【解析】江西省宜春市宜丰县宜丰中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学（理）试题

数学理一、单选题（每题5分，共60分）1.是虚数单位，则（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】先将化成的形式,再由求出模.【详解】解:,.故选:A【点睛】本题考查复数的除法运算和复数求模,是基础题.的概率分布列如表：1234则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用离散型随机变量X的概率分布列的性质求解.详解：由离散型随机变量X的分布列知：，解得.故选：D.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意离散型随机变量X的概率分布列的性质的灵活应用.3.将五枚硬币同时抛掷在桌面上，至少出现两枚正面朝上的概率是（）．A B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，所有硬币反面朝上的概率为：，一次正面朝上的概率为：，则至少出现两次正面朝上的概率是.本题选择B选项.点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．4.数学与文学之间存在着奇妙的联系，诗中有回文诗，如“山东落花生花落东山，西湖回游鱼游回湖西”，倒过来读，仍然是原句！数学上也有这样一类数，如66，202，3773，34543，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，我们称这样的数为“回文数”，现用数字1，2，3，4组数（可重复用），则组成的五位“回文数”的个数为（）A.24 B.28 C.48 D.64【答案】D【解析】【分析】先读懂题意，然后根据排列组合及两个计数原理求解即可．【详解】解:若五位“回文数”仅由1个数字组成，则“回文数”的个数为；若五位“回文数”由2个数字组成，则“回文数”的个数为；若五位“回文数”由3个数字组成，则“回文数”的个数为．由分类加法计数原理知，组成的五位“回文数”的个数为，故选:D．【点睛】本题结合“回文数”的定义考查排列组合的有关知识，考查考生分析问题、解决问题的能力和逻辑推理能力．5.7个人排成一队参观某项目，其中ABC三人进入展厅的次序必须是先B再A后C，则不同的列队方式有多少种（）A.120 B.240 C.420 D.840【答案】D【解析】【分析】先求出7人排成一列总共多少种排法，再对ABC三人进行定序缩倍即可得解.【详解】根据题意，先将7人排成一列，有A77种排法，其中ABC三人进入展厅的次序必须是先B再A后C，即ABC三人顺序一定，则不同的列队方式有840种；故选：D.【点睛】本题考查了排列中的定序问题，即在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法来解决，本题就用了该方法，属于中档题.6.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：甲乙相邻的排队顺序共有种，其中甲乙相邻，甲丙相邻的排队顺序共有种，∴甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为考点：古典概型及其概率计算公式，则多项式的常数项（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用微积分基本定理化简可知，再求出通项公式，令，解得，即可求出答案．【详解】，则多项式的通项为令，解得，，常数项为，故选D.【点睛】本题考查二项式系数的性质，涉及定积分的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．，选择的两个非空子集与，要使中最小数大于中最大的数，则不同选择方法有（）A.50种 B.49种 C.48种 D.40种【答案】B【解析】【分析】根据题意，与中元素不能相同，由与中元素个数组成，分类讨论即可求得不同选择方法的数量；也可以选出若干元素后，从小到大排序，然后利用“插空法”得与.【详解】由题意可知，与中元素不能相同，且都不为空集.若集合中分别有一个元素，则共有种选法；若集合中有一个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有一个元素，集合中有三个元素，则选法种数有种；若集合中有一个元素，集合中有四个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有三个元素，则选法种数有种；若集合中有三个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；若集合中有三个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有四个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种，综上所述，总计有49种选法，解法二：由题意可知集合，中没有相同的元素，且都不是空集，选出若干元素后，从小到大排序，然后利用“插空法”分为前后两组，分别为．从5个元素中选出2个元素，有种选法，共有种方法；从5个元素中选出3个元素，有种选法，共有种方法；从5个元素中选出4个元素，有种选法，共有种方法；从5个元素中选出5个元素，有种选法，共有种方法，总计为种方法，故选：B．【点睛】本题考查了组合问题的应用，分类讨论时要注意题干要求，做到“不重不漏”，属于中档题.与曲线在第一象限围成的封闭图形面积为，则展开式中，的系数为（）A.20 B.20 C.5 D.5【答案】A【解析】【分析】先通过积分运算得出a的值为4，再通过二项展开式的通项公式计算含有x的项，得出系数.【详解】由，得x=0，或x=2，或x=2，因为a为在第一象限围成封闭图形面积，所以，展开式中的第项为，由可得，所以展开式中的系数为.【点睛】本题考查定积分的应用、二项式定理、二项展开式通项公式、考查一定的计算能力，本题的易错点在于区分项的系数和二项式系数，属于基础题.，其中，则=（）A.405 B.810 C.324 D.648【答案】B【解析】【分析】令可得，对两边求导后，再令即可得解.【详解】令可得，由题意可得，解得，所以，两边同时求导得，令可得，所以.故选：B.【点睛】本题考查了二项式定理的应用及导数的计算，考查了运算求解能力，属于中档题.11.如图所示，将四棱锥SABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（）A.240 B.360 C.420 D.960【答案】C【解析】【分析】可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论.【详解】由题设，四棱锥SABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有种染色方法.