第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算（十二大题型）（讲义）（解析版）

第01讲导数的概念及其意义、导数的运算目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 202知识导图·思维引航 303考点突破·题型探究 4知识点1：导数的概念和几何意义 4知识点2：导数的运算 5解题方法总结 6题型一：导数的定义及变化率问题 6题型二：导数的运算 9题型三：在点P处的切线 11题型四：过点P的切线 13题型五：公切线问题 15题型六：已知切线或切点求参数问题 19题型七：切线的条数问题 23题型八：利用导数的几何意义求最值问题 29题型九：牛顿迭代法 38题型十：切线平行、垂直、重合问题 42题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题 47题型十二：切线斜率的取值范围问题 4904真题练习·命题洞见 5105课本典例·高考素材 5406易错分析·答题模板 55易错点：求曲线的切线方程时忽视点的位置 55答题模板：求曲线过点P的切线方程 56

考点要求考题统计考情分析（1）导数的定义（2）导数的运算（3）导数的几何意义2024年甲卷第6题，5分2024年I卷第13题，5分2023年甲卷第8题，5分2022年I卷第15题，5分2021年甲卷第13题，5分2021年I卷第7题，5分高考对本节内容的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主．复习目标：（1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数．（2）通过函数图象，理解导数的几何意义．（3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．

知识点1：导数的概念和几何意义1、概念函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．知识点诠释：①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．2、几何意义函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．3、物理意义函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．【诊断自测】设为R上的可导函数，且，则＝（

）A．2 B．－2 C．1 D．－1【答案】B【解析】因为，所以.故选：B．知识点2：导数的运算1、求导的基本公式基本初等函数导函数（为常数）2、导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：；（2）函数积的求导法则：；（3）函数商的求导法则：，则．3、复合函数求导数复合函数的导数和函数，的导数间关系为：【诊断自测】求下列函数的导数：(1)；(2)．【解析】（1）.（2）解题方法总结1、在点的切线方程切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．2、过点的切线方程设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．3、高考常考的切线方程（1）是的切线，同时是的切线，也是和的切线.（2）是的切线，是y=tanx的切线.（3）是的切线，是的切线.题型一：导数的定义及变化率问题【典例1-1】若函数在区间内可导，且，则的值为（

）A． B．C． D．0【答案】B【解析】由题意知，.故选：B【典例1-2】如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，则，得.因为，所以当时，，即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.故选：C【方法技巧】利用导数的定义，对所给函数式经过拆项、添项等变形和导数定义结构一致，然后根据导数定义求解．【变式1-1】（多选题）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】，故A错；，故B对；，由导数的定义知C对；，故D对；故选：BCD【变式1-2】（2024·上海闵行·二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（

）

A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标；D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强【答案】D【解析】设甲企业的污水排放量与时间t的关系为，乙企业的污水排放量与时间t的关系为.对于A选项，在这段时间内，甲企业的污水治理能力，乙企业的污水治理能力.由图可知，，所以,即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误；对于B选项，由图可知，在时刻的切线斜率小于在时刻的切线斜率，但两切线斜率均为负值，故在时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误；对于C选项，在时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误；对于D选项，由图可知，甲企业在，，这三段时间中，在时的差值最大，所以在时的污水治理能力最强，故D选项正确，故选：D.题型二：导数的运算【典例2-1】求下列函数的导数．(1)(2)；(3)(4).【解析】（1）（2）（3）（4）【典例2-2】已知函数满足满足；求的解析式【解析】令得：得：【方法技巧】（1）对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题．(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．【变式2-1】已知，则.【答案】【解析】因为，所以，所以，解得，故答案为:.【变式2-2】设函数，则的值为（

）A．10 B．59 C． D．0【答案】C【解析】函数的定义域为，设，则，所以所以.故选：C.【变式2-3】在等比数列中，，若函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，，所以，.因为是等比数列，且，所以，，所以，，所以，.故选：A.【变式2-4】若定义域都为R的函数及其导函数，满足对任意实数x都有，则．【答案】2024【解析】对，两边同时求导导数得，则，，，，从而．故答案为：2024【变式2-5】求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）（2）（3）（4）题型三：在点P处的切线【典例3-1】（湖南省2024届高三数学模拟试题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，的导函数，故曲线在点处的切线斜率为，则切线方程，即，故选：.【典例3-2】（2024·全国·模拟预测）已知曲线在点处的切线为，则在轴上的截距为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由得，所以直线的斜率，又，所以直线的方程为，令，得，即在轴上的截距为.故选：B【方法技巧】函数在点处的切线方程为，抓住关键．【变式3-1】曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数，可得，则且，即切线的斜率为，切点坐标为，所以切线方程为.故选：C.【变式3-2】（2024·山东济宁·三模）已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数为偶函数，当时，，则当时，，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程是，即.故选：A【变式3-3】（2024·四川·三模）已知函数，则曲线上一点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可得，即，所以，所以，，则，所以曲线上一点处的切线方程为，即.故选：C.题型四：过点P的切线【典例4-1】已知函数，直线过点且与曲线相切，则直线的斜率为（

