考研数学（数学二）模拟试卷4（共206题）

考研数学（数学二）模拟试卷4（共9套）（共206题）考研数学（数学二）模拟试卷第1套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设f(χ)＝∫0sinχ，当χ→0时，f(χ)是g(χ)的()．A、等价无穷小B、同阶但非等价无穷小C、高阶无穷小D、低阶无穷小标准答案：B知识点解析：因为，所以正确答案为B．2、设f(χ)连续可导，且＝1，f(0)为f(χ)的极值，则()．A、当f(0)＝0时，f(0)是f(χ)的极小值B、当f(0)＝0时，f(0)是f(χ)的极大值C、当f(0)＞0时，f(0)是f(χ)的极大值D、当F(0)＜0时，f(0)是f(χ)的极小值标准答案：A知识点解析：因为f(χ)连续可导，所以由＝1得f(0)＋f′(0)＝0．当f(0)≠0时，因为f′(0)≠0，所以f(0)不是极值，C，D不对；当f(0)＝0时，f′(0)＝0，由1＝＝f〞(0)＋f′(0)得f〞(0)＝1＞0，故f(0)为f(χ)的极小值，选A．3、设函数f(χ)在区间(0，＋∞)内具有二阶导数，满足f(0)＝0，f″(χ)＜0．又0＜a＜b，则当a＜χ＜b时恒有()．A、af(χ)＞χf(a)B、bf(χ)＞xf(b)C、χf(χ)＞bf(χ)D、bf(χ)＞af(a)标准答案：B知识点解析：令φ(χ)＝，当a＜χ＜6时，φ′(χ)＝，再令h(χ)＝χf′(χ)因为f〞(χ)＜0，所以f′(χ)单调减少，于是h(χ)＝χ[f′(χ)－f′(ξ)]＜0，故φ′(χ)＜0，φ(χ)单调减少．由a＜χ＜b得，选B．4、考虑二元函数f(χ，y)在点(χ0，y0)处的下面四条性质：①连续②可微③f′χ(0，y0)与f′y(χ0，y0)存在④f′χ与f′y(χ，y)连续若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有()．A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：若f(χ，y)一阶连续可偏导，则，f(χ，y)在(χ0，y0)处可微，若f(χ，y)在(χ0，y0)处可微，则f(χ，y)在(χ0，y0)处连续，故选B5、设y＝y(χ)是微分方程y〞＋(χ－1)y′＋χ2y＝eχ满足初始条件y(0)＝0，y′(0)＝1的解，则为()．A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：因为y(0)＝0，y′(0)＝1，所以由y〞＋(χ－1)y′χ2y＝eχ得y〞(0)＝2，从而＝1，故选B．6、下列结论正确的是()．A、若A，B特征值相同，则A～BB、矩阵A的秩与其非零特征值个数相等C、若A，B特征值相同，则A，B等价D、A，B的特征值相同且A，B都可对角化，则A～B标准答案：D知识点解析：令，因为｜λE－A｜＝｜λE－B｜＝λ2(λ－1)，所以A，B特征值相同，但r(A)＝2≠r(B)＝1，故A，B不相似，A不正确；对，显然λ1＝λ2＝0，λ3＝1，而r(A)＝2，所以B不正确；由(A)，A，B特征值相同，A，B的秩不一定相等，故C不正确。设A，B的特征值相同且A，B都可对角化，令其特征值为λ1，λ2，…λn，因为A，B都可对角化，所以存在可逆阵P1，P2使得，从而有P1-1AP1＝P2-1BP2，于是即A~B，故选D.7、设A是n阶矩阵，下列结论正确的是()．A、设r(A)＝r则A有，一个非零特征值，其余特征值皆为零B、设A为非零矩阵，则A一定有非零特征值C、设A为对称矩阵，A2＝2A，r(A)＝r，则A有r个特征值为2，其余全为零D、设A，B为对称矩阵，且A，B等价，则A，B特征值相同标准答案：C知识点解析：取A＝显然A的特征值为0，0，1，但r(A)＝2，A选项不对；设A＝显然A为非零矩阵。但A的特征值都是零，B选项不对；两个矩阵等价，则两个矩阵的秩相等，但特征值不一定相同，D选项不对，应选C事实上，令AX＝λX，由A2＝2A得A的特征值为0或2，因为A是对称矩阵，说以A一定可对角化，由r(A)＝r得A的特征值中有r个2，其余全部为零.二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、设f(χ)在(－∞，＋∞)内可到，且f′(χ)＝e2，则a＝________.标准答案：1知识点解析：，由微分中值定理得f(χ)－f(χ－1)＝f′(ξ)，其中χ＝1＜ξ＜χ则，于是e2u＝e2，a＝1.9、设f(χ，y)为连续函数，改变为极坐标的累次积分为f(χ，y)dy＝________.标准答案：知识点解析：10、χy〞－y′＝χ2的通解为_______．标准答案：知识点解析：由xy〞－y′＝χ2，得＝1，或者＝1，则＝χ＋C1，由y′＝χ2＋C1χ，得原方程的通解为y＝.11、设F()＝0，且F(u，v)连续可偏导，则＝________．标准答案：z知识点解析：F()＝0两边对χ求偏导，得；F()＝0两边对y求偏导，得，于是.12、＝________.标准答案：知识点解析：.13、设A为三阶矩阵，A的三个特征值为λ1＝－2，λ2＝1，λ3＝2，A*是A的伴随矩阵，则A11＋A22＋A33＝_______.标准答案：－4知识点解析：因为A的特征值为λ1＝－2，λ2＝1，λ3＝2，所以A*的特征值为μ1＝2，μ2＝－4，μ3＝－2，于是A11＋A22＋A33＝tr(A*)＝μ1＋μ2＋μ3＝2－4－2＝－4．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)14、设f(χ)满足χf〞(χ)＋3χ[f′(χ)]2＝1－eχ．(Ⅰ)若f(χ)在χ＝χ0点(χ0≠0)取得极值，证明其为极小值；(Ⅱ)若f(0)＝f′(0)＝0，证明：当χ≥0时，有时，有f(χ)≤χ2．标准答案：(Ⅰ)由f(χ)可导得f′(χ0)＝0，又f〞(χ0)＝无论χ0＞0或χ0＜0，均有f〞(χ0)＞0，所以该点为函数的极小点．(Ⅱ)f〞(χ)＝，令F(χ)＝χ－1＋e-χ，则F′(χ)＝1－c-χ＝1－≥0(χ≥0)，所以F(χ)为增函数，从而F(χ)≥F(0)＝0，故≤1．即f〞(χ)≤≤1．积分得f′(χ)－f′(0)≤χ，再积分得f(χ)－f(0)≤χ2，所以f(χ)≤χ2．知识点解析：暂无解析15、设g(χ)二阶可导，且f(χ)＝(Ⅰ)求常数a，使得f(χ)在χ＝0处连续；(Ⅱ)求f′(χ)，并讨论f′(χ)在χ＝0处的连续性．标准答案：(Ⅰ)当f(χ)在χ＝0处连续时，g(0)＝1，，当f(χ)在χ＝0处连续时，a＝g′(0)．(Ⅱ)当χ≠0时，当χ＝0时，所以f′(χ)在χ＝0处连续．知识点解析：暂无解析16、设a为实数，问方程eχ＝aχ2有几个实根?标准答案：当a＝0时，方程无解；当a≠0时，令φ(χ)＝χ2e-χ－．由φ′(χ)＝2χe-χ－χ2e-χ＝χ(2－χ)e-χ＝0得χ＝0或χ＝2．当χ＜0时，φ′(χ)＜0；当0＜χ＜2时，φ′(χ)＞0；当χ＞2时，φ′(χ)＜0，于是φ(0)＝－为极小值，φ(2)为极大值，又．1)当a≤0时，方程无解；2)a＝时，方程有两个根，分别位于(－∞，0)内及χ＝2；3)当a＞时，方程有三个根，分别位于(－∞，0)，(0，2)，(2，＋∞)内；4)当0时，方程只有一个根，位于(－∞，0)内．知识点解析：暂无解析17、设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，f(a)＝f(b)＝1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得abeη－ξ＝η2[f(η)－f′(η)].标准答案：令φ(χ)＝e-χf(χ)，F(χ)＝，F′(χ)＝－≠0，由柯西中值定理，存在η∈(a，b)，使得，整理得．由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得，所以abeη－ξ＝η2[f(η)－f′(η)]．知识点解析：暂无解析18、设函数f(χ)(χ≥0)连续可导，且f(0)＝1．又已知曲线y＝f(χ)、χ轴、y轴及过点(χ，0)且垂直于χ轴的直线所围成的图形的面积与曲线y＝f(χ)在[0，χ]上的一段弧长相等，求f(χ)．