设5种颜色为1，2，3，4，5，当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法，若C染5，则D可染3或4，有2种染法.可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有（种）.故选：C【点睛】本题考查分类加法原理、分步乘法原理的综合应用，考查学生的分类讨论的思想、逻辑推理能力，是一道中档题.，那么集合A中满足条件“”的元素的个数为()A.60 B.100 C.120 D.130【答案】D【解析】【分析】根据题意，中取0的个数为2,3,4.根据这个情况分类计算再相加得到答案.【详解】集合A中满足条件“”中取0的个数为2,3,4.则集合个数为：故答案选D【点睛】本题考查了排列组合的应用，根据中取0的个数分类是解题的关键.二、填空题（每题5分，共20分）13.个不同的球，全部放到编号分别为的盒子中，每个盒子中的球数和编号一致，有__________种方法；【答案】【解析】【分析】根据排列数计算即可求解.【详解】由题意将个不同的球，放到盒子，共有故答案为：【点睛】本题考查排列数计算，属于基础题.14.10个相同的小球放在三个编号为1，2，3的盒中，每盒至少1个，有_________种方分法.【答案】36【解析】【分析】转化条件可得将10个相同小球分成三组，每组至少1个，使用隔板法即可得解.【详解】依据题意，10个相同的小球放在3个盒中，每盒至少1个，可转化为将10个相同小球分成三组，每组至少1个；可将10个小球排成一列，进而在排除两端的9个空位中，选取2个，插入隔板即可，由组合公式可得共有种分法.故答案为：.【点睛】本题考查了组合的应用及隔板法的应用，属于基础题.15.某城市的交通道路如图，从城市的东南角到城市的西北角，不经过十字道路维修处，最近的走法种数有__________．【答案】【解析】试题分析：从城市的东南角到城市的西北角，最近的走法种数共有种走法.从城市的东南角经过十字道口维修处，最近的走法有,从到城市的西北角，最近的走法种数为种，所以从城市东南角到城市的西北角，经过十字道口维修处最近的走法有种，所以从城市的东南角到城市西北角，不经过十字道路维修处，最近的走法种数有种.考点：排列组合及简单的计数原理.16.展开式中的的系数为_______【答案】【解析】【分析】利用组合知识，5个相乘，其中含的项，可以5个括号中3个取，剩余2个取1，也可以2个取剩余的3个括号中选2个取，剩余1个取1，还可以5个括号选一个取，剩余4个取，这3项的系数和即为所求.【详解】利用组合知识，含的项可以分3种情况取得，第一种取3个，剩余两个取1，即.第二种选2个括号提供，剩余的3个括号中选2个取，剩余1个取1，即，第三种5个括号选一个取，剩余4个取，即，合并同类项，系数为，故填30.【点睛】本题主要考查了含三项的二项式展开式问题，利用组合知识解决比较简单，属于中档题.三、解答题（6小题共70分）（i为虚数单位），试求实数m分别取什么值时，z分别为：（1）实数；（2）虚数．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据定义域限制以及实数的定义直接列式求解即可；（2）根据定义域限制以及虚数的定义直接列式求解即可.【详解】（1）复数，若为实数，则，解得，当时，z是实数；（2）若为虚数，由，解得且，当时，z是虚数.【点睛】本题结合定义域考查了复数的概念问题，需要学生熟练掌握基础知识，难度不大.18.某中学将要举行校园歌手大赛，现有4男3女参加，需要安排他们的出场顺序．（结果用数字作答）（1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？（2）如果3位女生都相邻，且男生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？【答案】（1）；（2）576．【解析】【分析】（1）采用“插空法”，先排4名男生，形成5个空档，将3名女生插入其中，由此可得；（2）3名女生捆绑作为一个人，优先排男生甲，然后其他人全排列．【详解】（1）采用“插空法”，先排4名男生，有种，形成5个空档，将3名女生插入其中，有种，最后由分步乘法计数原理可得，共有种不同的出场顺序．（2）3名女生捆绑有种，然后优先排男生甲有4种选择，其余可以进行全排列，所以共有=576．【点睛】本题考查排列的综合应用，考查“相邻”与“不相邻”问题．排列时，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法．19.某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家队的平均分比队的平均分多4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于21分，则获得“晋级”．（1）根据茎叶图中的数据，求出队第六位选手的成绩；（2）主持人从队所有选手成绩中随机抽2个，求至少有一个为“晋级”的概率；（3）主持人从两队所有选手成绩分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为，求的分布列．【答案】（1）20；（2）；（3）答案见解析.【解析】分析】（1）先计算队选手的平均分，利用队的平均分比队的平均分多4分，即可得解；（2）从队所有选手成绩中随机抽2个，有种情况，计算至少有一个为“晋级”的对立事件的情况数有种，利用对立事件的概率计算公式，可得解；（3）的可能取值有0，1，2，3，4，分别计算对应的概率，即得解【详解】（1）队选手的平均分为，设队第6位选手的成绩为，则，得（2）队中成绩不少于21分的有2个，从中抽取2个至少有一个为“晋级”的对立事件为两人都没有“晋级”，则概率（3）的可能取值有0，1，2，3，4，∴分布列为01234【点睛】本题考查了统计和概率综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题20.某地有10个著名景点，其中8个为日游景点，2个为夜游景点．某旅行团要从这10个景点中选5个作为二日游的旅游地．行程安排为第一天上午、下午、晚上各一个景点，第二天上午、下午各一个景点．（1）甲、乙两个日游景点至少选1个的不同排法有多少种？（2）甲、乙两日游景点在同一天游玩的不同排法有多少种？（3）甲、乙两日游景点不同时被选，共有多少种不同排法？【答案】（1）2640种；（2）240种；（3）2640种【解析】【详解】试题分析：（1）甲、乙两个日游景点选1个为种，甲、乙两个日游景点都选有，夜游景点的选法为种，所以有种；（2）甲、乙两日游景点在同一天游玩：排在第一天或第二天有种，安排在上下午有种，剩下的两个景点从除去甲乙外的6个里选有种，共种；（3）日游景点的排法为种，甲、乙两日游景点都不选有种，所以甲、乙两日游景点不同时被选，共有种不同排法.（1）（种）（2）（种）（3）（种）答：分别不同排法总数是2640种，240种，2640种.考点：排列组合综合应用.21.甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）用X表示比赛决出胜负时的总局数，求随机变量X的分布列．