第01讲 集合（解析版）

第01讲集合（6类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第1题,5分集合的交集一元三次不等式的解法及范围估算2023年新I卷，第1题,5分集合的交集一元二次不等式的解法2023年新Ⅱ卷，第2题,5分元素的性质、集合的子集无2022年新I卷，第1题,5分集合的交集根号不等式的解法2022年新Ⅱ卷，第1题,5分集合的交集单绝对值不等式的解法2021年新I卷，第1题,5分集合的交集无2021年新Ⅱ卷，第2题,5分集合的交集、补集无2020年新I卷，第1题,5分集合的并集无2020年新Ⅱ卷，第1题,5分集合的交集无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问题4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的根号不等式，简单的指对不等式，简单的高次不等式和简单的单绝对值不等式【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后通过集合的运算得出答案。知识讲解集合的概念一般地，我们把指定的某些对象的全体称为，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个对象叫做这个集合的，通常用小写字母a，b，c，…表示.【答案】集合元素集合与元素的关系一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a在集合中A中，就说元素a集合A，记作，如果元素a在不集合中A中，就说元素a集合A，记作.【答案】属于不属于3．集合的分类含有有限个元素的集合叫作，含有无限个元素的集合叫作，不含任何元素的集合叫作，记作.【答案】有限集无限集空集4．元素与集合（1）集合中元素的特性：、、.（2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a集合A，记作；如果a不是集合A中的元素，就说a集合A，记作.（3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.（4）常用数集及其记法：数集非负整数集（或自然数集）正整数集整数集有理数集实数集复数集符号N*或（N＋）ZQRC注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R.【答案】确定性互异性无序性属于不属于N5．集合间的基本关系（1）如果集合的都是集合中的元素，这是我们说集合包含于，或者集合集合，记为.（2）如果，那么我们称集合和集合相等，记为．（3）如果，且存在，则称是的真子集，记为．（4）在数学中，我们常用韦恩图来表示集合，如图所示的两个集合，它们的关系是;可记为.（5）如果集合中有个不同的元素，则的所有子集的个数为.【答案】任何一个元素包含6．集合的基本运算文字语言符号语言图形语言记法并集由所有属于集合A集合B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}

交集由所有属于集合A集合B的元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}

补集由全集U中集合A的所有元素组成的集合{x|x∈U，且x∉A}

【答案】或属于A∪B且属于A∩B不属于7．交集的性质：①A∩BA；②A∩BB；③A∩A＝；

④A∩＝；⑤A∩BB∩A.【答案】=8．并集的性质：①A∪BA；②A∪BB；③A∪A＝；④A∪＝；⑤A∪BB∪A.【答案】=9．补集的性质：①∁U(∁UA)＝；②∁UU＝；③∁U＝；④A∩(∁UA)＝；⑤A∪(∁UA)＝；⑥∁U(A∩B)＝(∁UA)(∁UB)；⑦∁U(A∪B)＝(∁UA)(∁UB)．【答案】考点一、判断元素与集合的关系1．（2022·全国·高考真题）设全集，集合M满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先写出集合,然后逐项验证即可【详解】由题知,对比选项知，正确,错误故选:2．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，若，则m的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】将代入，然后转化为一元二次不等式求解可得.【详解】因为，所以，等价于，解得.故选：A1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（

）.A． B．C． D．【答案】A【分析】令分别为选项中不同值，求出的值进行判定.【详解】当时，，所以，故A正确；当时，，所以，故B错误；当或时，，所以，故C错误；当时，，所以，故D错误.故选：A2．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知，若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题目条件得到不等式，求出答案.【详解】由题意得且，解得．故选：A考点二、集合中元素的特性1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（

）A．2 B．3 C．0或3 D．【答案】B【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案.【详解】因为且，所以或，①若，此时，不满足元素的互异性；②若，解得或3，当时不满足元素的互异性，当时，符合题意.综上所述，.故选：B2．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知集合，若，则（

）A．或3 B．0 C．3 D．【答案】C【分析】由集合相等的含义得，求解并验证互异性即可.【详解】，，解得或，当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去.当时，，此时，满足题意.综上，.故选：C.1．（2024高三·全国·专题练习）设集合​,若​,则​的值为（