标准答案：曲线y＝f(φ)，χ轴，y轴及过点(χ，0)且垂直于χ轴的直线所围成的图形的面积为∫0χ；曲线y＝f(χ)在[0，π]上的一段弧长为，根据题意得，两边对χ求导得｜f(χ)｜或f2(χ)＝1＋f′2(χ)，则y′＝±，解得lnC(y＋)＝±χ，再由f(0)＝1得C＝1，所以y＋＝e±χ，解得y＝f(χ)＝．知识点解析：暂无解析19、计算，其中D是χ2＋y2＝4与χ2＋(y＋1)2＝1围成的区域．标准答案：由对称件得.知识点解析：暂无解析20、设函数f(t)在(0，＋∞)内具有二阶连续导数，函数z＝满足＝0，若f(1)＝0，f′(1)＝1，求f(χ)．标准答案：由f′(1)＝1得C1＝1，于是f′(χ)＝，故f(χ)＝lnχ＋C2又由f(1)＝0得C2＝0，故f(χ)＝lnχ.知识点解析：暂无解析21、设.(Ⅰ)当a，b为何值时，β不可由α1，α2，α3线性表示；(Ⅱ)当a，b为何值时，β可由α1，α2，α3线性表示，写出表达式．标准答案：1)当a≠－6，a＋2b－4≠0时，因为r(A)≠r()，所以β不可由α1，α2，α3线性表示；2)a≠－6，a＋2b－4＝0时，，β可由α1，α2，α3唯一线性表示，表达式为β＝2α1－α2＋0α3；当a＝－6时，当a＝－6，b≠5时，由，β可由α1，α2，α3唯一线性表示，表达式为β＝6α1＋1α2＋2α3；当a＝－6，b＝5时，由，β可由α1，α2，α3唯一线性表示，表达式为β＝(2k＋2)α1＋(k－1)α2＋kα3，其中k为任意常数.知识点解析：暂无解析22、设为矩阵A的特征向量．(Ⅰ)求a，b及α对应的特征值λ.(Ⅱ)求正交矩阵Q，使得QTAQ为对角阵.标准答案：(Ⅰ)由Aα＝λα得解得a＝3,b＝1,λ＝1.(Ⅱ)由｜λE－A｜＝＝λ(λ－1)(λ－4)＝0得λ1＝0，λ2＝1，λ3＝4将λ＝0代入(λE－A)X＝O得AX＝O，由得λ＝0对应的无关特征向量为将λ＝4代入(λE－A)X＝O得(4E－A)X＝O由4E－A＝得λ＝4对应的无关特征向量为知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、当x→∞时，的()．A、等价无穷小B、较低阶无穷小C、较高阶无穷小D、同阶但不等价的无穷小标准答案：C知识点解析：用等价无穷小代换求其极限判别之．解一解二2、若函数f(x)的导函数是lnx，则等于()．A、B、C、xlnx—1nx+cD、xlnx—lnx+cx标准答案：A知识点解析：已知被积函数的导数，这是用分部积分法计算积分的好条件．解用分部积分法求之．又f′(x)=lnx，于是故3、下列反常积分发散的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：首先区分反常积分与定积分，特别要善于鉴别反常积分瑕点存在的隐蔽性．对于有多个瑕点的反常积分要分解为多个单一瑕点的反常积分逐个判断，只有当各个瑕点的单一反常积分都收敛时，该反常积分才收敛，否则发散．反常积分的敛散性也可直接利用下述结论判别之：(1)若p≥1，则都发散；(2)若p＜1，则它们都收敛．解一(A)中反常积分有两个瑕点，要将该积分分解为两个积分讨论：利用Γ函数即得以上3个反常积分均收敛．因而(B)中反常积分发散．解二解三由知，该反常积分发散，从而发散．4、设f(x，y)为区域D内的函数，则下列命题中不正确的是()．A、若在D内，有，则f(x，y)≡常数B、若在D内的任何一点处沿两个不共线方向的方向导数都为0，则f(x，y)≡常数C、若在D内有df(x，y)≡0，则f(x，y)≡常数D、若在D内有，则f(x，y)≡常数标准答案：D知识点解析：大家知道，在区域D内在D内任何一点处沿两个不共线方向的方向导数都为0<=>f(x，y)为常数，因此(A)、(B)、(C)正确，仅需考察(D)．解在极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ下，有这仅能表示f(x，y)与r无关，不能说明f(x，y)为常数．如则但f(x，y)在D上不恒为常数．5、在极坐标系内将的积分次序交换正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因ρ=acosθ表示一个圆．调换积分次序，当ρ由0变到a时，角从下半圆θ=一arccos变到上半圆θ=arccos解，因此仅C入选．6、设P(x)在(一∞，+∞)上连续，且以T为周期，则是有解y=y(x)≠0且以T为周期的()．A、必要非充分条件B、充分非必要条件C、充分且必要条件D、既不充分也非必要条件标准答案：C知识点解析：利用周期函数的积分性质判别之．解一方程(*)的解为y(x)≠0以T为周期，则又上面用到周期函数的积分的常用性质：对任意x，有其中T为f(x)的周期，则解二利用周期函数的积分的另一性质判别之：由此性质得到7、行列式(已知abcd=1)=()．A、0B、1C、2D、3标准答案：A知识点解析：利用行列式性质求之．解8、下列叙述正确的是()．A、若两个向量组的秩相等，则此两个向量组等价B、若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表示，则必有s＜tC、若齐次线性方程组．Ax=0与Bx=0同解，则矩阵A与B的行向量组等价D、若向量组α1，α2，…，αs与α2，…，αs均线性相关，则α1必不可由α2，α3，…，αs线性表示标准答案：C知识点解析：可举反例用排除法求解，也可证明选项(C)正确．解一用排除法解之．对于(A)，例如则α1的秩与β1的秩相等，但并不等价，可排除(A)；又如可由线性表示，但3＞2，可排除(B)；又如则α1，α2，α3，α4与α2，α3，α4均线性相关，且α1可由α2，α3，α4线性表示，可以排除(D)．只有(C)为正确答案．解二事实上，易证方程组同解，则因此B的行向量组可由A的行向量组线性表示．同理可证，A的行向量组可由B的行向量组线性表示，因此A的行向量组与B的行向量组等价．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、=_______．标准答案：e-1知识点解析：利用公式求之，也可利用重要极限求之．解一解二10、设，则f(n)(x)=_______．标准答案：知识点解析：分式函数为简单函数，其高阶导数应利用公式求之．为此只需将f(x)化为形如。的形式即可．如果记不住公式，那只能用递推归纳求之．解一故解二直接求导，递推归纳：f(x)=一1+2(1+x)-1，f′(x)=2·(一1)·(1+x)-2，f″(x)=2·(一1)(一2)·(1+x)-3，f′″(x)=2·(一1)(一2)(一3)·(1+x)-4，…11、设=_______．标准答案：知识点解析：所给xn的表示式为积和式的形式，因而可用定积分定义求其极限．解首先将xn的形式改写为积和式的标准形式：于是12、设函数=_______．标准答案：一2(x2+y2)e-(x2+y2)2知识点解析：利用复合函数求偏导法则及变上限积分求导公式直接求导．解因为从而13、设z=f(u，v)，有二阶连续偏导数，且f″11+f″22=1，则函数f(x2一y2，2xy)在x2+y2=1上满足=_______．标准答案：4(f″11+f″22)=4知识点解析：利用复合函数求导法则求之．解于是14、设，则A-1=_______．标准答案：知识点解析：可分块计算的逆矩阵．当A1与B1可逆时，而为二阶矩阵，其逆矩阵可用“二调一除”的方法求之：设可逆，将A中主对角线上的元素位置一调，次对角线上的元素符号一调，再用A的行列式∣A∣=ad一bc去除各个元素，所得结果即为此法简称为“两调一除”的方法．解则三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设标准答案：可按求参数方程导数的一般方法求之．解可用两种方法求法一将代入上式，得由x，y的参数方程知x2+y2=2，因此法二知识点解析：暂无解析16、讨论函数y=x2lnx的单调性、凹凸性及拐点．标准答案：由y′=0确定驻点及单调区间，再由y″=0确定凹凸区间及拐点．解y′=x(21nx+1)，令y′=0，得驻点又y″=2lnx+3，令y″=0，得为便于研究y=x2lnx的一些性质，列表如下：由上表可知，函数y=x2lnx在区间内单调下降，在区间内单调上升，在点处达到极小值又曲线y=x2lnx在区间内是凸的，在区间由是凹的，拐点为知识点解析：暂无解析17、设，x＞0，试求f(x)的最小值．