2025年高考数学一轮专题复习-数列专题十二（含解析）

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）人教A版数学--数列专题十二知识点一等差数列通项公式的基本量计算,求等差数列前n项和,裂项相消法求和典例1、在①，；②；③，是与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知为等差数列的前n项和，若________．（1）求；（2）记，已知数列的前n项和，求证：随堂练习：在①是与的等比中项：②；③这三个条件中任选两个补充到下面的横线中并解答．问题：已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足______．（1）求；（2）若，求数列的前项和．注：如果选择多个组合分别作答，按第一个解答计分．典例2、在①且，②且，③正项数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题:已知数列的前项和为，且______?（1）求数列的通项公式:（2）求证：.

随堂练习：设数列的前项和为，已知，__________.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.从下列两个条件中任选一个作为已知，补充在上面问题的横线中进行求解（若两个都选，则按所写的第1个评分）：①数列是以为公差的等差数列；②.典例3、已知的前n项和为，，且满足______，现有以下条件：①；②；③请在三个条件中任选一个，补充到上述题目中的横线处，并求解下面的问题：（1）求数列的通项公式；（2）若，求的前n项和，并证明：．

随堂练习：已知等差数列与正项等比数列，满足，，.（1）求数列和的通项公式；（2）在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并完成求解.若______，求数列的前项和.（注：若多选，以选①评分）知识点二由递推关系证明数列是等差数列,错位相减法求和典例4、已知为数列的前项和,．（1）证明:数列为等比数列;（2）求数列的前项和．

随堂练习：已知数列中，，且满足.（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.典例5、已知数列的前n项和为．（1）记，证明：是等差数列，并求的通项公式；（2）记数列的前n项和为，求，并求使不等式成立的最大正整数n．

随堂练习：已知数列中，，数列的前项和为满足.（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.典例6、对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数．（1）定义在R上的函数满足：对任意，，都有，且；又数列满足．（Ⅰ）求证：是数列的母函数；（Ⅱ）求数列的前n项和．（2）已知是数列的母函数，且．若数列的前n项和为，求证：．

随堂练习：已知数列（1）令，求证：数列是等比数列；（2）若，求数列的前项和．人教A版数学--数列专题十二答案典例1、答案：（1）（2）证明见解析解：（1）选择条件①：设等差数列的公差为d，则，解得，故；选择条件②：，当时，，即，当时，，也适合上式，故；选择条件③：设等差数列的公差为，则，解得、或、（不合题意），故．（2）证明：因为，所以，故，得证.随堂练习：答案：（1）（2）解：（1）方法1：选①和③，整理得，设等差数列的公差为，则有，整理得,，解得，又由，可得，解得，故，所以，方法2：选①和②，，所以，，设等差数列的公差为，则有，化简得，解得，，则，方法3：选②和③，，可得，，设等差数列的公差为，则有，得到方程，解得，故，所以等差数列的通项公式为：.（2），典例2、答案：（1）（2）证明见解析解：（1）选择①当时，，，两式作差得：，整理得，所以为常数列，因此，所以.选择②得，两式相减得，即数列为隔项等差数列，且公差为，当时，，又，则，当为偶数时，，当为奇数时，，综合得：；选择③又，得.当时，，两式相减得：，即.又因为，所以，故为公差为1的等差数列，得.（2）证明：由（1）可得所以因为所以因此.随堂练习：答案：（1）选择①②，都有；（2）证明见解析.解：（1）若选择①数列是以为公差的等差数列，显然其首项为故，故；当时，，当时，，满足.故的通项公式为；若选择②即，整理得：故，即数列是首项为，公差为的等差数列，与选择①相同，故的通项公式为.（2）根据（1）中所求可得：，则故又，故可得.典例3、答案：（1）；（2）；证明见解析.解：（1）若选择条件①：因为，当时，，两式相减得，所以当时，当n＝1时符合，∴；若选择条件②：因为，当时，两式相减得，，∴是首项为2，公比为2的等比数列，∴；若选择条件③：∵，∴时，，两式相减得，当n＝1时，，可得，，∴时成立，∴是首项为2，公比为2的等比数列，∴；（2）由（1）可知，则，所以，因为，所以各项均为正数，所以，又因为，所以．随堂练习：答案：（1），（2）见解析解：（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，由已知得，则，解得，所以，；（2）选①，则有即.选②，则有，设数列的前项和为，，，两式相减，，解得.选③，则由，即.典例4、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）证明:由题知,,解得:故,由,可得,,两式相减可得:,,所以,,所以,,所以数列是以6为首项,2为公比的等比数列;（2）由(1)得数列是以6为首项,2为公比的等比数列,所以,故,则,设,其前n项和为,则①,②,①-②可得:,所以,所以,综上:.随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）解：（1），数列是以为首项，以5为公比的等比数列.，（2），即①，②，由①②得：，，化简得：.典例5、答案：（1）证明过程见解析，；（2）；n为5．解：（1）由，得，即，．即，又，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，；（2）由（1）知．，①，②①-②，得，，，因为所以，所以是递增数列，，使不等式成立的最大正整数n为5．随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）解：（1）当时，，；当时，，则，又满足，数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）得：，则，；，则，，.典例6、答案：（1）（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（2）证明见解析.解：（1）（Ⅰ）由题知，且．是数列的母函数；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：是首项和公差均为2的等差数列，故．①