）A．​ B．-3 C．​ D．​【答案】D【分析】根据集合的确定性，互异性，无序性，进行求解.【详解】由集合中元素的确定性知​或​.当​时,​或​;当​时,​.当​时,​不满足集合中元素的互异性,故​舍去;当​时,​满足集合中元素的互异性,故​满足要求;当​时,​满足集合中元素的互异性,故​满足要求.综上,​或​.故选:D.2．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则的值是（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】根据得到或，然后解方程根据元素的互异性进行取舍即可.【详解】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得，符合题意，两种情况代入得.故选：C.考点三、集合间的基本关系1．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B.2．（2024·辽宁·三模）若全集，，，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合中函数的值域，得到集合，判断两个集合的包含关系.【详解】全集，，则，，所以.故选：D3．（2024·河北秦皇岛·三模）若集合，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再分、两种情况讨论，确定集合，再根据集合的包含关系得到不等式，解得即可.【详解】由，即，解得，所以，当时，，符合，当时，由，解得，所以，因为，所以，解得.综上可得的取值范围为.故选：D1．（2024·山东滨州·二模）已知集合，则A的子集个数为（

）A．4 B．7 C．8 D．16【答案】C【分析】根据题意求集合A，结合集合的元素个数与子集个数之间的关系分析求解.【详解】由题意可得：，可知A有3个元素，所以A的子集个数为.故选：C.2．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（

）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解.【详解】因为，所以可以是，共8个，故选：D3．（2024·湖北·三模）已知，，若，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据一元二次不等式求出集合A，进而根据集合的包含关系即可求解.【详解】解：因为，且，若，则故选：D.考点四、集合的基本运算1．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简集合，由交集的概念即可得解.【详解】因为，且注意到，从而.故选：A.2．（2024·全国·高考真题）集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.【详解】因为，所以，则，故选：D3．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得的值，然后计算即可.【详解】由题意可得，则.故选：A.1．（2023·全国·高考真题）设集合，集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.【详解】由题意可得，则，选项A正确；，则，选项B错误；，则或，选项C错误；或，则或，选项D错误；故选：A.2．（2024·湖南长沙·二模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解对数不等式化简集合A，求出指数函数值域化简集合B，再利用交集的定义求解即得.【详解】由，得，则，当时，，则，所以.故选：A3．（2024·河北衡水·模拟预测）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先分别求集合，进而利用集合的交集与补集运算即可求解.【详解】；由，得，解得，所以；；，于是.故选：C.考点五、集合新定义1．（2024·河南·三模）定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为．【答案】4【分析】根据新定义求出集合中的所有元素，即可得解.【详解】，，当，时，；当，时，；当，时，.所以，所以集合中所有元素之和为.故答案为：42．（浙江·高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT②对于任意x，yT，若x<y，则S；下列命题正确的是（

）A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素【答案】A【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.【详解】首先利用排除法：若取，则，此时，包含4个元素，排除选项C；若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D；若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；下面来说明选项A的正确性：设集合，且，，则，且，则，同理，，，，，若，则，则，故即，又，故，所以，故，此时，故，矛盾，舍.若，则，故即，又，故，所以，故，此时.若，则，故，故，即，故，此时即中有7个元素.故A正确.故选：A.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.1．（2024·山东威海·二模）在研究集合时，用来表示有限集合A中元素的个数．集合，，若，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，确定，从而求出的值.【详解】由题：所以，故选：A.2．（2024·湖南怀化·二模）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（

）A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集【答案】C【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解.【详解】集合中，，则，即的相伴数集中的最小数不是1，因此不是规范数集；集合，，，即的相伴数集中的最小数是1，因此是规范数集.故选：C考点六、集合多选题1．（2024·吉林长春·模拟预测）若集合，则一定有（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据以及，可得、、可得，结合选项即可求解.【详解】因为，，所以，所以，，因为，，所以，所以，所以，故选项A、C正确，B、D错误.故选：AC.2．（2024·全国·模拟预测）设集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】先分别求出集合，，计算和，再逐项判断即可.【详解】对集合，由，得，解得，即；对集合，由，得，解得，，即．所以或，A错误，B正确，或，C，D正确．故选：BCD1．（2024·河南新乡·二模）已知集合则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】先求解不等式得集合，利用集合的交集、并集、补集定义运算和集合间的包含关系即可一一判断正误.【详解】由可得或，即或.对于A项，或，故A项错误；对于B项，或,故B项正确；对于C项，因或，故，故C项正确；对于D项，，故D项正确.故选：BCD.2．（2024·江西·模拟预测）设集合，，若，则的值可以为（

