2025年高考数学一轮专题复习-空间向量和立体几何专题十五（含解析）

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）空间向量和立体几何高考复习专题十五知识点一证明线面垂直,线面垂直证明线线垂直,线面角的向量求法典例1、如图，在三棱柱中，平面，，．（1）求证：平面；（2）记和的交点为M，点N在线段上，满足平面，求直线与平面所成角的正弦值．

随堂练习：如图，在三棱柱中，，F是的中点．（1）证明：；（2）求与平面所成角的正弦值．

典例2、在直角梯形中，，，，，M为线段中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.

随堂练习：如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，BC⊥CD，AD⊥BD，以BD为折痕把△ABD折起，使点A到达点P的位置，且PC⊥BC．（1）证明：PD⊥平面BCD；（2）若M为PB的中点，二面角P﹣BC﹣D等于60°，求直线PC与平面MCD所成角的正弦值．知识点二证明线面平行,求组合体的体积典例3、如图所示，在直三棱柱中，D是的中点．（1）证明：平面；（2）设，求三棱锥的体积．

随堂练习：已知四棱锥中，，平面，点为三等分点（靠近点），，，.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．

典例4、如图，已知在长方体中，，，点E是的中点.（1）求证：平面EBD；（2）求三棱锥的体积.

随堂练习：如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，梯形满足，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积．

典例5、如图所示，在直三棱柱中，（1）当P为的中点时，求证：平面；（2）当时，求三棱锥的体积.

随堂练习：如图，在三棱柱中，侧棱平面，，，，，点是的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．

典例6、如图，在四棱柱中，点M是线段上的一个动点，E，F分别是的中点.（1）设G为棱上的一点，问：当G在什么位置时，平面平面？（2）设三棱锥的体积为，四棱柱的体积为，求.

随堂练习：已知正三棱柱中，，是的中点.（1）求证：平面；（2）点是直线上的一点，当与平面所成的角的正切值为时，求三棱锥的体积．空间向量和立体几何高考复习专题十五答案典例1、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）证明：∵在三棱柱中，平面，因为平面，故，因为，，所以平面，∵平面，∴，因为∥，所以，因为，故四边形为菱形，故，∵，∴平面（2）由平面，平面，平面平面，故，又M为中点，故N为中点.以B为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.则，，设平面的法向量，由，得，取，又，设直线与平面所成的角大小为，则即直线与平面所成角的正弦值为.随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）解：（1）取中点为G，连接，在中，根据勾股定理可得，因此，而已知平面，∴，∴，由余弦定理可得，故,因此平面，而平面，∴．（2）由（1）得，，又平面，故以C为坐标原点，分别为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系，则：，，设平面的法向量为，则，令，可取，又，所以与平面所成角的正弦值．典例2、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）证明：在直角梯形中，，，，∴，，从而又平面平面，且平面平面∴平面，平面，∴.又，且，∴平面（2）取的中点O，连接，由题设知为等腰直角三角形，又平面平面，且平面平面，平面连接，因为M，O分别为和的中点，由（1）可知，以分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的法向量为，则，令，则设直线与平面所成角为θ，故直线与平面所成角的正弦值为.随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）解：（1）∵BC⊥CD，BC⊥PC，且PC∩CD＝C，∴BC⊥平面PCD，又∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．∵PD⊥BD，BD∩BC＝B，∴PD⊥平面BCD；（2）∵PC⊥BC，CD⊥BC，∴∠PCD是二面角P﹣BC﹣D的平面角，则∠PCD＝60°，因此，取BD的中点O，连接OM，OC，由已知可得OM，OC，OD两两互相垂直，以O为坐标原点，分别以OC，OD，OM所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OB＝1，则P（0，1，），C（1，0，0），D（0，1，0），M（0，0，），，，．设平面MCD的一个法向量为，由，取z，得．∴cos．故直线PC与平面MCD所成角的正弦值为．典例3、答案：（1）证明见解析（2）.解：（1）连，交于，则为的中点，连，因为为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为，，所以，所以，所以.随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）解：（1）取三等分点，所以，，即又因为，，，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，即平面.（2）因为为三等分点，所以，，平面，平面平面，且平面平面，过点作的垂线交延长线于，如下图所示：由线面垂直的性质有平面，所以点到平面的距离为，记，因为，，，所以，，，.即三棱锥的体积为.典例4、答案：（1）证明见解析（2）1解：（1）因为四边形ABCD为矩形，且，则O为AC的中点，又因为E为的中点，则，∵平面EBD，平面EBD，因此，平面EBD；（2）在长方体中，平面，因此，.随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）解：（1）取中点，连接，易得且，又，，则，则四边形为平行四边形，则，又平面，平面，则平面；（2）取中点，连接，则，又，则四边形为平行四边形，则，，又，，则，又平面，，则平面，又，，则.典例5、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）连接交于点，连接，因为为棱柱，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，又为的中点，所以，因为平面，平面所以∥平面..（2）因为为直棱柱，所以平面，平面，所以，又，交于C点，平面，所以平面，同理平面，又平面，所以，因为，，平面，所以平面，平面，所以在直棱柱中.，则，所以，则.所以，所以又，平面，随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）4.解：（1）证明：设与的交点为，连接，∵是的中点，是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）取的中点，连接，，直三棱柱中，平面，而平面，故，∵为的中点，∴且．又∵，，，∴平面，∴平面．∵，∴．典例6、答案：（1）G为中点时，平面平面；（2）解：（1）G为中点时，平面平面，理由如下：连接，取的中点，连接，因为E，F分别是的中点，则，平面，平面，则平面，同理可得，平面，平面，则平面，又，平面，则平面平面；（2）由F是的中点得，又，平面，平面，则平面，又点M是线段上的一个动点，则，则，则.随堂练习：答案：（1）证明见解析