【专项精练】第07课 幂函数与二次函数-2024年新高考数学一轮复习分层精练（新高考专用）（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages22页第07课幂函数与二次函数（分层精练）【一层练基础】一、单选题1．（2022·全国·高一专题练习）若函数，则函数的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2022春·河南新乡·高二校考阶段练习）下列函数中，在上单调递减的是（

）A． B．C． D．3．（2022春·陕西宝鸡·高一宝鸡市渭滨中学校考阶段练习）已知函数，，则（

）A．最大值为2，最小值为1B．最大值为，最小值为1C．最大值为，最小值为1D．最大值为，最小值为4．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）若函数在上是单调减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知幂函数在上是减函数，则的值为（

）A．3 B． C．1 D．6．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象经过点与点，，，，则（

）A． B． C． D．7．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．8．（2021·河北衡水·河北衡水中学校考三模）已知，，，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．9．（2022秋·江苏连云港·高一期末）已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（）A． B． C．2 D．10．（2023·全国·高三专题练习）若幂函数满足，则下列关于函数的判断正确的是（

）A．是周期函数 B．是单调函数C．关于点对称 D．关于原点对称11．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）下列函数中，在上是增函数的是（

）A． B． C． D．12．（2021春·陕西延安·高二子长市中学校考期末）幂函数在为增函数，则的值是（

）A． B． C．或 D．或13．（2022·全国·高三专题练习）若则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．14．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数，则（

）A． B． C．8 D．9二、多选题15．（2022秋·高一单元测试）在下列四个图形中，二次函数与指数函数的图象可能是（

）A． B．C． D．16．（2023·全国·高三专题练习）函数的大致图象可能是（

）A． B．C． D．三、填空题17．（2012·江苏·高考真题）已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为．18．（2020秋·广东阳江·高一阳江市第一中学校考阶段练习）如果二次函数在区间上是减函数，那么的取值范围是.19．（2022秋·河南信阳·高一统考期中）函数是幂函数，且在上是减函数，则实数.20．（2020秋·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上为减函数，则的值为．【二层练综合】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2019·全国·高三专题练习）定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高一专题练习）函数，且与函数在同一坐标系内的图象不可能的是（

）A． B．C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足对任意的实数，且，都有成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．5．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数的值域为，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．（2022秋·宁夏中卫·高三中宁一中校考阶段练习）“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要7．（2023·广东东莞·校考模拟预测）已知函数（且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（

）A． B． C． D．8．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的幂函数（为实数）过点，记，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．9．（2010·上海徐汇·统考高考模拟）下列函数中，与幂函数有相同定义域的是（

）A．； B．； C．； D．．10．（2022秋·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习）若集合，，则（

）A． B． C． D．11．（2023·四川·校联考模拟预测）已知与都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，都不是常数函数，现有下列三个结论：①；②的图象关于直线对称；③与在上的单调性可能相同其中正确结论的个数为（

）A． B． C． D．12．（2023春·四川成都·高一校联考期末）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（

）A． B．是减函数C．是奇函数 D．是偶函数二、多选题13．（2020秋·安徽安庆·高一桐城市第八中学校考阶段练习）关于的方程，下列命题正确的有（

）A．存在实数，使得方程无实根B．存在实数，使得方程恰有2个不同的实根C．存在实数，使得方程恰有3个不同的实根D．存在实数，使得方程恰有4个不同的实根14．（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数的图象可能是（

）A． B．C． D．15．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）下列说法正确的是（

）A．函数的单调增区间为B．函数为奇函数C．幂函数是减函数D．图像关于点成中心对称16．（2023·全国·高三专题练习）若a＞b＞0＞c，则(

)A． B． C． D．三、填空题17．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数，则关于x的不等式的解集为．18．（2022秋·湖南郴州·高一安仁县第一中学校考阶段练习）若幂函数在上为增函数则．19．（2022·河南·校联考模拟预测）已知，，若对，，，则实数的取值范围是.20．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）直线：与，轴的交点分别是，，与函数，的图像的交点分别为，，若，是线段的三等分点，则的值为.21．（2017·四川绵阳·统考一模）是定义在上的偶函数，且时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是.22．（2022·高一课时练习）已知.若函数在上递减且为偶函数，则.【三层练能力】一、单选题1．（2015·陕西·高考真题）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A．是的零点 B．1是的极值点C．3是的极值 D．点在曲线上2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题3．（2022秋·重庆·高三校联考阶段练习）在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中正确的有（

