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文档简介
陕西省五校重点中学2024-2025学年高三第二学期停课不停学阶段性检测试题数学试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,在四边形中,,,,,,则的长度为()A. B.C. D.2.设,是方程的两个不等实数根,记().下列两个命题()①数列的任意一项都是正整数;②数列存在某一项是5的倍数.A.①正确,②错误 B.①错误,②正确C.①②都正确 D.①②都错误3.设函数(,为自然对数的底数),定义在上的函数满足,且当时,.若存在,且为函数的一个零点,则实数的取值范围为()A. B. C. D.4.已知,则,不可能满足的关系是()A. B. C. D.5.已知函数在上单调递增,则的取值范围()A. B. C. D.6.设为虚数单位,则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.在中,为中点,且,若,则()A. B. C. D.8.已知集合A={x∈N|x2<8x},B={2,3,6},C={2,3,7},则=()A.{2,3,4,5} B.{2,3,4,5,6}C.{1,2,3,4,5,6} D.{1,3,4,5,6,7}9.设复数满足,则()A.1 B.-1 C. D.10.在中,已知,,,为线段上的一点,且,则的最小值为()A. B. C. D.11.已知向量,若,则实数的值为()A. B. C. D.12.据国家统计局发布的数据,2019年11月全国CPI(居民消费价格指数),同比上涨4.5%,CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨,猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CPI一篮子商品权重,根据该图,下列结论错误的是()A.CPI一篮子商品中所占权重最大的是居住B.CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C.猪肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%D.猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为0.18%二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线的两条渐近线方程为,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为.14.若函数恒成立,则实数的取值范围是_____.15.已知椭圆Г:,F1、F2是椭圆Г的左、右焦点,A为椭圆Г的上顶点,延长AF2交椭圆Г于点B,若为等腰三角形,则椭圆Г的离心率为___________.16.已知,如果函数有三个零点,则实数的取值范围是____________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,.(1)求函数在处的切线方程;(2)当时,证明:对任意恒成立.18.(12分)已知函数.(1)求的单调区间;(2)讨论零点的个数.19.(12分)随着互联网金融的不断发展,很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品,如蚂蚁金服旗下的“余额宝”,腾讯旗下的“财富通”,京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况,随机抽取1200名使用理财产品的市民,按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表:分组频数(单位:名)使用“余额宝”使用“财富通”使用“京东小金库”30使用其他理财产品50合计1200已知这1200名市民中,使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名.(1)求频数分布表中,的值;(2)已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为,“财富通”的平均年化收益率为.若在1200名使用理财产品的市民中,从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人,然后从这7人中随机选取2人,假设这2人中每个人理财的资金有10000元,这2名市民2018年理财的利息总和为,求的分布列及数学期望.注:平均年化收益率,也就是我们所熟知的利息,理财产品“平均年化收益率为”即将100元钱存入某理财产品,一年可以获得3元利息.20.(12分)某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质,特推出一款运动计步数的软件,所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包,大大增加了用户走步的积极性,所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”,统计了2019年1月份所有用户的日平均步数,规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”,步数在8000以下的为“非运动达人”,采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户,得到如下列联表:运动达人非运动达人总计男3560女26总计100(1)(i)将列联表补充完整;(ii)据此列联表判断,能否有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”?(2)将频率视作概率,从该公司的所有人“运动达人”中任意抽取3个用户,求抽取的用户中女用户人数的分布列及期望.附:21.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)若曲线、交于、两点,是曲线上的动点,求面积的最大值.22.(10分)在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为;直线的参数方程为(为参数),直线与曲线分别交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)若点的极坐标为,,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
