人教版高中数学必修第二册6.1-6.2同步测试滚动训练(含答案)

人教版高中数学必修第二册6.1——6.2同步测试滚动训练(时间:45分钟分值:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.对于向量a与b,下列说法中正确的是 ()A.若|a|=|b|,则a与b是共线向量B.若|a|<|b|,则a<bC.若存在向量c,使得a∥c且c∥b,则a∥bD.若a=b,则|a|=|b|2.如图G1-1,在四边形ABCD中,若AB=DC,则下列各组向量中相等的是 ()图G1-1A.AD与CB B.OB与ODC.AC与BD D.AO与OC3.如图G1-2,平行四边形ABCD的对角线相交于点M,若AB=a,AD=b,则用a,b表示MD为 ()图G1-2A.12a+12b B.12aC.-12a-12b D.-12a4.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()A.4 B.3C.2 D.05.若|AB|=7,|AC|=4,则|BC|的取值范围是 ()A.[3,7] B.(3,7)C.[3,11] D.(3,11)6.设a,b是非零向量,则“存在实数λ,使得a=λb”是“|a+b|=|a|+|b|”的 ()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则a与b的夹角θ= ()A.150° B.120°C.60° D.30°8.已知向量a,b满足|a|=1,a⊥b,则向量a-2b在向量a上的投影向量为 ()A.a B.77C.-a D.27二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.若a,b为已知向量,且23(4a-3c)+3(5c-4b)=0,则c=10.已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则a与b的夹角为.

11.已知等边三角形ABC中,D为BC上一点,若AB=3,BD=1,则AD·AB=.

12.已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为45°,则使向量2a-λb与λa-3b的夹角是锐角的实数λ的取值范围为.

三、解答题(本大题共3小题,共40分)13.(10分)已知e,f为两个不共线的向量,若四边形ABCD满足AB=e+2f,BC=-4e-f,CD=-5e-3f.(1)用e,f表示AD;(2)证明:四边形ABCD为梯形.14.(15分)已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角θ=60°,求:(1)a·b;(2)(2a-b)·(a+3b);(3)|a-b|.15.(15分)如图G1-3,在边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是线段CD上一点,且满足|CE|=2|DE|,设AB=a,AD=b.(1)用a,b表示BE.(2)在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE?若存在,确定点F的位置,并求|AF|;若不存在,请说明理由.图G1-3参考答案与解析1.D[解析]两个向量的模相等时,它们不一定共线,故A错误;向量不能比较大小,故B错误;当c为零向量时,由a∥c且c∥b不能得出a∥b,故C错误.故选D.2.D[解析]因为AB=DC,所以ABCD,所以四边形ABCD是平行四边形,所以AC,BD互相平分,所以AO=OC.故选D.3.D[解析]BD=AD-AB=b-a,∵平行四边形ABCD的对角线相交于点M,∴点M为BD的中点,∴MD=12BD=-12a+12b4.B[解析]a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-(-1)=2+1=3,故选B.5.C[解析]当AB与AC共线且方向相反时,|BC|取得最大值,最大值为4+7=11;当AB与AC共线且方向相同时,|BC|取得最小值,最小值为7-4=3.故|BC|的取值范围是[3,11].故选C.6.B[解析]存在实数λ,使得a=λb,说明向量a,b共线,当a,b同向时,|a+b|=|a|+|b|成立,当a,b反向时,|a+b|=|a|+|b|不成立,所以充分性不成立.当|a+b|=|a|+|b|成立时,有a,b同向,所以存在实数λ,使得a=λb,必要性成立.故“存在实数λ,使得a=λb”是“|a+b|=|a|+|b|”的必要而不充分条件.故选B.7.B[解析]由|a|=|b|=|c|且a+b=c,得|a+b|=|b|,平方得|a|2+|b|2+2a·b=|b|2⇒2a·b=-|a|2⇒2|a|·|b|·cosθ=-|a|2⇒cosθ=-12⇒θ=120°8.A[解析]如图,作OA=a,OB=b,OA⊥OB.延长OB至点C,使OB=BC,以OA,OC为邻边作矩形OCDA,则OC=2b,CA=a-2b,∠ACD即为a-2b与a的夹角,cos∠ACD=|a||a-2b|=1|a-2b|,则向量a-2b在向量a上的投影向量为|a-9.1213b-839a[解析]∵23(4a-3c)+3(5c-4b)=0,∴83a-2c+15c-12b=0,化简得13c=12b-83a,∴c=1210.90°[解析]∵|a+b|=|a-b|,∴|a+b|2=|a-b|2,∴a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,解得a·b=0,∴a与b的夹角为90°.11.152[解析]∵AD=AB+BD,∴AD·AB=(AB+BD)·AB=AB2+AB·BD=32+3×1×cos120°=9-3212.1<λ<6且λ≠6[解析]∵|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为45°,∴a·b=|a||b|cos45°=2×1×22=1.当2a-λb与λa-3b同向共线时,满足2a-λb=m(λa-3b),m>0,则2=mλ,-λ=−3m,得λ=6.若向量2a-λb与λa-3b的夹角是锐角,则(2a-λb)·(λa-3b)>0且λ≠6,即2λa2+3λb2-(6+λ2)a·b>0且λ≠6,即4λ+3λ-(6+λ2)>0且λ≠6,即λ2-7λ+6<0且λ≠6,得13.解:(1)AD=AB+BC+CD=(e+2f)+(-4e-f)+(-5e-3f)=(1-4-5)e+(2-1-3)f=-8e-2f.(2)证明:因为AD=-8e-2f=2(-4e-f)=2BC,所以AD与BC同方向,且AD的长度为BC的长度的2倍,所以在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD≠BC,所以四边形ABCD是梯形.14.解:(1)a·b=|a|·|b|cosθ=2×3×cos60°=3.(2)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5a·b-3|b|2=2×22+5×3-3×32=-4.(3)|a-b|=(a-b)2=a15.解:(1)根据题意得BC=AD=b,CE=23CD=23BA=-2∴BE=BC+CE=b-23a(2)在线段BC上存在一点F满足AF⊥BE,此时|AF|=214理由如下:设BF=tBC=tb(0≤t≤1),则FC=(1-t)b,