）A．24 B．或 C．45 D．0或45【答案】B【解析】由，得，设直线与曲线相切的切点为，则在处的切线斜率为，所以，切线方程为，将点的坐标代入并整理，得，即，解得或，所以直线的斜率为24或.故选：B.【典例4-2】过点可作的斜率为1的切线，则实数.【答案】2-2ln2【解析】由，设切点的横坐标为，由，解得，故，由过点且斜率为1的切线方程：，令得：.，即.故答案为：.【方法技巧】设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．【变式4-1】曲线过点的切线方程为.【答案】或【解析】，因为点不在曲线上，所以设切线的切点是，则切线的斜率，又切线过点和，所以，所以，化简得，因为，所以或.所以，或，所以所求切线方程是或，即或.故答案为：或.【变式4-2】过点作曲线的切线，则切线方程为.【答案】【解析】设切点为，由得，则切点处的切线，因为切线过点，所以，解得，所以切线方程为即.故答案为：【变式4-3】（2024·山西吕梁·二模）若曲线在点处的切线过原点，则.【答案】【解析】因为，所以，所以在点处的切线方程为.又切线过原点，则，所以.故答案为：【变式4-4】（2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为．【答案】【解析】根据题意得，，设切点坐标为，则，所以切线的方程为，将点代入，可得，整理得，故，解得，故，即切线的斜率为．故答案为：.题型五：公切线问题【典例5-1】若直线与曲线和曲线同时相切，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设直线直线与曲线相切于，与曲线相切于点，曲线，其导数，则有，则在点处切线的方程为，即，曲线，其导数，则有，则在处切线的方程为，即，则有，则有，又由，则有，则，则；故选：A．【典例5-2】（2024·湖南长沙·一模）若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解题思路】设出两个切点，根据导数几何意义得，，再利用函数的单调性得到，最后代入计算即可.【解析】设直线与曲线相切于点，因为直线与曲线相切于点，设，，且直线过定点，则，且，所以，设，则，则，且直线过定点，则，所以，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，且，当时，，且，所以当时，，因为，，即，所以，，所以，故.故选：A.【方法技巧】公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．【变式5-1】（2024·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】两个函数求导分别为，设，图象上的切点分别为，，则过这两点处的切线方程分别为，，则，，所以，设，，，令，所以，所以在上单调递增，且，则在上单调递减，在上单调递增，所以，.故选：B.【变式5-2】（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【解析】依题意得，设直线的方程为，由直线和圆相切可得，，解得，当时，和相切，设切点为，根据导数的几何意义，，又切点同时在直线和曲线上，即，解得，即和相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位，和仍会保持相切状态，即时，，综上所述，或.故选：A【变式5-3】若存在直线，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足，则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数，，若和存在唯一的“隔离直线”，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当与相切时，只有唯一的“隔离直线”，且“隔离直线”为公切线.设切点为，则即所以.故选：D.【变式5-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设与曲线相切于点，与相切于点，由，可得的斜率，所以①，又由，可得，所以，即②，又因为③，将②③代入①中，可得，由③易知，,则④，将④代入③，可得，则，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增．所以，当且仅当时取等号，故，可得，所以，所以的方程为，即．故选：B．题型六：已知切线或切点求参数问题【典例6-1】若直线与曲线相切，则实数（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设切点为，由可得，则，所以，解得，即..故选：D.【典例6-2】（2024·全国·模拟预测）若直线与曲线相切，则的最小值为（