设,在中,由余弦定理得,从而求得,再由由正弦定理得,求得,然后在中,用余弦定理求解.【详解】设,在中,由余弦定理得,则,从而,由正弦定理得,即,从而,在中,由余弦定理得:,则.故选:D本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.2.A【解析】
利用韦达定理可得,,结合可推出,再计算出,,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.【详解】因为,是方程的两个不等实数根,所以,,因为,所以,即当时,数列中的任一项都等于其前两项之和,又,,所以,,,以此类推,即可知数列的任意一项都是正整数,故①正确;若数列存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5,由,,依次计算可知,数列中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期,故数列中不存在个位数字为0或5的项,故②错误;故选:A.本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力.3.D【解析】
先构造函数,由题意判断出函数的奇偶性,再对函数求导,判断其单调性,进而可求出结果.【详解】构造函数,因为,所以,所以为奇函数,当时,,所以在上单调递减,所以在R上单调递减.因为存在,所以,所以,化简得,所以,即令,因为为函数的一个零点,所以在时有一个零点因为当时,,所以函数在时单调递减,由选项知,,又因为,所以要使在时有一个零点,只需使,解得,所以a的取值范围为,故选D.本题主要考查函数与方程的综合问题,难度较大.4.C【解析】
根据即可得出,,根据,,即可判断出结果.【详解】∵;∴,;∴,,故正确;,故C错误;∵,故D正确故C.本题主要考查指数式和对数式的互化,对数的运算,以及基本不等式:和不等式的应用,属于中档题5.B【解析】
由,可得,结合在上单调递增,易得,即可求出的范围.【详解】由,可得,时,,而,又在上单调递增,且,所以,则,即,故.故选:B.本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.6.A【解析】
利用复数的除法运算化简,求得对应的坐标,由此判断对应点所在象限.【详解】,对应的点的坐标为,位于第一象限.故选:A.本小题主要考查复数除法运算,考查复数对应点所在象限,属于基础题.7.B【解析】
选取向量,为基底,由向量线性运算,求出,即可求得结果.【详解】,,,,,.故选:B.本题考查了平面向量的线性运算,平面向量基本定理,属于基础题.8.C【解析】
根据集合的并集、补集的概念,可得结果.【详解】集合A={x∈N|x2<8x}={x∈N|0<x<8},所以集合A={1,2,3,4,5,6,7}B={2,3,6},C={2,3,7},故={1,4,5,6},所以={1,2,3,4,5,6}.故选:C.本题考查的是集合并集,补集的概念,属基础题.9.B【解析】
利用复数的四则运算即可求解.【详解】由.故选:B本题考查了复数的四则运算,需掌握复数的运算法则,属于基础题.10.A【解析】
在中,设,,,结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求,可得,再由已知条件求得,,,考虑建立以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立直角坐标系,根据已知条件结合向量的坐标运算求得,然后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】在中,设,,,,即,即,,,,,,,,即,又,,,则,所以,,解得,.以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则、、,为线段上的一点,则存在实数使得,,设,,则,,,,,消去得,,所以,,当且仅当时,等号成立,因此,的最小值为.故选:A.本题是一道构思非常巧妙的试题,综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题,解题的关键是理解是一个单位向量,从而可用、表示,建立、与参数的关系,解决本题的第二个关键点在于由,发现为定值,从而考虑利用基本不等式求解最小值,考查计算能力,属于难题.11.D【解析】
由两向量垂直可得,整理后可知,将已知条件代入后即可求出实数的值.【详解】解:,,即,将和代入,得出,所以.故选:D.本题考查了向量的数量积,考查了向量的坐标运算.对于向量问题,若已知垂直,通常可得到两个向量的数量积为0,继而结合条件进行化简、整理.12.D【解析】