标准答案：先依据x的取值范围，去掉被积函数的绝对值符号，求出f(x)的分段表达式，再求f(x)的极值和最值．解当0＜x＜1时，当x≥1时，于是有则由导数定义知f′(1)=2．因x＞0，故是函数f(x)唯一的驻点．又因为，所以是极小值，且在定义域(0，+∞)内达到，又无其他极值，故它也是最小值．知识点解析：暂无解析18、设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=λ，试证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使f′(ξ)+f(ξ)=λ．标准答案：首先考虑哪一个函数的导数能推出f′(x)+f(x)一λ=0．因为f′(x)+f(x)一λ=[f(x)一λ]′+[f(λ)一λ]=0．故ex[f(x)一λ]′+(ex)′[f(x)一λ]=0·ex=0即{ex[f(x)一λ]}′=0．因而借助ex的导数等于它自己的性质，由函数F(x)=ex[f(x)一λ]的导数能推出f′(x)+f(x)一λ=0．事实上，F′(x)=ex[f(x)一λ]+exf′(x)=ex[f′(x)+f(x)一λ]．因为ex≠0，由ex[f′(x)+f(x)一λ]=0，就得到f′(x)+f(x)一λ=0，即f′(x)+f(x)=λ．证作辅助函数F(x)=ex(f(x)一λ)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=0，F′(x)=ex(f′(x)+f(x)一λ)，故由罗尔定理可知，存在ξ∈(a，b)，使F′(ξ)=0，注意到eξ≠0，即得f′(ξ)+f(ξ)=λ．知识点解析：暂无解析19、已知f(x)连续，且试求的值．标准答案：两次对变上限积分求导得到的表达式，然后令x=π／2，即得所求结果．解等式两边同时对x求导，得令x一v=t，得于是有两边对x求导，得令，则知识点解析：暂无解析20、设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成，过z轴上任意点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径的圆面．若以每秒v0体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的．(Ⅰ)写出注水过程中t时刻水面高度z=z(t)与相应的水体积V=V(t)之间的关系式，并求出水面高度z与时间t的函数关系；(Ⅱ)求水表面上升速度最大时的水面高度；(Ⅲ)求灌满容器所需的时间．标准答案：要明确题中所出现的各个物理量之间的关系，并能用积分或导数表示其关系，以及它们所满足的微分方程．解(Ⅰ)由题设知其中S(z)是水面D(z)的面积，且S(z)=π[z2+(1一z)2]，现由及z(0)=0，求z(t)．将上式两边对t求导，由复合函数求导法则得S(z)dz=v0dt，即两边积分并注意z(0)=0，得(Ⅱ)求z取何值时，取最大值．已求得因此，求取最大值时，z的取值归结为求f(z)=z2+(1一z)2在[0，1]上的最小值．由得在z=1／2处f(x)在[0，1]上取最小值，故z=1／2时，水表面上升速度最大．(Ⅲ)归结求容器的容积，即因此，灌满容器所需时间为或由于灌满容器所需时间也就是z=1时所对应的时间t，于是在式(*)中令z=1得知识点解析：暂无解析21、设，f具有连续二阶导数，求标准答案：利用复合函数求导法则直接求导即可．解知识点解析：暂无解析22、讨论线性方程组的解的情况．标准答案：先用初等行变换将其增广矩阵化为行阶梯形矩阵，然后再讨论参数取值的情况对方程组解的影响．解对增广矩阵进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵：当a≠1时，方程组有唯一解，将矩阵A的变换矩阵化为四阶单位矩阵：因而a≠1时方程组的唯一解为：当a=1，b≠1时，方程组无解，因为当a=1，b=一1时，方程组有无穷多组解，因由基础解系和特解的简便求法得到基础解系：α1=[1，一2，1，0]T，α2=[1，一2，0，1]T；及其特解：η=[一1，1，0，0]T．故方程组的通解为k1α1+k2α2+η，其中k1，k2为任意常数．知识点解析：暂无解析23、设A是n阶矩阵，E+A可逆，其中E是n阶单位矩阵．证明：(Ⅰ)(E—A)(E+A)-1=(E+A)-1(E—A)；(Ⅱ)若A是反对称矩阵，则(E一A)(E+A)-1是正交矩阵；(Ⅲ)若A是正交矩阵，则(E—A)(E+A)-1是反对称矩阵．标准答案：利用反对称矩阵及正交矩阵的定义AT=一A及AAT=ATA=E证之．证(Ⅰ)因(E—A)(E+A)=E一A2=(E+A)(E—A)，在上式两边分别左乘、右乘(E+A)-1得到(E+A)-1(E—A)(E+A)(E+A)-1=(E+A)-1(E+A)(E—A)(E+A)-1，即(E+A)-1(E—A)=(E一A)(E+A)-1．(Ⅱ)下证[(E—A)(E+A)-1][(E—A)(E+A)-1]T=E．事实上，由AT=一A得到[(E—A)(E+A)-1][(E—A)(E+A)-1]T=[(E—A)(E+A)-1][(E+A)-1]T(E—A)T=(E—A)(E+A)-1(E—A)-1(E+A)=(E+A)-1(E—A)(E—A)-1(E+A)，(利用(1)的结果(E—A)(E+A)-1=(E+A)(E—A))=E·E=E．)故(E—A)(E+A)-1为正交矩阵．(Ⅲ)下证[(E—A)(E+A)-1]T=一(E一A)(E+A)-1．利用AAT=ATA=E及-1=AT得到[(E—A)(E+A)-1]T=[(E+A)-1]T(E一A)T=[(E+A)T]-1(E—AT)=(E+AT)-1(E—AT)=(E+A-1)-1(E一A-1)=(A-1A+A-1)-1(E—A-1)=[A-1(A+E)]-1(E—A-1)=(A+E)-1A(E—A-1)=(A+E)-1(A—E)=一(A+E)-1(E—A)=一(E—A)(E+A)-1，(利用(Ⅰ)的结果(E+A)-1(E—A)=(E—A)(E+A)-1)故(E—A)(E+A)-1为反对称矩阵．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、下列无穷小中阶数最高的是()．A、eχ－etanχB、ln(1＋2t)dtC、In(1＋χ)－sinχD、－1标准答案：B知识点解析：eχ－etanχ＝etanχ(eχ-tanχ－1)～χ－tanχ.因为，所以eχ－etanχ～－χ3；故选B.2、下列命题正确的是()．A、若f(χ)在χ0处可导，则一定存在δ＞0，在｜χ－χ0｜＜δ内f(χ)可导B、若f(χ)在χ0处连续，则一定存在δ＞0，在｜χ－χ0｜＜δ内f(χ)连续C、若存在，则f(χ)在χ0处可导D、若f(χ)在χ0的去心邻域内可导f(χ)在χ0处连续，且f′(χ)存在，则f(χ)在χ0处可导，且f′(χ0)＝f′(χ)标准答案：D知识点解析：令f(χ＝)得f(χ)在χ＝0处可导(也连续).对任意的a＝0f(χ)不存在，所以f(χ)在χ＝a处不连续，当然也不可导，即χ＝0是f(χ)唯一的连续点和可导点，选项A、B不对；令f(χ)＝显然＝0，因为f(χ)＝0≠f(0)，所以f(χ)在χ＝0处不连续，当然也不可导，C项不正确；因为f(χ)在χ0处连续且在χ0的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有f(χ)－f(χ0)＝f′(ξ)(χ－χ0)或者＝f′(ξ)，其中ξ介于χ0与χ之间，两边取极限得存在，即f(χ)在χ0处可导，且f′(χ0)＝f′(χ)，故选D.3、下列说法中正确的是()．A、若f′(χ)<0，则f(χ)在χ0的邻域内单调减少B、若f(χ)在χ0取极大值，则当χ∈(χ0－δ，χ0)时，f(χ)单调增加，当χ∈(χ0，χ0＋δ)时，f(χ)单调减少C、f(χ)在χ0取极值，则f(χ)在χ0连续D、f(χ)为偶函数，f〞(0)≠0，则f(χ)在χ＝0处一定取到极值标准答案：D知识点解析：f(χ)＝f′(0)＝－1＜0，f′(χ)＝－1＋2χsin，当χ＝(k∈N)时，f′(χ)＞0f(χ)在χ＝0的任意邻域内都不单调减少，选项A不对；f(χ)在χ＝0处取得极大值，但其在χ＝0的任一邻域内皆不单调，选项B不对；f(χ)在χ＝1处取得极大值，但f(χ)在χ＝1处不连续；由f〞(0)存在，得f′(0)存在，又f(χ)为偶函数，所以f′(0)＝0，所以χ＝0一定为f(χ)的极值点，故选D.4、设δ＞0，f(χ)在(－δ，δ)内恒有f〞(χ)＞0，且｜f(χ)｜≤χ2，记I＝∫-δδf(χ)dχ，则有()．