）A．B．存在时，使得C．给定正整数，若，，且，则D．设方程的三个实数根为，，，并且，则三、填空题4．（2023·四川成都·校考一模）已知函数，若存在，使得，则的取值范围是．5．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式，解集为【一层练基础】参考答案1．D【分析】先利用配凑法求出的解析式，则可求出的解析式，从而可求出函数的最小值【详解】因为，所以.从而，当时，取得最小值，且最小值为.故选：D2．D【分析】根据函数单调性的性质可判断每个选项中函数在的单调性.【详解】对于A，当时，单调递增，故A错误；对于B，，故在和上单调递增，故B错误；对于C，在上单调递增，故C错误；对于D，在上单调递减，故D正确故选：D.【点睛】本题主要考查对函数单调性的判断，根据基本初等函数的复合函数单调性进行判断即可，属于基础题.3．B【分析】利用化简f(x)解析式，根据二次函数的性质即可求f(x)最值.【详解】，时，sinx∈[，1]，∴当sinx＝时，f(x)最大值为；当sinx＝1时，f(x)最小值为1.故选：B.4．A【分析】由求导公式和法则求出，由导数与函数单调性的关系，列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a的取值范围．【详解】由题意得，，因为在[1，+∞）上是单调减函数，所以≤0在[1，+∞）上恒成立，当≤0时，则在[1，+∞）上恒成立，即a，设g（x），因为x∈[1，+∞），所以∈（0，1]，当时，g（x）取到最大值是：，所以a，所以数a的取值范围是（﹣∞，]故选：A【点睛】关键点点睛：根据求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，将问题转化为恒成立问题，利用分离常数法，求函数值域，属于中档题．5．C【分析】先根据是幂函数，由求得，再根据函数在上是减函数，确定的值求解.【详解】由函数为幂函数知，，解得或.∵在上是减函数，而当时，，在是增函数，不符合题意，当时，，符合题意，∴，，∴.故选：C.6．B【分析】设幂函数，依次将点，点坐标代入，可得，结合指数函数和对数函数性质即可得到答案.【详解】设幂函数，因为点在的图象上，所以，，即，又点在的图象上，所以，则，所以，，，所以，故选：B7．D【分析】根据幂函数的定义求出函数解析式，再利用幂函数的单调性比较大小而得解.【详解】因幂函数的图象过点，则，且，于是得，，函数，函数是R上的增函数，而，则有，所以.故选：D8．A【分析】根据指对幂不等式，结合指对幂函数的性质分别求参数a的范围，再取交集即可.【详解】由，得或，由，得，由，得，∴当，，同时成立时，取交集得，故选：A.9．B【分析】先根据幂函数定义得，再确定的图像所经过的定点为，代入解得的值.【详解】由于为幂函数，则，解得：，则；函数，当时，，故的图像所经过的定点为，所以，即，解得：,故选：B.10．C【分析】由题意得，利用导数求出方程的根，进而可求出结果.【详解】由题意得，即，故，令，则，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以，因此方程有唯一解，解为，因此，所以不是周期函数，不是单调函数，关于点对称，故选：C.11．C【解析】对AB：直接判断其单调性；对C：把化为，判断其单调性；对D：利用判断的单调性.【详解】本题考查函数的单调性.A项中，函数在上单调递减，故A错误；B项中，二次函数的图像开口向下，对称轴方程为，故该函数在上单调递增，在上单调递减，故B错误；C项中，函数，在和上分别单调递增，故C正确；D项中，函数在上单调递减，故D错误.故选：C【点睛】方法点睛：四个选项互不相关的选择题，需要对各个选项一一验证.12．B【分析】由幂函数解析式的形式可构造方程求得或，分别验证两种情况下在上的单调性即可得到结果.【详解】为幂函数，，解得：或；当时，，则在上为减函数，不合题意；当时，，则在上为增函数，符合题意；综上所述：.故选：B.13．B【分析】按或0，，和四种情况，分别化简解出不等式，可得x的取值范围．【详解】①当或0时，成立；②当时，，可有，解得；③当且时，若，则，解得若，则，解得所以则原不等式的解为，故选：B14．C【分析】利用诱导公式化简函数的表达式，利用三角函数和特殊幂函数的奇偶性进行分析，可得到，进而计算得到答案.【详解】由，有，可得.故选：C15．ABD【分析】根据的关系与各图形一个个检验即可判断．【详解】当时，A正确；当时，B正确；当时，D正确；当时，无此选项．故选：ABD．16．ABD【分析】先根据当时，，时，，排除C，再举出适当的的值，分别得到ABD三个图象.【详解】由题意知，则，当时，，，，当时，，，，所以的大致图象不可能为C，而当为其他值时，A，B，D均有可能出现，不妨设，定义域为，此时A选项符合要求；当时，定义域为，且，故函数为奇函数，所以B选项符合要求，当时，定义域为，且，故函数为偶函数，所以D选项符合要求.故选：ABD17．9．【详解】∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴b－＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋a2＝2.