）A． B．－2 C．－1 D．0【答案】C【解析】设切点坐标为．由已知，得，则，解得．又切点在切线与曲线上，所以，所以．令，则．令，解得．当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减．所以，即，所以，则的最小值为－1．故选：C．【方法技巧】已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上．【变式6-1】已知直线与函数的图象相切，则的最小值为．【答案】/【解析】设切点为，，所以切线的斜率，则切线方程为，即，故，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即的最小值为.故答案为：【变式6-2】（2024·重庆·模拟预测）已知直线与曲线相切于点，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，∴．又∵切点在直线上，∴，解得．∴．令，则，，令，解得：；令，解得：；可得在上单调递增，在上单调递减，时，，时，，当趋近负无穷时，趋近，；，故的取值范围为．故选：B．【变式6-3】已知函数，若曲线在处的切线方程为，则．【答案】【解析】函数，，若曲线在处的切线方程为，则切点坐标为，切线斜率，则有，解得，所以．故答案为：.【变式6-4】（2024·四川·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则．【答案】2【解析】设切点坐标为，对函数求导得，则切线斜率，得，所以，且，则，即．故答案为：2.【变式6-5】对给定的实数，总存在两个实数，使直线与曲线相切，则的取值范围为.【答案】【解析】由得，设切点坐标为，则，消去可得，所以，令，则，当1时，单调递增；当时，令，则，所以在区间上单调递减，因为，所以当时，，即单调递增.因为当趋近于0时，趋近于负无穷大，当从1左边趋近于1时，趋近于正无穷大，当从1右边趋近于1时，趋近于负无穷大，当趋近于正无穷大时，趋近于0，作出的大致图象，所以若对给定的实数，总存在两个实数，使直线与曲线相切，则的取值范围为.故答案为：题型七：切线的条数问题【典例7-1】若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解题思路】设切点点，写出切线方程，将点代入切线方程得，此方程有两个不同的解，利用导数求b的范围.【解析】在曲线上任取一点，，所以曲线在点处的切线方程为.由题意可知，点在直线上，可得，令函数，则.当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以.设，所以，所以当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以，所以，所以，当时，，所以，当时，，所以，的图象如图：由题意可知，直线与的图象有两个交点，则.故选：B【典例7-2】若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设切点坐标为，，切线斜率，在点处的切线方程为：；切线过点，，过点可以作曲线的两条切线，令，则与有两个不同交点，，当时，，在上单调递增，不合题意；当时，若，则；若，则；在上单调递减，在上单调递增，，，即，又，.故选：C.【方法技巧】设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值，有多少个解对应有多少条切线．【变式7-1】（2024·内蒙古·三模）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在曲线上任取一点，对函数求导，得，所以曲线在点处的切线方程为.由题意可知，点在直线上，可得.令，则.当时，单调递减，当时，单调递增，所以，且当时，，当时，，又直线与曲线的图象有两个交点，所以的取值范围为.故选：C【变式7-2】若曲线有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，设切点为，则，所以切线方程为，又该切线过原点，所以，整理得①，因为曲线只有一条过原点的切线，所以方程①只有一个解，故，解得.故选：A【变式7-3】（2024·全国·二模）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设该切线的切点为，则切线的斜率为，所以切线方程为，又切线过点，则，整理得.要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，即函数图象与直线在R上有3个交点，设，则，令，令或，所以函数在上单调递增，在和上单调递减，且极小值、极大值分别为，如图，由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，即过点的切线有3条.所以实数a的取值范围为.故选：B.【变式7-4】已知，如果过点可作曲线的三条切线.则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设切点为，，∴切线斜率为，∴切线方程为，将代入得方程，即，由题设该方程有3个不等实根.令，，当时,,当时,,当时,,所以在上递增,在上递减,在上递增,所以在时取得极大值,在时取得极小值,由三次函数图象知,解得,因为可以推出,，所以也正确.故选：D【变式7-5】已知函数，若过点可作两条直线与曲线相切，则下列结论正确的是（

）．A． B．C．的最大值为2 D．【答案】A【解题思路】由导数几何意义切线斜率可得（），进而将问题转化为方程有两个不等的正实根，即可得范围可判断A项、B项，，，可判断C项、D项.【解析】由可得，设切点为（），则，又因为，即，整理得（），因为过点可作两条直线与函数相切，所以方程有两个不等的正实根，所以，解得，所以，故A项正确，B项错误；对于C项、D项，取，，满足，此时，，故C项、D项错误；故选：A.【变式7-6】过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由题意得，过点作曲线的两条切线，设切点坐标为，则，即，由于，故，，由题意可知，为的两个解，则，，故.故选：B【变式7-7】（2024·高三·北京海淀·期末）若关于的方程（且）有实数解，则的值可以为（