）A．1 B．0 C． D．【答案】ABD【分析】由，可得，再分和两种情况讨论即可.【详解】，因为，所以，当时，，当时，，则或，所以或，综上所述，或或.故选：ABD.3．（2024·湖北·模拟预测）设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】结合举例及集合的运算和集合的关系求解即可.【详解】当，，，时，满足，此时，不是的子集，所以A、B不一定成立；，，所以C不一定成立；对于D，若，则，但，因为，所以，于是，所以，同理若，则，，因此，成立，所以D成立.故选：ABC.一、单选题1．（2024·广东广州·三模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用集合的混合运算，逐一分析判断各选项即可得解.【详解】由题得：，，，或，或，所以，故A错误；或，故B错误；或，故C错误；，故D正确；故选：D.2．（2024·湖南·模拟预测）设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合，再求与交集即可.【详解】∵，∴，由，所以.故选：B3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据并集含义即可得到答案.【详解】.故选：B.4．（2024·广东广州·模拟预测）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对数、指数函数的单调性解不等式求出集合M、N，结合并集的概念与运算即可求解.【详解】因为，，所以.故选：D5．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式，求集合，进而求得.【详解】集合或，所以.故选：.6．（2024·湖南常德·一模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元二次不等式化简集合，即可由集合的交运算即可求解.【详解】由得，所以，故选：C7．（2024·天津·三模）设全集，集合，，则=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用补集、并集的定义直接求解即得.【详解】依题意，全集，则，，得，所以.故选：B二、填空题8．（2024·湖南长沙·三模）已知集合，，若，则．【答案】2【分析】由得，令、、求出集合B，即可求解.【详解】由，得.当时，，不满足元素的互异性，舍去；当时，，满足，符合题意；当时，，不满足，舍去.综上，.故答案为：29．（2024·河北沧州·二模）已知集合，若，则的取值范围为.【答案】【分析】求出集合，根据集合，即可求出.【详解】由题意知，又且，故，即的取值范围为.故答案为：.10．（2024·全国·模拟预测）设集合，．若，则．【答案】2【分析】先根据题目条件以及集合中元素的互异性证明，再验证满足条件即可.【详解】由于，而，故.所以是整数，且，再由集合中元素的互异性知，.从而是整数，且，，，得.当时，，，故，满足条件.故答案为：.一、单选题1．（2024·安徽·三模）已知集合，则的子集的个数为（

）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】B【分析】利用交集定义与子集个数与元素个数的关系计算即可得.【详解】由，可得，则的子集的个数为.故选：B.2．（2024·广东广州·二模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出中不等式的解集，找出解集中的整数解，确定出即可得出答案．【详解】由解得，或，即，，.故选：B．3．（2024·湖南·二模）已知集合，则集合（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用不等式性质、交集、并集、补集定义求解．【详解】由题意，，所以.故选：D.4．（2024·河南·三模）若集合，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由集合中含有元素可以排除AD两个选项，由中含无理数元素排除C选项，由时，得，判断出选项B正确.【详解】依题意可得，所以A、D均错误；因为，所以中含无理数元素，故C错误；集合中，当时，，所以,所以，所以B正确；故选：B.5．（2024·湖北鄂州·一模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，将集合化简，然后结合交集的运算即可得到结果.【详解】，而，故，故选：B．6．（2024·黑龙江·模拟预测）设集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式得到，利用补集和交集概念求出答案.【详解】因为等价于，解得，所以，所以或，则由韦恩图可知阴影部分表示．故选：B．7．（2024·河北保定·二模）已知集合，，若中有2个元素，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据即可求解.【详解】，因为中只有2个元素，则，所以.故选：B8．（2024·湖北荆州·三模）已知集合，，其中是实数集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解出一元二次不等式后，结合补集定义与交集定义计算即可得.【详解】由可得或，则，又，故.故选：B.二、填空题9．（2024·江苏南京·二模）已知集合，，则集合的元素个数为．【答案】2【分析】利用列举法求解集合，即可求解.【详解】当时，，2，4，分别为,均不能满足，当时，时可满足，时，，时，均不满足，当时，可满足，时，，时，均不满足，所以，故集合的元素有2个，故答案为：210．（2024·湖南邵阳·三模），，则.【答案】【分析】根据对数不等式求集合A，根据分式不等式求集合B，进而可得.【详解】若，则，解得，所以；若，则，解得，所以；所以.故答案为：.一、单选题1．（2024·全国·高考真题）集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足，则可能的取值为，即，于是.故选：A2．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】由题意得，故选：A.3．（2024·天津·高考真题）集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合，，所以，故选：B4．（2023·全国·高考真题）设全集,集合，（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集，，所以，．故选：A．5．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果；【详解】