名游客从4个著名旅游景点中各随机选择一个游玩,共有4×4=16(种),其中事件A的情况有4×4-3×3=7(种),事件A和事件B共同发生的情况有2×3=6(种),所以规律方法

1.关键:理清条件和结论,建立条件概率模型;2.注意:事件AB的含义;变式训练1盒中有10个零件,其中8个是合格品,2个是不合格品,不放回地抽取2次,每次抽1个.已知第一次抽出的是合格品,则第二次抽出的是合格品的概率是(

)C解析

第一次抽出的是合格品,则还有9个零件,其中7个为合格品,故第二次抽出的是合格品的概率是

,故选C.角度2.互斥事件与相互独立事件的概率【例2】

小王某天乘坐火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率;(3)这三列火车恰有一列火车正点到达的概率.解

(1)设这三列火车恰好有两列正点到达的概率为p1:p1=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9=0.398.(2)设这三列火车至少有一列正点到达的概率为p2:p2=1-0.2×0.3×0.1=0.994.(3)设这三列火车恰有一列火车正点到达的概率为p3:p3=0.8×0.3×0.1+0.2×0.7×0.1+0.2×0.3×0.9=0.092.规律方法

本题求解的关键是将复杂的事件分解为简单事件的和或积,这个过程体现了转化与化归的数学思想以及逻辑推理的核心素养,同时通过利用概率的加法、乘法公式计算概率体现了数学运算的核心素养.变式训练2某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别为,且各轮问题能否正确回答互不影响,求该选手被淘汰的概率.角度3.全概率公式的应用【例3】

甲箱的产品中有5个正品和3个次品,乙箱的产品中有4个正品和3个次品.(1)从甲箱中任取2个产品,求这2个产品都是次品的概率;(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中,然后再从乙箱中任取一个产品,求取出的这个产品是正品的概率.(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”,事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”,事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”,事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”,则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥.规律方法

通过本例我们发现,当不好直接求事件A发生的概率时,可以采用化整为零的方式,即把事件A分解,然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率.变式训练3[2024福建三明检测]某同学买了7个盲盒,每个盲盒中都有一个礼物,有4个装小兔玩偶和3个装小狗玩偶.(1)依次不放回地从中取出2个盲盒,在第一次取到小兔玩偶盲盒的条件下,第二次取到小兔玩偶盲盒的概率;(2)依次不放回地从中取出2个盲盒,求第2次取到的是小狗玩偶盲盒的概率.专题二离散型随机变量的分布列、期望与方差【例4】

甲、乙、丙三支足球队进行比赛,根据规则:每支队伍比赛两场,共赛三场,每场比赛胜者得3分,负者得0分,没有平局.已知乙队胜丙队的概率为,甲队获得第一名的概率为,乙队获得第一名的概率为

.(1)求甲队分别胜乙队和丙队的概率P1,P2;(2)设在该次比赛中,甲队得分为ξ,求ξ的分布列及其均值、方差.变式训练4某校辩论队计划在周六、周日各参加一场辩论赛,分别由正、副队长负责,已知该校辩论队共有10位成员(包含正、副队长),每场比赛除负责人外均另需3位队员(同一队员可同时参加两天的比赛,正、副队长只能参加一场比赛).假设正、副队长分别将各自比赛的通知信息独立、随机地发给辩论队8名队员中的3位,且所发信息都能收到.(1)求辩论队员甲收到正队长或副队长所发比赛通知信息的概率;(2)设辩论队收到正队长或副队长所发比赛通知信息的队员人数为X,求X的分布列及其数学期望和方差.专题三几种重要分布本章学习的四种重要的概率分布是考试的重点,即两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布,其中二项分布和超几何分布尤为重要,并且容易混淆,必须根据问题情境作出正确的判断,考查的数学核心素养为数学建模和逻辑推理.角度1.二项分布【例5】

已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为,某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验,每次试验种一粒种子,如果某次没有发芽,则称该次试验是失败的.(1)第一小组做了3次试验,记该小组试验成功的次数为X,求X的分布列;(2)第二小组进行试验,到成功了4次为止,求在第4次成功之前共有3次失败的概率.(2)第二小组第7次试验成功,前面6次试验中有3次失败,3次成功,每次试验又是相互独立的,因此所求概率为规律方法

解决二项分布问题的步骤

变式训练5[2024重庆开州月考]某种疾病的历史资料显示,这种疾病的自然痊愈率为20%.为试验一种新药,在有关部门批准后,某医院把此药给10个病人服用,试验方案为:若这10个病人中至少有5人痊愈,则认为这种药有效,提高了治愈率;否则认为这种药无效.假设每个病人是否痊愈是相互独立的.(1)如果新药有效,把治愈率提高到了80%,求经试验认定该药无效的概率p;(精确到0.001,参考数据:(2)根据(1)中p值的大小解释试验方案是否合理.解

(1)设通过试验痊愈的人数为变量X,则X~B(10,0.8),所以经试验认定该药无效的概率为(2)由题意,新药是有效的,由(1)得经试验认定该药无效的概率为p=0.006,为小概率事件,故试验方案合理.角度2.超几何分布【例6】

[2024江苏泰州质检]幸福农场生产的某批次20件产品中含有n(3≤n≤13)件次品,从中一次任取10件,其中次品恰有X件.(1)若n=3,求取出的产品中次品不超过1件的概率;(2)记f(n)=P(X=3),则当n为何值时,f(n)取得最大值.解