）A．10 B． C．2 D．【答案】D【解析】对比选项可知我们只需要讨论时，关于的方程的解的情况，若关于的方程（且）有实数解，即与的图像有交点，因为与互为反函数，所以与的图像关于直线对称，如图所示：设函数与直线相切，切点为，，则有，解得：，由图像可知，当时，曲线与直线有交点，即与的图像有交点，即方程有解.故选：D.题型八：利用导数的几何意义求最值问题【典例8-1】（2024·四川眉山·三模）若关于的不等式恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解题思路】将不等式化为恒成立，即的图象恒在的图象的上方，利用导数研究函数，依题意得出当直线与在点处相切时取得最大值得结果.【解析】依题意，，不等式化为，设，则，当时，单调递增；当时，单调递减，所以在处取得极大值，也即最大值，又时，，由题知不等式恒成立，所以的图象恒在的图象的上方，显然不符题意；当时，为直线的横截距，其最大值为的横截距，再令，可得，且当直线与在点处相切时，横截距取得最大值，此时，切线方程为，所以取得最大值为.故选：C.

【典例8-2】（2024·四川凉山·二模）已知点是曲线上任意一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解题思路】判断直线与曲线的位置关系，利用式子表示的几何意义，转化为点与点确定的直线同直线夹角正弦最值求解即可.【解析】依题意，，令直线，显然过点，由，得，显然，即直线与曲线相离，且，则曲线上的点在直线上方，过作于，则，而，因此，令过点的直线与曲线相切的切点为，由，求导得，则此切线斜率，解得，即切点为，而点在曲线的对称轴上，曲线在过点的两条切线所夹含原点的区域及内部，当点的坐标为时，锐角最大，最大，最大，此时，，所以的最大值为.故先：D【方法技巧】利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.【变式8-1】（2024·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，，则点在函数图象上，在函数的图象上，容易知道图象是抛物线图象的上半部分，记抛物线焦点为，过作抛物线的准线的垂线，垂足为，如图所示：则，当且仅当在线段上时，取最小值.设这时点坐标为，又，所以有，解得，即该点为，所以，因此.故选：A.【变式8-2】（2024·辽宁辽阳·一模）设曲线在点处的切线为l，P为l上一点，Q为圆上一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，则l的方程为，即，因为圆心到l的距离为，所以的最小值为.故选：A【变式8-3】（2024·宁夏银川·一模）已知实数满足，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，又，表示点与曲线上的点之间的距离；点的轨迹为，表示直线上的点与曲线上的点之间的距离；令，则，令，即，解得：或（舍），又，的最小值即为点到直线的距离，的最小值为.故选：B.【变式8-4】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为.【答案】/【解析】由，得：，.所以与互为反函数．则它们的图象关于对称．要使的距离最小，则线段垂直直线.点在曲线上，点Q在曲线上，设，.又P，Q的距离为P或Q中一个点到的最短距离的两倍．以Q点为例，Q点到直线的最短距离所以当，即时，d取得最小值，则的最小值等于.故答案为：【变式8-5】已知，则的最小值为.【答案】/【解析】设点是函数图象上的点，点是直线上的点，则可以转化为，两点之间的距离，即，所以，因为，设函数在点的切线与直线平行，则直线的斜率为1，可得，整理得，令，则，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，且当无限趋向于负无穷大时无限趋近于，，，当无限趋向于正无穷大时无限趋向于正无穷大，所以有且仅有一个零点，所以方程有且仅有一个解，则，故的最小值为点到直线的距离，即的最小值为.故答案为：.【变式8-6】（2024·高三·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为．【答案】【解析】由题意得，即圆心在上，半径为，故的最小值等于的最小值减去半径，设，由于与关于对称，的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍，由，可得，令，解得，故在点处的切线与平行，此时到的距离最小，最小值为，故的最小值为，则的最小值等于.故答案为：【变式8-7】（2024·河南·一模）记函数的图象为，作关于直线的对称曲线得到，则曲线上任意一点与曲线上任意一点之间距离的最小值为．【答案】【解析】由题意可知：，设为曲线上的一点，令过点A的切线斜率为，解得，所以，所以点A到直线的距离为，所以曲线上任意一点与曲线上任意一点之间距离的最小值为．故答案为：.【变式8-8】已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设为函数图象上任意一点，则，关于直线的对称点为，又，即点在函数的图象上，所以函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以这，两点之间距离的最小值等于点到直线距离最小值的倍，由，则，函数在点处的切线斜率为，令，解得，，所以点到直线距离的最小值为，所以这，两点之间距离的最小值为.故选：D【变式8-9】（2024·全国·模拟预测）若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】的定义域为，由函数，可得，令，可得，负值舍去，又，所以平行于直线且与曲线相切的直线与曲线的切点坐标为．点到直线的距离，即点到直线的距离的最小值为.故选：C．【变式8-10】若点，则两点间距离的最小值为.【答案】/【解析】点在直线上，点在曲线上，即求的最小值等价于求直线上的点到曲线上的点的距离的最小值，过上的点作的切线，可得，令，可得，故该切线为，则直线与的距离即为的最小值，此时，即.故答案为：.【变式8-11】实数满足，,的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】化简已知得，，即，令，原式化简为，令，则，所以在R上单调递增，又，所以有唯一零点，所以，此方程有唯一根为0，即，即，分别设与，则表示曲线上的点到直线的距离的平方，下面求上与平行的切线，因为，所以，当时，，解得：，所以切点为，所以到直线距离为：，此距离即为曲线上的点到直线的距离的最小值，所以的最小值为2.故选：C.【变式8-12】已知是曲线的一条切线，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，设切点为，则，所以切线方程为，即，所以，则，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；则.故选：B．题型九：牛顿迭代法【典例9-1】（2024·山东潍坊·三模）牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程的根就是函数的零点，取初始值的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，一直继续下去，得到，它们越来越接近．设函数，，用牛顿迭代法得到，则实数（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】，，，则在处的切线方程为，由题意得，切线过代入得，，解得，故选：D．【典例9-2】已知函数，若曲线在处的切线交轴于点，在处的切线交轴于点，依次类推，曲线在处的切线交轴于点，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，则，所以，，则函数在处的切线为，令，解得，即，同理可得曲线在处的切线方程为，令，解得，即，所以，即是以为首项，为公差的等差数列，所以，则，所以.故选：D【方法技巧】数形结合处理.【变式9-1】（2024·湖北咸宁·模拟预测）英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方法一Newton-Raphsonmethod译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线：，则与轴交点的横坐标为，称是的一次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点大小，则函数的零点一次近似值为（