A、I＝0B、I＞0C、I＜0D、不能确定标准答案：B知识点解析：因为｜f(χ)｜≤χ2，所以f(0)＝0，由｜f(χ)｜≤χ2，得0≤｜｜≤｜χ｜，由夹逼定理得f′(0)＝0．由泰勒公式得f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋，其中ξ介于0与χ之间，因为在(－δ，δ)内恒有f〞(χ)＞0，所以I＝＞0，故选B．5、设f有一阶连续的偏导数，且f(χ＋y，χ－y)＝4(χ2－χy－y2)，则χf′χ(χ，y)＋yf′y(χ，y)为()．A、2χ2－8χy－2y2B、－2χ2＋8χy－2y2C、2χ2－8χy＋2y2D、－2χ2＋8χy＋2y2标准答案：D知识点解析：令χ＋y＝u，χ－y＝v，则χ＝(u＋v)，y＝(u＋v)，于是由f(χ＋y，χ－y)＝4(χ2－χy－y2)，得f(u，v)＝4uv－u2＋v2，故f(χ，y)＝4χy－χ2＋y2，χf′χ(χ，y)＋yf′y(χ，y)＝χ(4y－2χ)＋y(4χ＋2y)＝－2χ2＋8χy＋2y2，选D．6、设f(χ)＝χ3－3χ＋k只有一个零点，则k的范围是()．A、｜k｜＜1B、｜k｜＞1C、｜k｜＞2D、k＜2标准答案：C知识点解析：f(χ)为三次函数，至少有一个零点，因为函数不单调，故要使函数只有一个零点，必须极小值大于零或极大值小于零，由f′(χ)＝3(χ2－1)＝0，得驻点χ＝±1，且由图形可知，χ＝－1’为极大点χ＝1为极小点，故f(-1)＝2＋k＜0k＜－2，f(1)＝－2＋k＞0k＞2，所以选C.7、设.则B等于().A、P1P2-1AB、AP1P2-1C、P1AP2-1D、P2-1AP1标准答案：C知识点解析：故选C.8、设A，B为n阶方阵，令A＝(α1，α2，…，αn)，B＝(β1，β1，…，βn)，则下列命题正确的A、若矩阵A，B等价，则向量组α1，α2，…，αn，与向量组β1，β1，…，βn等价B、若A，B的特征值相同，则A，B等价C、若AX＝0与BX＝0同解，则A，B等价D、若A，B等价，则AX＝0与BX＝0同解标准答案：C知识点解析：由A，B等价得r(A)＝r(B)，从而向量组α1，α2，…αn与向量组β1，β2，…βn的秩相等，但两向量组秩相等不一定可相互线性表示，即不一定等价，不选A；若A，B特征值相同，r(A)与r(B)不一定相等，从而A，B不一定等价，如：，显然A，B的特征值相同，但r(A)＝1≠r(B)＝2，故A，B不等价，不选B；若方程组AX＝0与BX＝0同解，则r(A)＝r(B)，从而A，B等价，反之不对，应选C.二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、＝________．标准答案：e知识点解析：．10、已知函数z＝u(χ，y)eaχ+by，且＝0．若z＝z(χ，y)满足方程＋z＝0，则a＝________，b＝_______．标准答案：a＝1，b＝1知识点解析：则a＝1，b＝1.11、设f(χ)为连续函数，且χ2＋y2＋z2＝∫χyf(χ＋y－t)dt，则＝_______．标准答案：[f(χ)－f(y)]－(χ＋y)知识点解析：χ2＋y2＋z2＝∫χyf(χ＋y－t)dt两边对χ求偏导得2χ＋2z＝f(χ).再将χ2＋y2＋z2＝∫χyf(χ＋y－t)dt两边对y求偏导得2y＋2z＝f(y)两式相加得z[f(χ)－f(y)]－(χ＋y)．12、摆线(a＞0．0≤t≤2π)绕χ轴旋转一周所成曲面的表面积为________．标准答案：知识点解析：对[χ，χ＋dy][0，2πa]，ds＝2πy，于是s＝．13、微分方程χy′＝＋y(χ>0)的通解为_______．标准答案：arcsin＝lnχ＋C知识点解析：由χy′＝＋y得，令u＝，则u＋χ，解得arcsinu＝lnχ＋C，原方程的通解为arcsin＝Inχ＋C．14、设A为三阶矩阵，其特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝1，其对应的线性无关的特征向量为α1，α2·α3，令P＝(4α1，α2－α3，α2＋2α3)，则P-1(A*＋3E)P为________．标准答案：知识点解析：因为A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝1，所以A*的特征值为μ1＝1，μ2＝μ3＝－2，A*＋3E的特征值为4，1，1，又因为4α1，α2－α3，α2＋2α3也为A的线性无关的特征向量，所以4α1，α2－α3，α2＋2α3也是A*＋3E的线性无关的特征向量，所以三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设f(χ)二阶可导，且f(0)＝f(1)＝0，f(χ)＝－1.证明：存在ξ∈(0,1)，使得f〞(ξ)≥8.标准答案：因为f(χ)＝－1，所以存在c∈(0，1)，使得，f(c)＝-1且f′(c)＝0，由勒公式得整理得f〞(ξ1)＝．当c∈(0，)≥8，取ξ＝ξ1；当c∈≥8，取ξ＝ξ2，故存在ξ∈(0，1)，使得f〞(ξ)≥8．知识点解析：暂无解析16、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析17、求曲线y＝－χ2＋1上一点P(χ0，y0)(其中χ0≠0)，使过P点作抛物线的切线，此切线与抛物线及两坐标轴所围成图形的面积最小．标准答案：切线万程为y＝－2χ0χ＋χ02＋1，令y＝0，得切线与χ轴的交点为A(，0)，令χ＝0，得切线与y轴的交点为B(0，1＋χ02)．1)当χ0＞0时，因为＞0，所以所同成图形面积为，所围成的面积最小，所求的点为P()2)当χ0＜0时，因为＜0，所以所围成的面积为所围成的面积最小，所求点为P()知识点解析：暂无解析18、设f(χ)在[0，a]上一阶连续可导，f(0)＝0，在(0，a)内二阶可导且f〞(χ)＞0．证明：标准答案：因为f〞(χ)＞0，所以f′(χ)单调增加，故f′(ξ)＜f′(χ)，于是φ〞(χ)＞0(0＜χ＜a)．于是由φ(a)＞0，故．知识点解析：暂无解析19、计算二重积，其中积分区域D＝{χ，y)｜0≤χ2≤y≤χ≤1}标准答案：知识点解析：暂无解析20、设u＝f(χ2＋y2，χy)，由eχ＋ey＝ez确定，其中f二阶连续可偏导，求．标准答案：由eχ＋ey＝ez得．再由u＝f(χ2＋y2，χz)得.知识点解析：暂无解析21、求微分方程y〞＋y′－2y＝χeχ＋sin2χ的通解．标准答案：特征方程为λ2＋λ－2＝0，特征值为λ1＝－2，λ2＝1，y〞＋y′－2y＝0的通解为y＝C1e-2χ＋C2eχ，设y〞＋y′－2y＝χeχ(*)y〞＋y′－2y＝sin2χ(**)令(*)的特解为y1(χ)＝(aχ2＋bχ)eχ，带入(*)得由y〞＋y′－2y＝sin2χ得y〞＋y′－2y＝(1－cos2χ)，显然y〞＋y′－2y＝有特解y＝－对y〞＋y′－2y＝－cos2χ，令其特解为y＝Acos2χ＋Bsin2χ，带入得，则y2＝，所以原方程的通解为知识点解析：暂无解析22、设矩阵A满足A(E－C-1B)TCT＝E＋A，其中B＝求矩阵A．标准答案：由A(E－C-1B)TCT＝E＋A得A[C(E－C-1B)]T＝E＋A，即E＋A＝A(C－B)T，E＝A[(C－B)－E]T，而(C－B)T－E．知识点解析：暂无解析23、设A为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得QTAQ＝且A*α＝α.(Ⅰ)求正交矩阵Q；(Ⅱ)求矩阵A．标准答案：(Ⅰ)显然A的特征值为λ1＝λ2＝-1，λ3＝2，A*的特征值为μ1＝μ2＝－2，μ3＝1，因为α为A*的属于特征值μ3＝1的特征向量，所以α是A的属于特征值λ3＝2的特征向量，令α＝α3.令A的属于特征值λ1λ2＝－1的特征向量为ξ＝，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以－χ1－χ2＋χ3＝0，则A的属于特征值λ1＝λ2＝－1的线性无关的特征向量为.