A.从第一个图观察居住占23%,与其他比较即可.B.CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判断.C.食品占19.9%,再看第二个图,分清2.5%是在CPI一篮子商品中,还是在食品中即可.D.易知猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.【详解】A.CPI一篮子商品中居住占23%,所占权重最大的,故正确.B.CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,权重超过50%,故正确.C.食品占中19.9%,分解后后可知猪肉是占在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%,故正确.D.猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%,故错误.故选:D本题主要考查统计图的识别与应用,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】由已知,即,取双曲线顶点及渐近线,则顶点到该渐近线的距离为,由题可知,所以,则所求双曲线方程为.14.【解析】
若函数恒成立,即,求导得,在三种情况下,分别讨论函数单调性,求出每种情况时的,解关于的不等式,再取并集,即得。【详解】由题意得,只要即可,,当时,令解得,令,解得,单调递减,令,解得,单调递增,故在时,有最小值,,若恒成立,则,解得;当时,恒成立;当时,,单调递增,,不合题意,舍去.综上,实数的取值范围是.故答案为:本题考查恒成立条件下,求参数的取值范围,是常考题型。15.【解析】
由题意可得等腰三角形的两条相等的边,设,由题可得的长,在三角形中,三角形中由余弦定理可得的值相等,可得的关系,从而求出椭圆的离心率【详解】如图,若为等腰三角形,则|BF1|=|AB|.设|BF2|=t,则|BF1|=2a−t,所以|AB|=a+t=|BF1|=2a−t,解得a=2t,即|AB|=|BF1|=3t,|AF1|=2t,设∠BAO=θ,则∠BAF1=2θ,所以Г的离心率e=,结合余弦定理,易得在中,,所以,即e==,故答案为:.此题考查椭圆的定义及余弦定理的简单应用,属于中档题.16.【解析】
首先把零点问题转化为方程问题,等价于有三个零点,两侧开方,可得,即有三个零点,再运用函数的单调性结合最值即可求出参数的取值范围.【详解】若函数有三个零点,即零点有,显然,则有,可得,即有三个零点,不妨令,对于,函数单调递增,,,所以函数在区间上只有一解,对于函数,,解得,,解得,,解得,所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,,当时,,当时,,此时函数若有两个零点,则有,综上可知,若函数有三个零点,则实数的取值范围是.故答案为:本题考查了函数零点的零点,恰当的开方,转化为函数有零点问题,注意恰有三个零点条件的应用,根据函数的最值求解参数的范围,属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)见解析【解析】
(1)因为,可得,即可求得答案;(2)要证对任意恒成立,即证对任意恒成立.设,,当时,,即可求得答案.【详解】(1),,,函数在处的切线方程为.(2)要证对任意恒成立.即证对任意恒成立.设,,当时,,,令,解得,当时,,函数在上单调递减;当时,,函数在上单调递增.,,,当时,对任意恒成立,即当时,对任意恒成立.本题主要考查了求曲线的切线方程和求证不等式恒成立问题,解题关键是掌握由导数求切线方程的解法和根据导数求证不等式恒成立的方法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.18.(1)见解析(2)见解析【解析】
(1)求导后分析导函数的正负再判断单调性即可.(2),有零点等价于方程实数根,再换元将原方程转化为,再求导分析的图像数形结合求解即可.【详解】(1)的定义域为,,当时,,所以在单调递减;当时,,所以在单调递增,所以的减区间为,增区间为.(2),有零点等价于方程实数根,令则原方程转化为,令,.令,,∴,,,,,当时,,当时,.如图可知①当时,有唯一零点,即有唯一零点;②当时,有两个零点,即有两个零点;③当时,有唯一零点,即有唯一零点;④时,此时无零点,即此时无零点.本题主要考查了利用导数分析函数的单调性的方法,同时也考查了利用导数分析函数零点的问题,属于中档题.19.(1);(2)680元.【解析】
(1)根据题意,列方程,然后求解即可(2)根据题意,计算出10000元使用“余额宝”的利息为(元)和10000元使用“财富通”的利息为(元),得到所有可能的取值为560(元),700(元),840(元),然后根据所有可能的取值,计算出相应的概率,并列出的分布列表,然后求解数学期望即可【详解】(1)据题意,得,所以.(2)据,得这被抽取的7人中使用“余额宝”的有4人,使用“财富通”的有3人.10000元使用“余额宝”的利息为(元).10000元使用“财富通”的利息为(元).所有可能的取值为560(元),700(元),840(元).,,.的分布列为560700840所以(元).本题考查频数分布表以及分布列和数学期望问题,属于基础题20.(1)(i)填表见解析(ii)没有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”(2)详见解析【解析】
(1)(i)由已给数据可完成列联表,(ii)计算出后可得;(2)由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为,的取值为,,由二项分布概率公式计算出各概率得分布列,由期望公式计算期望.【详解】解(1)(i)运动达人非运动达人总计男352560女142640总计4951100(ii)由列联表得所以没有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”(2)由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为,.易知
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