）（精确到小数点后3位，参考数据：）A．2.207 B．2.208 C．2.205 D．2.204【答案】C【解析】易知在定义域上单调递增，，即函数的零点有且只有一个，且在区间上.不妨取作为初始近似值，，由题意知.故选：C.【变式9-2】（2024·北京·模拟预测）给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列．已知为的牛顿数列，，且，数列的前项和为．则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，则两边取对数可得.即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以.故选：A【变式9-3】英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列．如果函数，数列为牛顿数列，设，且，．数列的前项和为，则．【答案】/【解析】∵，∴，又∵，∴，，∴，又∴，又，且，所以，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴的前项和为，则.故答案为：.【变式9-4】令函数，对抛物线，持续实施下面牛顿切线法的步骤：在点处作抛物线的切线，交x轴于；在点处作抛物线的切线，交x轴于；在点处作抛物线的切线，交x轴于；……由此能得到一个数列随着n的不断增大，会越来越接近函数的一个零在点，因此我们可以用这种方法求零点的近似值.①设，则；②用二分法求方程在区间上的近似解，根据前4步结果比较，可以得到牛顿切线法的求解速度（快于､等于､慢于）二分法.【答案】快于【解析】，，，所以切线方程为，令，得，所以，二分法计算：，，；，；，，，用切线逼近法：，，，，<0.0625，因此牛顿切线法的求解速度快于二分法．故答案为：；快于．题型十：切线平行、垂直、重合问题【典例10-1】（2024·高三·广东深圳·期末）已知曲线与轴交于点，设经过原点的切线为，设上一点横坐标为，若直线，则所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，求导得，设直线与曲线相切的切点坐标为，则直线的斜率为，直线的方程为，由直线过原点，即，解得，依题意，直线的斜率为，而点，则直线的方程为，由消去得，显然是方程的不为零的根，令，求导得，当时，，当时，，于是函数在上单调递减，在上单调递增，，显然，即在上有唯一零点0，而，则在上有唯一零点，即，又，所以所在的区间为.故选：D【典例10-2】（2024·高三·广西·开学考试）曲线在A点处的切线与直线垂直，则切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得，，设，，则，由题意可得，直线的斜率为，所以曲线在过点处的切线的斜率为3，所以，解得，则可得切点，所以切线方程为，即.故选：D．【方法技巧】利用导数的几何意义进行转化，再利用两直线平行或重合则斜率相等，两直线垂直则斜率之积为-1.【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解题思路】根据题意知有两个不相等的正实数根，结合一元二次方程根的分布即可求得参数的范围.【解析】由题意知，因为切线与直线垂直，所以曲线在点处的切线斜率都是，即关于的方程有两个不相等的正实数根，化简得，有两个不相等的正实数根，则，解得.故选：A.【变式10-2】（2024·河北邢台·二模）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解题思路】函数在两点处的切线平行，转化为函数在两点处的导数相等，得到的关系，在结合不等式求的取值范围即可.【解析】因为，.所以，.由因为在，两个不同点处的切线相互平行，所以，又，所以，故CD错误；因为且，所以，故A不成立；当时，.故B成立.故选：B【变式10-3】已知函数，过坐标原点O作曲线的切线l，切点为A，过A且与l垂直的直线交x轴于点B，则面积的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解题思路】先设出切点，求出，根据点斜式写出切线l方程，根据切线l过原点求出切点坐标和直线l的斜率；再根据已知条件求出直线的方程，进一步求出点B坐标；最后根据三角形面积公式表示出面积，利用基本不等式求解即可.【解析】因为，所以.设切点为，则，.所以切线l方程为.因为切线l过坐标原点O，所以将代入切线方程，整理得，解得：.所以，则点，.因为直线过A且与直线l垂直，所以，则直线的方程为.令，解得，所以点B坐标为.所以.因为，当且仅当，即时，等号成立，所以.故选：D【变式10-4】已知函数的图象上存在不同的两点、，使得曲线在这两点处的切线重合，则点的横坐标的取值范围可能是（