知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)=(1+x2)x2一1，，则z→0时f(x)是g(x)的()．A、高阶无穷小B、低价无穷小C、同阶的非等价无穷小D、等价无穷小标准答案：B知识点解析：归结为求极限．用等价无穷小代换和洛必达法则求之．解一因分母为x的(2+1)×2=6阶无穷小量，而分子为x的4阶无穷小量，因而f(x)是g(x)的低阶无穷小．解二故f(x)为g(x)的低阶无穷小．解三f(x)～x4(x→0)，g(x)为(2+1)×2=6阶无穷小量(x→0)．显然，f(x)为g(x)的低阶无穷小．2、曲线r=aebθ(a＞0，b＞0)，从θ=0到θ=β(β＞0)的一段弧长为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：利用弧长的计算公式计算．解一解二令则其弧长公式为3、设f(x)，g(x)在点x=0的某邻域内连续．当f(x)具有一阶连续导数，满足时，则()．A、x=0为f(x)的极小值点B、x=0为f(x)的极大值点C、(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点D、x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由题设易知f′(0)=0．为判断x=0的性质，只好考察x=0的附近f″(x)是否改变符号，如改变符号，(0，f(0))为拐点．解由有于是可见在x=0的左、右两侧f″(x)变号．因此(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点．4、设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则()．A、当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B、当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C、当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数D、当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数标准答案：A知识点解析：利用f(x)的所有原函数的性质判别．f(x)的所有原函数可写为它有下述常用的性质：(1)若f(x)是奇函数，则必为偶函数；(2)若f(x)为偶函数，则只有当c=0时，才为奇函数；(3)若f(x)为周期函数，则存在常数T，使得对任意x，有f(x+T)=f(x)，而即只有时，F(x)才是周期函数；(4)若f(x)为单调增函数，对任意x1，x2，不妨设x1＜x2，有f(x1)＜f(x2)，而要想F(x)是单调增函数，则应有，而由x1，x2的任意性，且设x1＜x2时，必须有f(x)＞0才行．解一设若f(x)为奇函数，则f(一x)=一f(x)，故F(x)为偶函数．解二令，则可排除(B)；令f(x)=1，F(x)=x，则可排除(C)；令f(x)=x，，则可排除(D)；5、设，其中f(t)是连续函数，则等于()．A、a2B、a2f(a)C、0D、不存在标准答案：A知识点解析：先求出F(x)中因子x2的极限，再用洛必达法则去掉积分号，求出极限．也可用洛必达法则直接求之．解一解二6、设，f(0)=1，则f(π)=()．A、一3B、0C、2D、3标准答案：D知识点解析：注意到被积函数含有导函数，应先利用分部积分法求出定积分．有人可能认为算不出来，但不要急，在计算过程中也可能产生这一项，因而它会自动消失．解即f(π)=4一f(0)=4—1=3．7、设0是矩阵的特征值，则a=()．A、0B、1C、2D、37标准答案：D知识点解析：由题设知，∣A∣=0，由此确定a．解因0是A的特征值，则∣A∣=0，而∣A∣=2a+0+0一2—72—0=2a一74．故2a一74=0，所以a=37．8、设A，B均为n阶方阵，且A为可逆矩阵，B为不可逆矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则()．A、A*+B*必为可逆矩阵B、A*+B*必为不可逆矩阵C、A*B*必为可逆矩阵D、A*B*必为不可逆矩阵标准答案：D知识点解析：可利用A*的秩与A的秩的关系判别．当A为满秩矩阵(或为列满秩矩阵)时，还可利用秩(AB)=秩(B)，简易判别．解一因A为可逆矩阵，故秩(A)=n，因而秩(A*)=n，而B为不可逆矩阵，故秩(B)≤n一1，从而秩(B*)≤1．于是秩(A*B*)一秩(B*)≤1，故A*B*必为不可逆矩阵．解二用反证法证之．如A*B*可逆，由题设又知A可逆，则A*=∣A∣A-1可逆．(A*)-1存在，则(A*)-1(A*B*)为两个可逆矩阵的乘积，故也可逆，即(A*)-1A*B=[(A*)-1A*]B*=B*可逆，进而B可逆．这与题设矛盾，故A*B*不可逆．解三用排错法确定选项．设则A可逆，B不可逆，易求得则不可逆，且也不可逆．因而(A)、(C)都不对．如令因，故A*+B*可逆，(B)也不对．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、已知，则a=_______．标准答案：一2知识点解析：高阶无穷小在求极限的过程中可去掉，而且不影响所求极限的值．解因分子、分母去掉高阶无穷小，得到故a=一2．10、曲线的渐近线方程是_______．标准答案：知识点解析：按照水平渐近线的定义求之．解，曲线的水平渐近线为而故当x→3时，函数y不趋向无穷大，同法可得当x→4时，y也不趋向无穷大．y无铅直渐近线，也无斜渐近线，y的水平渐近线为11、设函数f(x)在x=1处连续，且，则f′(1)=_______．标准答案：1／2知识点解析：用导数定义求之．解一因故．又函数在x=1处连续，故f(1)=0，于是故f′(1)=1／2．解二=2·(1／4)=1／2．12、标准答案：e知识点解析：先用洛必达法则去掉分子、分母的积分号，再按幂指函数求其极限的方法求之．解或13、标准答案：知识点解析：先画出积分区域，如下图阴影部分所示．然后调换积分次序(先对y后对x)计算．这是因为被积函数为直接对x积分是无法求出结果的．解交换积分次序(先对y后对x)计算，得到：14、设A为三阶方阵，B为四阶方阵，且A的三个特征值分别为1，2，3，B2=0，则矩阵的非零特征值为_______．标准答案：5，7，13知识点解析：幂零矩阵(Ak=0)(k≥2)的特征值全为0，关键是由A的特征值求出2A*+E的特征值，从而求出的非零特征值．解矩阵的特征值由2A*+E与B的特征值组成．由B2=O知，B的特征值为0．而2A*+E的特征值为，其中λi(i=1，2，3)为A的特征值，故∣A∣=λ1λ2λ3=6．于是2A*+E的三个特征值为又因B的特征值全为0，故的非零特征值为5，7，13．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设函数f(x)处处连续，并满足关系式求标准答案：利用幂指函数极限的简便求法求之，也可利用重要极限求之．解一因故注意到，有所以由得到又f(x)连续，故解二利用重要极限求之．因故于是由得到于是故因此．而f连续，故知识点解析：暂无解析16、求，其中b＞a＞0．标准答案：极限式可化为n项的积和式，因而可用定积分的定义求之．解一解二知识点解析：暂无解析17、设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且试证：(Ⅰ)存在，使f(η)=η；(Ⅱ)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f′(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1．标准答案：(Ⅰ)只需作出辅助函数φ(x)=f(x)一x，利用介值定理证之；(Ⅱ)对于中值等式f′(ξ)一λf(ξ)=0，常作辅助函数F(x)一f(x)e-λx证之．将待证等式右边的1看成ξ′，则待证等式可化为f′(ξ)一ξ′一λ[f(ξ)一ξ]=[f(ξ)一ξ]′一λ[f(ξ)一ξ]．于是易想到作辅助函数F(x)=e-λx[f(x)一x]，利用罗尔定理证之．