高考数学一轮总复习 3.3 导数的综合应用题组训练 理 苏教版

第3讲导数的综合应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．已知函数f(x)＝eq\f(1,2)mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是________．解析f′(x)＝mx＋eq\f(1,x)－2≥0对一切x＞0恒成立，m≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2＋eq\f(2,x)，令g(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2＋eq\f(2,x)，则当eq\f(1,x)＝1时，函数g(x)取最大值1，故m≥1.答案[1，＋∞)2．若f(x)＝xsinx＋cosx，则f(－3)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，f(2)的大小关系为________．解析函数f(x)为偶函数，因此f(－3)＝f(3)．又f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，f′(x)<0.∴f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上是减函数，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))>f(2)>f(3)＝f(－3)．答案f(－3)<f(2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))3．若直线y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围是________．解析y′＝3(1－x)(1＋x)，由y′＝0，得x＝±1.∴y极大值＝2，y极小值＝－2，∴－2<m<2.答案(－2,2)4．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是________．解析令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或3(舍去)．∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20.答案(－∞，－20]5．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________．解析设盒子容积为ycm3，盒子的高为xcm，则x∈(0,5)．则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x，∴y′＝12x2－104x＋160.令y′＝0，得x＝2或eq\f(20,3)(舍去)，∴ymax＝6×12×2＝144(cm3)．答案144cm36．(·浙江卷改编)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则下列结论正确的是________(填序号)．①当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值②当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值③当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值④当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值解析当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是函数f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，x在1的右边附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取得极小值．答案③7.在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)<0的解集为________．解析(1)当x∈(－∞，－1)和x∈(1，＋∞)时，f(x)是增函数，∴f′(x)>0，由x·f′(x)<0，得x<0，∴x<－1.(2)当x∈(－1,1)时，f(x)是减函数，∴f′(x)<0.由x·f′(x)<0，得x>0，∴0<x<1.故x·f′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．答案(－∞，－1)∪(0,1)8．设函数f(x)＝6lnx，g(x)＝x2－4x＋4，则方程f(x)－g(x)＝0有________个实根．解析设φ(x)＝g(x)－f(x)＝x2－4x＋4－6lnx，则φ′(x)＝eq\f(2x2－4x－6,x)＝eq\f(2x＋1x－3,x)，且x>0.由φ′(x)＝0，得x＝3.当0<x<3时，φ′(x)<0；当x>3时，φ′(x)>0.∴φ(x)在(0，＋∞)上有极小值φ(3)＝1－6ln3<0.故y＝φ(x)的图象与x轴有两个交点，则方程f(x)－g(x)＝0有两个实根．答案2二、解答题9．某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6<x<11)，年销售为u万件，若已知eq\f(585,8)－u与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(21,4)))2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．解(1)设eq\f(585,8)－u＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(21,4)))2，∵售价为10元时，年销量为28万件，∴eq\f(585,8)－28＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(21,4)))2，解得k＝2.∴u＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(21,4)))2＋eq\f(585,8)＝－2x2＋21x＋18.∴y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6)＝－2x3＋33x2－108x－108(6<x<11)．(2)y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18)＝－6(x－2)(x－9)．令y′＝0，得x＝2(舍去)或x＝9，显然，当x∈(6,9)时，y′>0；当x∈(9,11)时，y′<0.∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是单调递增，在(9,11)上是单调递减．∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．10．(·南京调研)已知函数f(x)＝ex－m－x，其中m为常数．(1)若对任意x∈R有f(x)≥0恒成立，求m的取值范围；(2)当m>1时，判断f(x)在[0,2m解(1)依题意，可知f(x)在R上连续，且f′(x)＝ex－m－1，令f′(x)＝0，得x＝m.故当x∈(－∞，m)时，ex－m<1，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(m，＋∞)时，ex－m>1，f′(x)>0，f(x)单调递增．故当x＝m时，f(m)为极小值也是最小值．令f(m)＝1－m≥0，得m≤1，即对任意x∈R，f(x)≥0恒成立时，m的取值范围是(－∞，1]．(2)当m>1时，f(m)＝1－m<0.∵f(0)＝e－m>0，f(0)·f(m)<0，且f(x)在(0，m)上单调递减．∴f(x)在(0，m)上有一个零点．又f(2m)＝em－2m，令g(m)＝em－∵当m>1时，g′(m)＝em－2>0，∴g(m)在(1，＋∞)上单调递增．∴g(m)>g(1)＝e－2>0，即f(2m∴f(m)·f(2m)<0，∴f(x)在(m,2故f(x)在[0,2m能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(·潍坊模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，不等式f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝30.3f(30.3)，b＝(logπ3)f(logπ3)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,9)))feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,9)))，则a，b，c间的大小关系是________．解析设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0(x<0)，∴当x<0时，g(x)＝xf(x)为减函数．又g(x)为偶函数，∴当x>0时，g(x)为增函数．∵1<30.3<2,0<logπ3<1，log3eq\f(1,9)＝－2，∴g(－2)>g(30.3)>g(logπ3)，即c>a>b.答案c>a>b2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋6x＋e2－5e－2，x≤e，,x－2lnx，x>e))(其中e为自然对数的底数，且e≈2.718)．若f(6－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是________．解析当x≤e时，f′(x)＝2(3－x)>0；当x>e时，f′(x)＝1－eq\f(2,x)>0，∴f(x)在R上单调递增．因此6－a2>a，解之得－3<a<2.答案(－3,2)3．将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝eq\f(梯形的周长2,梯形的面积)，则S的最小值是________．解析如图所示，设AD＝xm(0＜x＜1)，则DE＝AD＝xm，∴梯形的周长为x＋2(1－x)＋1＝3－x(m)，又S△ADE＝eq\f(\r(3),4)x2(m2)，∴梯形的面积为eq\f(\r(3),4)－eq\f(\r(3),4)x2(m2)，∴S＝eq\f(4\r(3),3)×eq\f(x2－6x＋9,1－x2)(0＜x＜1)，∴S′＝eq\f(－8\r(3),3)×eq\f(3x－1x－3,1－x22)，令S′＝0，得x＝eq\f(1,3)或3(舍去)，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))时，S′＜0，S递减；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))时，S′＞0，S递增．故当x＝eq\f(1,3)时，S的最小值是eq\f(32\r(3),3).答案eq\f(32\r(3),3)二、解答题4．(·湛江质检)已知函数f(x)＝sinx(x≥0)，g(x)＝ax(x≥0)．(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a取(1)中的最小值时，求证：g(x)－f(x)≤eq\f(1,6)x3.解(1)令h(x)＝sinx－ax(x≥0)，则h′(x)＝cosx－a.①若a≥1，h′(x)＝cosx－a≤0，h(x)＝sinx－ax(x≥0)单调递减，h(x)≤h(0)＝0，则sinx≤ax(x≥0)成立．②若0<a<1，存在x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，使得cosx0＝a，当x∈(0，x0)，h′(x)＝cosx－a>0，h(x)＝sinx－ax(x∈(0，x0))单调递增，h(x)>h(0)＝0，不合题意．③若a≤0，结合f(x)与g(x)的图象可知显然不合题意．综上可知，a的取值范围是[1，＋∞)．(2)当a取(1)中的最小值为1时，g(x)－f(x)＝x－sinx.设H(x)＝x－sinx－eq\f(1,6)x3(x≥0)，则H′(x)＝1－cosx－eq\f(1,2)x2.令G(x)＝1－cosx－eq\f(1,2)x2，则G′(x)＝sinx－x≤0(x≥0)，所