又∵f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，∴m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得解得c＝9.18．【详解】在区间上是减函数，则，所以.19．2【分析】根据函数为幂函数求参数m，讨论所求得的m判断函数是否在上是减函数，即可确定m值.【详解】由题设，，即，解得或，当时，，此时函数在上递增，不合题意；当时，，此时函数在上递减，符合题设.综上，.故答案为：220．2【分析】由幂指数为偶数且小于可得.【详解】为偶数，且小于0，即，解得，验证得．【点睛】幂函数中，当为奇数时，函数为奇函数，当为偶数时，函数为偶函数；当时，在第一象限内函数为增函数，当时，在第一象限内函数为减函数.【二层练综合】参考答案1．D【分析】求出函数在时值的集合，函数在时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.【详解】当时，在上单调递增，，，则在上值的集合是，当时，，，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，，，则在上值的集合为，因函数的值域为，于是得，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：D2．A【分析】求出函数在上的解析式，利用二次函数的基本性质可求得函数在上的最小值.【详解】当时，，由题意可得，所以，当时，.故选：A.3．D【分析】利用对数函数及二次函数的性质逐项分析即得.【详解】对于A，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项A可能；对于B，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项B可能；对于C，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为>1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项B可能；对于D，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项D不可能.故选：D.4．D【分析】根据题意，令，，进而将问题转化为函数在上单调递增，且函数为减函数，进而得，再解不等式组即可得答案.【详解】解：因为对任意的实数，且，都有成立，所以，对任意的实数，且，，即函数是上的减函数．因为，令，，要使在上单调递减，所以，在上单调递增．另一方面，函数为减函数，所以，，解得，所以实数a的取值范围是．故选：D．5．B【分析】由二次函数的值域可得出，可得出，则有，利用基本不等式可求得结果.【详解】若，则函数的值域为，不合乎题意，因为二次函数的值域为，则，且，所以，，可得，则，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.6．A【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，则，解得：，当时，，，则，所以函数为奇函数，即充分性成立；“函数为奇函数”，则，即，解得：，故必要性不成立，故选：A．7．B【分析】令对数的真数等于0，求得x、y的值，可得图象经过的定点坐标．再根据在幂函数y＝f（x）的图象上，求出函数f（x）的解析式，从而求出的值．【详解】∵已知a＞0且a≠1，对于函数，令x﹣1＝1，求得x＝2，y，可得它的图象恒过定点P（2，4），∵点P在幂函数y＝f（x）＝xn的图象上，∴2n，∴n，∴f（x）则f（2）,故故选B．【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，求函数值，属于基础题．8．A【分析】首先求出，得到函数的单调性，再利用对数函数的图象性质得到，即得解.【详解】由题得.函数是上的增函数.因为，，所以，所以，所以.故选：A【点睛】方法点睛：比较对数式的大小，一般先利用对数函数的图象和性质比较每个式子和零的大小分成正负两个集合，再利用对数函数的图象和性质比较同类数的大小.9．A【分析】由题知幂函数，定义域为，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：幂函数，定义域为，对于A选项，定义域为，故正确；对于B选项，定义域为，故错误；对于C选项，定义域为，故错误；对于D选项，定义域为，故错误；故选：A10．A【分析】先解出集合A、B,再求.【详解】因为，，所以.故选：A．11．D【分析】根据奇函数的性质及赋值法得到，从而判断①正确；根据偶函数的性质得到，从而判断②正确；取，判断两者的单调性，从而判断③正确.【详解】对于①：由是奇函数，即，取得，则，正确；对于②：由是偶函数，得，则的图象关于直线对称，正确；对于③：取，则与在上都单调递增，正确故选：D.12．