证(Ⅰ)令φ(x)=f(x)一x．则φ(x)在[0，1]上连续，又故由介值定理知，存在，使得φ(η)一f(η)一η=0，即f(η)=η．(Ⅱ)设F(x)=e-λxφ(x)=e-λx[f(x)一x]，则F(x)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且F(0)=0，F(η)=e-ληφ(η)=0，即F(x)在[0，η]上满足罗尔定理的条件，故存在ξ∈(0，η)，使得F′(ξ)=0，即e-λξ{f′(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]一1)=0，从而f′(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1．知识点解析：暂无解析18、(Ⅰ)证明(Ⅱ)设f(x)是[a，b]上的正值连续函数，证明其中D={(x，y)∣a≤x≤b，a≤y≤b}．标准答案：(Ⅰ)注意到f(x)=ex的图形是凹的，可试用下述定义证之．设f(x)在(a，b)内连续，对任意x1，x2∈(a，b)，都有则称f(x)在(a，b)内的图形是凹的(或凹弧)．(Ⅱ)注意到积分区域D为正方形，有轮换对称性，利用此性质及f2(x)+g2(x)≥2f(x)g(x)可证待证不等式．证(Ⅰ)令f(x)=ex，则f′(x)=f″(x)=ex＞0．因而y=f(x)的图形是凹的，由其定义得到(Ⅱ)因积分区域D为正方形：a≤x≤b，a≤y≤b，关于x与y具有轮换对称性，所以从而知识点解析：暂无解析19、设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，且满足λ∈(0，1)为常数．求证：在(0，1)内至少存在一点ξ，使f′(ξ)=一f(ξ)／ξ．标准答案：利用积分中值定理，存在ξ1∈(0，λ)，使f(1)=ξ1f(ξ1)．如果令F(x)=xf(x)，则F(1)=f(1)=ξ1f(ξ1)=F(ξ1)，即F(x)在x=1，x=ξ1两点处函数值相等，故可对F(x)在(ξ1，1)内使用罗尔定理．证令F(x)=xf(x)，显然F(x)在[0，1]上可微．应用积分中值定理得又F(ξ1)=ξ1f(ξ1)，则F(ξ1)=F(1)．于是对F(x)在[ξ1，1]上应用罗尔定理知，至少存在，使得F′(ξ)=ξf′(ξ)+f(ξ)=0，即知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[a，b]上可导，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f′(a)f′(b)＞0．试证：(Ⅰ)存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0；(Ⅱ)存在η∈(a，b)，使f″(η)=f(η)．标准答案：利用极限的保号性及介值定理易证(Ⅰ)．对(Ⅱ)可先作辅助函数ψ(x)=exf(x)．令其导数等于0，可产生ex[f′(x)+f(x)]=0，即f′(x)+f(x)=0．再作辅助函数F(x)=e-x[f(x)+f′(x)]证之．证(Ⅰ)由f′(a)f′(b)＞0知，f′(a)与f′(b)同号，不妨设f′(a)＞0，f′(b)＞0，则又由极限的保号性知，存在x1∈(a，a+δ1)，使得f(x1)＞0；同理存在x2∈(b一δ2，b)，使得f(x2)＜0．由连续函数的介值定理(零点定理)知，存在，使得f(ξ)=0．(Ⅱ)令ψ(x)=exf(x)，则ψ(a)=ψ(ξ)=ψ(b)．由罗尔定理知，存在ξ1∈(a，ξ)，使ψ′(ξ1)=[exf(x)]′∣x=ξ1=0，即f(ξ1)+f′(ξ1)=0．同理，存在ξ2∈(ξ，b)，使ψ′(ξ2)=eξ2[f(ξ2)+f′(ξ2)]=0，即f(ξ2)+f′(ξ2)=0．再令F(x)=e-x(f(x)+f′(x))，则F(ξ1)=F(ξ2)=0．对F(x)在[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理知，存在使得F′(x)∣x=η={一e-x[f(x)+f′(x)]+e-x[f′(x)+f″(x)])x=η=e-x[f″(x)一f(x)]∣x=η=0，即F′(η)=e-η[f″(η)一f(η)]=0，亦即f″(η)=f(η)．知识点解析：暂无解析21、证明：若f(x)，g(x)都是可微函数，且z≥a时，∣f′(x)∣≤g′(x)，则当x≥a时，∣f(x)―f(a)∣≤g(x)―g(a)．标准答案：为证g(x)一g(a)≥f(x)一f(a)，即证g(x)一f(x)≥g(a)一f(a)．需作辅助函数φ(x)=g(x)一f(x)，对φ(x)在[a，x]上使用拉格朗日中值定理．为证一[g(x)一g(a)]≤f(x)一f(a)，即证f(x)+g(x)≥f(a)+g(a)．需作辅助函数ψ(x)=f(x)+g(x)，对ψ(x)在[a，x]上使用拉格朗日中值定理．证令φ(x)=g(x)一f(x)，由拉格朗日中值定理得φ(x)一φ(a)=φ′(ξ)(x一a)，a＜ξ＜x．当x≥a时，由于∣f′(x)∣≤g′(x)，则一g′(x)≤f′(x)≤g′(x)，于是φ′(ξ)=g′(ξ)一f′(ξ)≥0．所以当x≥a时，φ(x)一φ(a)≥0，即g(x)一f(x)一[g(a)一f(a)]≥0，则g(x)一g(a)≥f(x)一f(a)(x≥a)．①又令ψ(x)=g(x)+f(x)，由拉格朗日中值定理得ψ(x)一ψ(a)=ψ′(ξ)(x一a)，a＜ξ＜x．当x≥a时，由于∣f′(x)∣≤g′(x)，则f′(x)+g′(x)≥0，于是ψ′(ξ)≥0．故当x≥a时，ψ(x)一ψ(a)≥0，即g(x)+f(x)一[g(a)+f(a)]≥0．所以，当x≥a时，g(x)一g(a)≥一[f(x)一f(a)]，即f(x)一f(a)≥一[g(x)一g(a)]．②综合式①、式②得∣f(x)一f(a)∣≤g(x)一g(a)．知识点解析：暂无解析22、已知向量组(Ⅰ)能由向量组(Ⅱ)线性表出，且秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)，证明向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价．标准答案：设秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)=r，且设组(Ⅰ)和组(Ⅱ)的极大线性无关组分别为α1，α2，…αr；β1，β2，…，βr，归结证明α1，α2，…，αr与β1，β2，…，βr等价．可用两种方法证之．一种方法是作向量组(Ⅲ)：α1，α2，…，αr，β1，β2，…，βr证明α1，α2，…，αr与β1，β2，…，βr均为组(Ⅲ)的极大线性无关组，从而α1，α2，…，αr与β1，β2，…，βr等价．另一种方法是用矩阵表示法，令(α1，α2，…，αr)=(β1，β2，…，βr)A，其中A为r阶矩阵．因α1，α2，…，αr与β1，β2，…，βr都线性无关，故A可逆，从而(β1，β2，…，βr)=(α1，α2，…，αr)A-1．于是β1，β2，…，βr可由α1，α2，…，αr线性表出．当然，α1，α2，…，αr也可由β1，β2，…，βr线性表示，所以α1，α2，…，αr与β1，β2，…，βr等价，故组(Ⅰ)与组(Ⅱ)等价．证一设秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)=r，且α1，α2，…，αr与β1，β2，…，βr分别为组(Ⅰ)和组(Ⅱ)的极大线性无关组．作向量组(Ⅲ)：α1，α2，…，αr，β1，β2，…，βr．下证α1，α2，…，αr与β1，β2，…，βr均为组(Ⅲ)的极大线性无关组．因组(Ⅰ)能由组(Ⅱ)线性表出，故α1，α2，…，αr也能由β1，β2，…，βr线性表出，从而组(Ⅲ)能由β1，β2，…，βr线性表出，又β1，β2，…．βr线性无关，故β1，β2，…，βr为组(Ⅲ)的一个极大线性无关组，从而秩(Ⅲ)=r，所以组(Ⅲ)中的r个线性无关的向量组也是组(Ⅲ)的一个极大线性无关组，又因同一向量组中的极大线性无关组必等价，故α1，α2，…，αr与β1，β2，…，βr等价．显然组(Ⅰ)与α1，α2，…，αr等价，组(Ⅱ)与β1，β2，…，βr等价，故组(Ⅰ)与组(Ⅱ)必等价(等价的传递性)．