）A．， B． C．， D．【答案】A【解题思路】方法一：设，，不妨设，利用导数的几何意义判断出，写出函数在两点处的切线方程，再根据两直线重合列式，消去，得，构造函数，由，，可求出结果.方法二：易知曲线位于分段的两个区间，且两段属于一凹一凸模型，故可以类比两圆相离时的内公切线，两区间一定属于同一单调区间，分析函数的单调区间即可得出结果.【解析】解法一：当时，的导数为；当时，的导数为，设，为该函数图象上的两点，且，当，或时，，故，当时，函数在点处的切线方程为；当时，函数在点处的切线方程为．两直线重合的充要条件是①，②，由得，由①②可得，设，由，，可得，可能；由，B不正确；由①可得，由②可得，即有，则C，D不正确．解法二：如图，易知曲线位于分段的两个区间，且两段属于一凹一凸模型，故可以类比两圆相离时的内公切线，两区间一定属于同一单调区间，时，属于单调增区间，故当时，的单调增区间为，根据图像，可以位于此区间，另一个点B所在区间，不好把握.故选：A．题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题【典例11-1】已知函数，为的导函数，则.【答案】8【解析】设，显然为奇函数，又为偶函数，所以.故答案为：8【典例11-2】（2024·海南海口·二模）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】因为是偶函数，所以函数的图象关于对称，则，当时，，，，则，，即曲线在点处切线的斜率为2.故选：C.【方法技巧】奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.【变式11-1】（2024·北京·模拟预测）记函数的最小正周期为T，为的导函数．若，为偶函数，则的最小值为（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由且，则，又，故，则，得，由为偶函数，即为偶函数，所以且，则，，当时的最小值为2.故选：B【变式11-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，为的导函数，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，得．由为奇函数可得，得，又，所以，所以，，故，故选：A.【变式11-3】（2024·全国·模拟预测）已知为奇函数，且当时，，其中为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为．【答案】【解析】由题设，当时，，故时，，所以，而，故切线方程为，即．故答案为：题型十二：切线斜率的取值范围问题【典例12-1】过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，函数，可得，因为，所以，即切线的斜率，设切线的倾斜角为，则又因为，所以或，即切线的倾斜角的范围为.故选：B.【典例12-2】（2024·广东深圳·一模）已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为．【答案】18【解析】由于，故，故，，则，由，得，由，即，知位于之间，不妨设，则，故，当且仅当，即时等号成立，故则的最小值为18，故答案为：18【方法技巧】利用导数的几何意义，求出导函数的值域，从而求出切线斜率的取值范围问题.【变式12-1】（2024·广东广州·模拟预测）已知直线恒在曲线的上方，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设直线与曲线切于点，则，所以切线方程为，所以，，所以，设，，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.故选：A.【变式12-2】点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角