2025高考总复习专项复习-圆锥曲线的方程专题一

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）人教A版数学--高考解析几何复习专题一知识点一求椭圆中的最值问题典例1、如图，椭圆的左、右焦点为，过的直线与椭圆相交于、两点.（1）若，且求椭圆的离心率.（2）若，求的最大值和最小值.

随堂练习：已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆E的离心率为，且通径长为1．（1）求E的方程；（2）直线l与E交于M，N两点（M，N在x轴的同侧），当时，求四边形面积的最大值．典例2、已知椭圆：与抛物线：有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于，两点，且.（1）求椭圆与抛物线的方程；（2）为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.

随堂练习：在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过点，且是椭圆的内接三角形.（1）若点为椭圆的上顶点，且原点为的垂心，求线段的长；（2）若点为椭圆上的一动点，且原点为的重心，求原点到直线距离的最小值.典例3、在平面直角坐标系中，已知点，，过点的动直线与过点的动直线的交点为P，，的斜率均存在且乘积为，设动点Р的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程;（2）若点M在曲线C上，过点M且垂直于OM的直线交C于另一点N，点M关于原点O的对称点为Q.直线NQ交x轴于点T，求的最大值.

随堂练习：对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆外一点，，是椭圆的两条切线，则切点A，B所在直线的方程是，可利用此结论解答下列问题．已知椭圆C：和点，过点P作椭圆C的两条切线，切点是A，B，记点A，B到直线（O是坐标原点）的距离是，．（1）当时，求线段的长；（2）求的最大值．

知识点二根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题典例4、已知椭圆的长轴长为，且经过点.（1）求C的方程；（2）过点斜率互为相反数的两条直线，分别交椭圆C于A，B两点（A，B在x轴同一侧）.求证：直线过定点，并求定点的坐标.随堂练习：已知椭圆：过点，过右焦点作轴的垂线交椭圆于，两点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）点，在椭圆上，且.证明：直线恒过定点.典例5、已知椭圆经过点，其右顶点为．（1）求椭圆的方程；（2）若点、在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，证明直线经过定点．随堂练习：已知F是椭圆的左焦点，焦距为4，且C过点．（1）求C的方程；（2）过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．典例6、已知椭圆T：经过以下四个不同点中的某三个点：，，，．（1）求椭圆T的方程；（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到椭圆E．已知M，N两点的坐标分别为，，点F是直线上的一个动点，且直线，分别交椭圆E于G，H（G，H分别异于M，N点）两点，试判断直线是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．随堂练习：已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，，为坐标原点，直线：与的两个交点和，构成一个面积为的菱形.（1）求的方程；（2）圆过，，交于点，，直线，分别交于另一点，.①求的值；②证明：直线过定点.人教A版数学--高考解析几何复习专题一答案典例1、答案：（1）；（2）最大值；最小值.解:（1），因为。所以，所以，所以（2）由于，得，则.①若垂直于轴，则，所以，所以②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为由得，方程有两个不等的实数根.设，.,=，所以当直线垂于轴时，取得最大值当直线与轴重合时，取得最小值随堂练习：答案：（1）；（2）2.解:（1）依题意可知，解得故椭圆的方程为．（2）延长交E于点，由（1）可知，设，设的方程为，由得，故．设与的距离为d，则四边形的面积为S，，又因为，当且仅当，即时，等号成立，故四边形面积的最大值为2．典例2、答案：（1）椭圆的方程为：，抛物线的方程为：；（2）最大值为1.解：（1）因为，所以不妨设的坐标为，的坐标为，所以有：，∴，，∴椭圆的方程为：，抛物线的方程为：；（2）由（1）可知：的坐标为：，设直线的方程为：，到的距离为，则，联立可得：，则，，当且仅当时取等号，故面积的最大值为1.随堂练习：答案：（1）；（2）.解：（1）设焦距为，由题意知：，因此，椭圆的方程为：；由题意知：，故轴，设，则，，，解得：或，，不重合，故，，故；（2）设中点为，直线与椭圆交于，两点，为的重心，则，当斜率不存在时，点在轴上，所以此时点在长轴的端点处由,则，则到直线的距离为1；当斜率存在时，设：，，，则，所以，所以，即也即，则，则：，，代入式子得：，设到直线的距离为，则时，；综上，原点到直线距离的最小值为.典例3、答案：（1）（2）解：（1）设点坐标为，定点，，直线与直线的斜率之积为，，（2）设，，，则，，所以又，所以，又即，则直线：，直线：，由，解得，即，所以令，则，所以因为，当且仅当即时取等号，所以的最大值为；随堂练习：答案：（1）；（2）．解:（1）当时，直线方程为，联立，得．设，，则，．则．（2）直线：，即，直线：．设，，则，记，则，法一：常规换元法令，，则，当即时取得等号，则的最大值是．法二：分离常数法，显然时不取得最大值，则，当时取得等号，则的最大值是．典例4、答案：（1）；（2）证明见解析，.解:（1）由题意得，得，所以椭圆方程为：，将代入椭圆方程得：，解得，故椭圆C的方程为（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，得.设A，B的坐标分别为，则，且，因为直线，斜率互为相反数，即，所以，则，即，即，所以，化简得，所以直线的方程为，故直线过定点随堂练习：答案：（1）（2）证明见解析解：（1）由已知得当时，，又因为椭圆过点，则，联立解得，故椭圆的标准方程为；（2）证明设点，，因为，即，即.*当直线的斜率存在时，设直线方程为.代入椭圆方程消去得，，，，根据，.代入*整理，得，结合根与系数的关系可得，.即，当时，直线方程为.过点，不符合条件.当时，直线方程为，故直线恒过定点.当直线的斜率不存在时，令点，此时，又.可得（舍去）或.当时，与点重合，与已知条件不符，∴直线的斜率一定存在，故直线恒过定点.典例5、答案：（1）（2）证明见解析解：（1）由题意可知，，将点的坐标代入椭圆的方程可得，可得，因此，椭圆的方程为.（2）证明：若轴，则点、关于轴对称，则直线与也关于轴对称，从而直线与的斜率互为相反数，不合乎题意.设直线方程为，设点、，联立，可得，，可得，由韦达定理可得，，因为，整理可得，即，化简得，即，可得或.当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意；当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意.随堂练习：答案：（1）（2）过定点，定点坐标为解：（1）依题意，由解得，所以椭圆的方程为.（2）由题意知，当其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为，此时直线为轴；当的斜率都存在且不为时，设，设，联立，整理得，，，则，所以的中点，同理由，可得的中点，则，所以直线的方程为，化简得，故直线恒过定点．综上，直线过定点.典例6、答案：（1）；（2）直线恒过定点.解:（1）由题意可得A，C一定在椭圆上，即①，若B在椭圆上，则②，由①②可得，不存在，所以D在椭圆上，可得③，由①③可得，，所以椭圆的方程为：；（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，设E上的点为：，对应的点，由题意可得，，所以，，所以E的方程，设，，，，所以直线的方程为：，直线的方程，联立直线与椭圆的方程整理可得，所以，，即，联立直线NF与椭圆的方程：整理可得，所以，即，所以直线的斜率为：，所以直线的方程为：，整理可得，当，.所以直线恒过定点．随堂练习：答案：（1）（2）①②证明见解析解：（1）因为直线：与的两个交点和，构成的四边形是菱形，所以垂直平分，所以，.设为直线与的一个交点，则菱形的面积为.因为菱形的面积为，所以，解得，即.