证二因组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表示，故α1，α2，…，αr可由β1，β2，…，βr线性表示，于是存在r阶矩阵A，使(α1，α2，…，αr)=(β1，β2，…，βr)A．利用下述命题：设α1，α2，…，αr和β1，β2，…，βr(r≤n)都是n维向量，如果β1，β2，…，βr线性无关且(α1，α2，…，αr)=(β1，β2，…，βr)A，其中A为r阶矩阵，则α1，α2，…，αr线性无关的充分必要条件是A为可逆矩阵．可知，A为可逆矩阵，且(β1，β2，…，βr)=(α1，α2，…，αr)A—1．则β1，β2，…，βr可由α1，α2，…，αr线性表出，由等价的定义知α1，α2，…，αr与β1，β2，…，βr等价．又组(Ⅰ)与α1，α2，…，αr等价，组(Ⅱ)与β1，β2，…，βr，等价，由等价的传递性得到组(Ⅰ)与组(Ⅱ)等价．知识点解析：暂无解析23、若三阶方阵，试求秩(A)．标准答案：可用秩的定义分别讨论a的不同取值时秩(A)的大小，也可用初等变换法讨论之．解一当a≠1且a≠一2时，∣A∣≠0，有秩(A)=3．当a=1时，∣A∣=0，且，有秩(A)=1．当a=一2时，∣A∣=0，且，有二阶子式，故秩(A)=2．解二因初等变换不改变矩阵的秩，所以(1)当a≠1且a≠一2时，秩(B)=3=秩(A)；(2)当a=1时，秩(B)=1，故秩(A)=1；(3)当a=一2时，秩(B)=2=秩(A)．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(χ)＝，χ≠0，若f(χ)在χ＝0出可导数不为零，则k为().A、3B、4C、5D、6标准答案：C知识点解析：因为f(χ)在χ＝0处可导，所以k－2＝3，即k＝5，选C.2、曲线y＝的渐近线条数为()．A、3条B、2条C、1条D、0条标准答案：A知识点解析：＝∞，所以曲线y＝无水平渐近线；因为＝∞，所以χ＝0为曲线y＝的铅直渐近线．又因为＝∞，所以χ＝1为曲线y＝的铅直渐近线；因为，所以曲线的斜渐近线为y＝χ＋2，故曲线有3条渐沂线，故选A．3、设函数F(χ)是连续且单调增加的奇函数，φ(χ)＝∫0χ(2u－χ)f(χ－u)du，则φ(χ)是()．A、单调增加的奇函数B、单调减少的奇函数C、单调增加的偶函数D、单调减少的偶函数标准答案：B知识点解析：所以φ(χ)为奇函数；又φ′f(χ)＝∫0χf(t)dt－χf(χ)，当χ＞0时，φ′(χ)∫0χf(t)dt－χf(χ)＝χ[f(ξ)－f(χ)]≤0(≤0ξ≤χ)当χ≤0时，φ′(χ)∫0χf(t)dt－χf(χ)＝χ[f(ξ)－f(χ)]≤0(≤χξ≤0)所以φ（χ）为单调减少的奇函数，故选B．4、设函数f(χ)具有一阶导数，下述结论中正确的是()．A、若f(χ)只有一个零点，则f′(χ)必至少有两个零点B、若f′(χ)至少有一个零点，则f(χ)必至少有两个零点C、若f(χ)没有零点，则f′(χ)至少有一个零点D、若f′(χ)没有零点，则f(χ)至多有一个零点标准答案：D知识点解析：若f(χ)至少有两个零点，根据罗尔定理，f′(χ)至少有一个零点，故若f′(χ)没有零点，则f(χ)至多一个零点，选D．5、设f(χ，y)在(0，0)处连续，且＝4，则()．A、f(χ，y)在(0，0)处不可偏导B、f(χ，y)在(0，0)处可偏导但不可微C、f′χ(0，0)＝f′y(0，0)＝4且f(χ，y)在(0，0)处可微分D、f′χ(0，0)＝f′y(0，0)＝0且f(χ，y)在(0，0)处可微分标准答案：D知识点解析：由＝4得f(0，0)＝,1，因为－1~χ2＋y2，所以＝4＋α，其中α为当(χ，y)→(0，0)时的无穷小，于是△f＝f(χ，y)－f(0，0)＝0×χ＋0×y＋o()，故f(χ，y)在(0，0)处可微，且f′χ(0，0)＝f′y(0，0)＝0，选D．6、设函数y＝f(χ)的增量函数，且f(0)＝π，则f(－1)为()．A、B、πeπC、πD、πe-π标准答案：C知识点解析：由△y＝＋o(△χ)得y＝f(χ)为可导函数，且，则y＝f(χ)＝，因为f(0)＝π，所以C＝π，于是f(χ)＝πearctanχ故f(－1)＝π，选C．7、设A为m×n矩阵，且r(A)＝m＜n，则下列结论正确的是()．A、A的任意m阶子式都不等于零B、A的任m个列向量线性无关C、方程组AX＝b一定有无数个解D、矩阵A经过初等行变换化为()标准答案：C知识点解析：因为A与都是m行，所以r(A)一r()＝m＜n，所以方程组AX＝b一定有无数个解，选C．8、设α，β为四维非零的正交向量，且A＝αβT，则A的线性无关的特征向量个数为()．A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：令AX＝λX，则A2X＝λ2X，因为α，β正交，所以αTβ＝βTα＝0，A2＝αβT.αβT＝0，于是λ2X＝0，故λ1＝λ2＝λ3＝λ4＝0，因为α，β为非零向量，所以A为非零矩阵，故r(A)≥1；又r(A)＝r(αβT)≤r(α)＝1，所以r(A)＝1．因为4－r(OE－A)＝4－r(A)＝3．所以A的线性无关的特征向量是3个，选C．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、极限＝________．标准答案：知识点解析：令则10、设f(χ)二阶可导且满足∫0χt2f(t)dt＝χ3＋f(χ)，则f(χ)＝________．标准答案：知识点解析：对∫0χt2f(t)dt＝χ3＋f(χ)两边求导得χ2f(χ)＝3χ2＋f′(χ)，整理得f′(χ)－χ2f(χ)＝－3χ2，解得f(χ)＝当χ＝0时，f(χ)＝0，于是C＝－3，故f(χ)＝－3＋3．11、＝．标准答案：知识点解析：.12、y＝y(χ)由＝_______．标准答案：2(e-2－e-1)知识点解析：当t＝0时，χ＝0,y＝－1，＝2t－1，由tey＋y＋1＝0，得ey＋tey＝0，解得.于是.13、若f(χ)＝2nχ(1－χ)n，记＝________．标准答案：知识点解析：令f′(χ)＝2n(1－χ)n－2n2χ(1－χ)n-1＝0，得χ＝，由f(0)＝f(1)＝0，得.14、设，且ABAT＝E＋BAT，则B＝_______．标准答案：知识点解析：由ABAT＝E＋2BAT，得ABAT＝(AT)-1AT＋2BAT，因为AT可逆，所以AB＝(AT)-1＋2B或B＝(A－2E)-1(AT)-1＝[AT(A－2E)]-1，解得．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、计算极限．标准答案：当χ→0时，1－，则.知识点解析：暂无解析16、设u＝f(χ＋y，χ－y，z)由z＝p(t)dt确定z为χ，y的函数，又f连续可偏导，P可导，且P(y＋z)－P(χ＋z)－1≠0，求．标准答案：将u＝f(χ＋y，χ－y，z)及z＝p(t)dt两边对χ求偏导得.知识点解析：暂无解析17、设f(χ)在[0，2]上二阶可导，且f〞(χ)<0，f′(0)＝1，f′(2)＝－1，f(0)＝f(2)＝1．证明：2≤∫02(χ)dχ≤3．标准答案：首先f〞(χ)＜0，所以f(χ)在(0，2)内不可能取到最小值，从而f(0)＝f(2)＝1为最小值，故f(χ)≥1∈[0，2])，从而∫02f(χ)dχ≥0．知识点解析：暂无解析18、设抛物线y＝χ2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A((a，a2)(a＞0)．(1)求S＝S(a)的表达式；(Ⅱ)当a取何值时，面积S(a)最小?标准答案：(Ⅰ)设另一个切点为(χ0，χ02)，则抛物线y＝χ2的两条切线分别为L1：y＝2aχ－a2，L2：y＝2χ0χ－02.因为L1⊥L2，所以χ0＝－，两条切线L1，L2的交点为χ1＝，y1＝aχ0，L1，L2及抛物线y＝χ2所围成的面积为．因为当a∈(0，)时，S′(a)＜0，当a＞时，S′(a)＞0，所以当a＝时，面积S(a)取最小值．知识点解析：暂无解析19、计算二重积分dχdy。其中D是由y＝－a＋(a＞0)及y＝－χ所围成的区域．标准答案：令其中－≤θ≤0，0≤r≤一2asinθ，则知识点解析：暂无解析20、讨论，在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性．