C【分析】根据幂函数的定义及单调性可判断AB，再由奇函数的定义判断CD.【详解】函数为幂函数，则，解得或.当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A；当时，在区间上单调递减，满足题意.函数在和上单调递减，但不是减函数，排除B；因为函数定义域关于原点对称，且，所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.故选：C.13．AB【解析】通过换元法，设，方程化为关于的二次方程的根的情况进行分类讨论.【详解】设，方程化为关于的二次方程.当时，方程无实根，故原方程无实根.当时，可得，则，原方程有两个相等的实根.当时，方程有两个实根，由可知，，.因为，所以无实根，有两个不同的实根.综上可知：A，B项正确，C，D项错误.故选：AB【点睛】此题考查方程的根的问题，利用换元法讨论二次方程的根的分布，涉及分类讨论思想.14．ABC【分析】令，先分析函数的奇偶性，再分情况讨论的奇偶性，然后逐项分析四个选项即可求解.【详解】令，则，故为偶函数.当时，函数为偶函数，且其图象过点，显然四个选项都不满足.当为偶数且时，易知函数为偶函数，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，则选项，符合；若为正偶数，因为，则，当时，，所以函数在上单调递增，又因为函数为偶函数，所以函数在上单调递减，选项符合；若为负偶数，易知函数的定义域为，排除选项.当为奇数时，易知函数为奇函数，所以函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，则选项符合，若为正奇数，因为，则，当时，，所以函数在上单调递增，又因为函数为奇函数，所以函数在上单调递增，选项符合；若为负奇数，函数的定义域为，不妨取，则，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当趋向于正无穷时，因为指数函数的增长速率比幂函数的快，所以趋向于正无穷；所以内先减后增，故选项符合.故选：.15．ABD【分析】利用函数性质相关的定义以及复合函数的同增异减性质逐项分析.【详解】对于A，，是减函数，在是减函数，在是增函数，根据复合函数同增异减的性质，在时是增函数，正确；对于B，，是奇函数，正确；对于C，，当时，并且是减函数，所以是增函数，错误；对于D，，相当于函数先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，而是关于原点对称的，所以是关于对称的，正确；故选：ABD.16．ABD【分析】利用作差法可判断AB，根据幂函数单调性可判断C，根据基本不等式可判断D.【详解】A：，∵，，，，故A正确；B：，∵，∴，，故B正确；C：时，在单调递减，∵，故C错误；D：∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，∴，∵a≠b，故等号取不到，故，故D正确.故选：ABD.17．【分析】分析函数的性质，借助函数单调性和代入求解不等式作答.【详解】当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，是增函数，且，因此函数在上单调递减，在上单调递增，而，则当，即时，恒有成立，则，当时，，不等式化为，解得，则，所以不等式的解集为.故答案为：18．3【解析】利用幂函数的定义与性质求得，将代入，利用对数的运算法则化简得解.【详解】在上为增函数，，解得(舍去），故答案为：3.【点睛】正确理解幂函数的定义求得的值和熟练运用对数恒等式是关键.19．【分析】根据，，，由求解.【详解】因为对，，，所以只需即可，因为，，所以，，由，解得故答案为：.【点睛】本题主要考查不等式恒能成立问题以及函数的最值的求法，属于中档题.20．【分析】求出点、的坐标，代入相应的幂函数解析式，求出、的值，即可得解.【详解】直线与、轴的交点分别是、，因为，是线段的三等分点，可得，，且与函数、的图像交点分别是、，其中，所以，解得，所以，.故答案为：.21．【分析】根据题意求得，把不等式转化为，即，结合题意，分、和，三种情况讨论，即可求解.【详解】由题意，当时，则，因为函数为偶函数，可得，因为时，，所以，又由，即，即，即，因为时，不等式恒成立，当时，,满足条件；当时，不等式解得或，则满足或，解得；当时，不等式解得或，则满足或，解得，综上可得或或，即实数的取值范围是.故答案为：.22．【解析】根据题意，由幂函数的单调性分析可得、或，据此验证函数的奇偶性，即可得答案．【详解】解：根据题意，函数为幂函数，若函数在上递减，必有，则、或，当时，，为偶函数，符合题意，当时，，为奇函数，不符合题意，当时，，为非奇非偶函数，不符合题意；则；故答案为：.【点睛】本题考查幂函数的性质，注意幂函数的单调性以及奇偶性的分析，属于基础题．【三层练能力】参考答案1．A【详解】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．2．D【详解】试题分析：由已知，得或．当时