(1)记“取出的产品中次品不超过1件”为事件A,则P(A)=P(X=0)+P(X=1)则n(14-n)>(n-3)(21-n),解得n<6.3.故当n<6.3时,f(n)>f(n-1);当n>6.3时,f(n)<f(n-1).故当n=6时,f(n)取得最大值.规律方法

1.在超几何分布中,随机变量X取每个值的概率是用古典概型计算的,明确每一个事件的意义是正确解答此类问题的关键.2.超几何分布具有广泛的应用,它可以用来描述产品抽样中的次品数的分布规律,也可用来研究我们熟悉的抽奖或摸球游戏中的某些概率问题.在其概率的表达式中,各个字母的含义在不同的背景下会有所不同.变式训练6盒内有大小相同的9个球,其中2个红色球、3个白色球、4个黑色球.规定取出1个红色球得1分,取出1个白色球得0分,取出1个黑色球得-1分.现从盒内任取3个球.(1)求取出的3个球中至少有一个红色球的概率;(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率;(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数,求ξ的分布列.角度3.正态分布【例7】

某学校高三2500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布X~N(500,502),请估计考生成绩(单位:分)X在区间(550,600]的人数.规律方法

正态分布的概率通常有以下两种解法:(1)“3σ原则”的应用.记住正态总体在三个区间内取值的概率.(2)注意数形结合.由于正态分布密度曲线具有完美的对称性,体现了数形结合的重要思想,因此可以运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题.变式训练7[2024山东济宁检测]某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平,组织本校8000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试),并随机抽取了100名学生的初试成绩,绘制了频率分布直方图,如图所示.(1)根据频率分布直方图,求样本平均数的估计值;(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ为样本平均数的估计值,σ≈14.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试,试估计能参加复试的人数.(附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974.)解

样本平均数的估计值为

,则

=10×(40×0.01+50×0.02+60×0.03+70×0.024+80×0.012+90×0.004)=62,所以样本平均数的估计值为62.(2)因为学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ=62,σ≈14,所以μ+2σ≈62+2×14=90.所以P(x≥90)=P(x≥μ+2σ)≈×(1-0.954

4)=0.022

8.所以估计能参加复试的人数约为0.022

8×8

000≈182.易错易混·衔接高考12345671.[2024浙江嘉兴检测]下列说法中错误的是(

)A.已知随机变量X~B(6,),则D(2X-1)=6B.已知随机变量ξ~N(μ,σ2),若函数f(x)=P(x-1<ξ<x+1)为偶函数,则μ=0C.数据1,3,4,5,7,8,10的第80百分位数是8D解析

对于A,D(2X-1)=22D(X)=4×6=6,A正确;对于B,由函数f(x)=P(x-1<ξ<x+1)为偶函数,则f(-x)=f(x),所以P(-x-1<ξ<-x+1)=P(x-1<ξ<x+1),区间(-x-1,-x+1),(x-1,x+1)关于x=μ对称,则μ=0,B正确;对于C,7×0.8=5.6,所以数据1,3,4,5,7,8,10的第80百分位数是第六个数据8,C正确;对于D,由按分层随机抽样样本方差的计算公式可知选项缺少平均数的相关数据,D错误.故选D.123456712345672.(多选题)[2024陕西西安期末]设随机变量,则下列说法正确的是(

)A.X,Y服从正态分布B.P(X>6)=C.EX<EY,DX=DYD.当且仅当k=5时,P(Y=k)取最大值BC123456712345673.[2024山西大同月考]一个质点在随机外力的作用下,从原点O出发,每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位,共移动8次.移动后,事件“质点位于原点O”的概率为

;事件“质点位于4的位置”的概率为

.

123456712345674.[2024山东烟台检测]假设某市场供应的灯泡中,甲厂产品占60%,乙厂产品占40%,甲厂产品的合格率是90%,乙厂产品的合格率是80%,在该市场中随机购买一个灯泡,是合格品的概率为

;如果买到的灯泡是合格品,那么它是甲厂产品的概率为

.

0.86

0.63

解析

设A为甲厂产品,B为乙厂产品,C表示合格产品,则P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(C|A)=0.9,P(C|B)=0.8,所以P(C)=P(A)·P(C|A)+P(B)·P(C|B)=0.6×0.9+0.4×0.8=0.86,灯泡是甲厂生产的概率为60%×90%=0.54,所以12345675.[2024四川内江月考]某汽车公司最近研发了一款新能源汽车,并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析,得到如图所示的频率分布直方图,根据大量的测试数据,可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布N(μ,σ2),用样本平均数

和标准差s分别作为μ,σ的近似值,其中样本标准差s的近似值为50,现任取一辆汽车,则它的单次最大续航里程X∈[250,400]的概率为

.(参考数据:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974)

0.8185

123456712345676.[2023全国高考新课标Ⅱ卷,19]某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:1234567利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.1234567解

(1)当p(c)=0.5%时,由患病者频率分布直方图可得第一个小矩形面积为0.002×5=0.01,∴c==97.5.由未患病者频率分布直方图可得q(c)=0.01×(100-97.5)+0.002×5=0.035.(2)当c∈[95,100)时,p(c)=(c-95)×0.002,q(c)=(100-c)×0.01+0.01,∴