标准答案：因为＝0，所以f(χ，y)＝0＝f(0，0)，即函数f(χ，y)在点(0，0)处连续.因为＝0，所以f′χ(0，0)＝0，根据对称性得f′y(0，0)＝0，即函数f(χ，y)在(0，0)处可偏导.因为不存在，所以函数f(χ，y)在(0，0)处不可微.知识点解析：暂无解析21、设曲线y＝y(χ)(χ＞0)是微分方程2y〞＋y′－y＝(4－6χ)e-χ的一个特解，此曲线经过原点且在原点处的切线平行于χ轴．(Ⅰ)求曲线y＝y(χ)的表达式；(Ⅱ)求曲线y＝y(χ)到χ轴的最大距离；(Ⅲ)计算积分∫0＋∞y(χ)dχ．标准答案：(Ⅰ)微分方程的特征方程为2λ2＋λ－1＝0特征值为λ1＝－1，λ2＝则微分方程2y〞＋y′－y＝0的通解为y＝C1e-χ＋C2令非齐次线性微分方稗2y〞＋y′－y＝(4－6χ)e-χ的特解为y0(χ)＝χ(aχ＋b)e-χ，代人原方程得a＝1，b＝0，故原方程的特解为y0(χ)＝χ2e-χ，原方程的通解为．由初始条件y(0)＝y′(0)＝0得C1＝C2＝0，故y＝χ2e-χ．(Ⅱ)曲线y＝χ2e-χ到χ轴的距离为d＝χ2e-χ，令d′＝2χe-χ－χ2e-χ＝χ(2－χ)e-χ＝0.得χ＝2.当χ∈(0，2)时，d′＞0；当χ＞2时，d′＜0，则χ＝2为d＝χ2e-χ的最大值点，最大距离为d(2)＝．(Ⅲ)∫0＋∞y(χ)dχ＝∫0＋∞χ2e-χdχ＝2．知识点解析：暂无解析22、设非齐次线性方程组有三个线性无关解α1，α2，α3，(Ⅰ)证明系数矩阵的秩r(A)＝2；(Ⅱ)求常数a，b及通解．标准答案：(Ⅰ)令r(A)＝r，因为系数矩阵至少有两行不成比例，所以f(A)≥2.α1－α2，α1－α3为对应的齐次线性方程组的两个解．令k1(α1－α2)＋k2(α1－α3)＝0，即(k1＋k2)α1－k1α2－k2α3＝0．因为α1，α2，3线性无关，所以k1＝k2＝0，即α1－α2，α1－α3线性无关，于是对应的齐次线件方程绢的基础解系至少含两个线性无关解向量，即4－r≥2或r≤2，故r(A)＝2．解得a＝2，b＝－3，于是通解为知识点解析：暂无解析23、设ξ1＝为矩阵A＝的一个特征向量．(I)求常数a，b及ξ1所对应的特征值；(Ⅱ)矩阵A可否相似对角化?若A可对角化，对A进行相似对角化；若A不可对角化，说明理由．标准答案：(Ⅰ)根据特征值特征向量的定义，有Aξ1＝λξ1，即，于是有解得a＝1，b＝1，λ＝3，则A＝(Ⅱ)由｜λE－A｜＝0，得λ1＝λ2＝2，λ3＝3.2E－A＝，因为r(2E－A)＝2，所以A不可对角化.知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第6套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(χ)＝则f(χ)在χ＝0处()A、不存在极限B、存在极限但不连续C、连续但不可导D、可导标准答案：D知识点解析：＝f(0)，所以选项A和B均错．所以f(χ)在χ＝0处可导，选D．2、设α(χ)＝ln(1＋t)dt，β(χ)＝χ5＋7χ7，γ(χ)＝arctanχ－arcsinχ，当χ→0时，按照前面一个比后面一个为高阶无穷小的排列次序为()A、α，β，γB、β，α，γC、γ，α，βD、α，γ，β标准答案：A知识点解析：所以当k＝6时，上述极限存在且不为零．故知：χ→0时α(χ)与χ6是同阶无穷小．所以当k＝5时，此极限存在且不为零．故知：χ→0时β(χ)与χ6是同阶无穷小．所以当k＝3时，存在且不为零．故知：χ→0时γ(χ)与χ3是同阶无穷小．所以选A．3、f(χ)＝｜χ3－4χ｜的不可导点的个数为()A、0B、1C、2D、3标准答案：C知识点解析：f(χ)＝｜χ(χ－2)(χ＋2)｜f(χ)的不可导点应该从使｜χ(χ－2)(χ＋2)｜＝0的点去考虑．取χ＝0，χ＝2，χ＝－2讨论之．所以f(χ)在χ＝0处不可导．同理f(χ)在χ＝2处也不可导．所以f(χ)在χ＝－2处可导．所以f(χ)共有2个不可导点，故选C．4、设f(χ)可导且f′(χ)＞0，并设F(χ)＝∫0χ2uf(u)du－χ∫0χf(u)du，则()A、F(0)是F(χ)的极大值B、F(0)是F(χ)的极小值C、曲线y＝F(χ)在点(0，0)的左侧是凸的，右侧是凹的D、曲线y＝F(χ)在点(0，0)的左侧是凹的，右侧是凸的标准答案：C知识点解析：因为F(χ)＝∫0χ2uf(u)du－χ∫0χf(u)du所以F′(χ)＝2χf(χ)－χf(χ)－∫0χf(u)du＝χf(χ)－∫0χf(u)du，所以F〞(χ)＝χf′(χ)，F′(0)＝0，F〞(0)＝0，又因为χ＜0，F〞(χ)＜0，χ＞0，F〞(χ)＞0．所以曲线y＝F(χ)在点(0，0)的左侧是凸的，右侧凹的．5、下列反常积分结论正确的是()A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：对于选项A，所以dχ＝－2ln2＋2ln2＝0至于选项B，C，D．这几个反常积分都是发散的，可以按反常积分的定义直接计算，不能乱用奇偶性质．6、设p(χ)，q(χ)，f(χ)均是χ的连续函数，y1(χ)，y2(χ)，y3(χ)是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝f(χ)的三个线性无关解，C1，C2为任意常数，则齐次方程y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝0的通解是()A、C1y1(χ)＋(C1－C2)y2(χ)＋(1－C2)y3(χ)B、(C1－C2)y1(χ)＋(C2－1)y2(χ)＋(1－C1)y3(χ)C、(C1＋C2)y1(χ)＋(C1－C2)y2(χ)＋(1－C1)y3(χ)D、C1y1(χ)＋C2y2(χ)＋(1－C1－C2)y3(χ)标准答案：B知识点解析：将选项B改写为：(C1－C2)y1(χ)＋(C2－1)y2(χ)＋(1－C1)y3(χ)＝C1[y1(χ)－y3(χ)]＋C2[y2(χ)－y1(χ)]＋[y3(χ)－y2(χ)]．因为y1(χ)，y2(χ)，y3(χ)均是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝f(χ)的解，所以y1(χ)－y3(χ)，y2(χ)－y1(χ)，y3(χ)－y2(χ)均是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝0的解，并且y1(χ)－y2(χ)与y2(χ)－y1(χ)线性无关．故B为通解．(事实上，若y1(χ)－y3(χ)与y2(χ)－y1(χ)线性相关，则存在不全为零的k1，k2使得k1[y1(χ)－y3(χ)]＋k2[y2(χ)－y1(χ)]＝0，即(k1－k2)y1(χ)＋k2y2(χ)－k1y3(χ)＝0．由于y1(χ)，y2(χ)，y3(χ)是线性无关的，故k1，k2全为零，矛盾．故y1(χ)－y3(χ)与y2(χ)－y1(χ)线性无关)．7、设A为m×n矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Aχ＝0和(Ⅱ)ATAχ＝0，必有()A、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解B、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解D、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解标准答案：A知识点解析：设α是Aχ＝0的解，即Aα＝0，则ATAα＝0，即(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解．设β是ATAχ＝0的解，则ATAB＝0．两边左乘βT得到βTATAβ＝βT0＝0，整理可得(Aβ)TAβ＝0，从而得到Aβ＝0，即(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解．8、设三元二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ的负惯性指数为q＝1，且二次型的矩阵A满足A2－A＝6E，则二