初中：分式综合

分式作业

一.选择题（共8小题）

1.下列各式中，属于分式的是（）

A.a-3B.旦C.旦D.—^a+b)

兀n4

2.下列分式中，属于最简分式的是（）

AxB6cXD1-x

22

X2ax+lX-l

3.分式©-中，当x=-a时，下列结论正确的是（）

3x-l

A.分式的值为零

B,分式无意义

C.若工时，分式的值为零

3

D.若aW1时，分式的值为零

3

4.已知分式上当x=2时，分式的值为零；当x=-2时，分式没有意义，则分式有意

2x+a

义时，〃+〃的值为（）

A.-2B.2C.6D.~6

5.已知分式巫也（«,b为常数）满足下列表格中的信息：则下列结论中错误的是（）

x+a

X的取值-11cd

分式的值无意义10-1

A.a=\B.b=8C.c=—D.d=—

36

6.若把x,y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（）

A.(x-)2

B.且C.At?.D.xzi

x2x-^yy+2y-2

7.下列各式，从左到右变形正确的是（)

A.上2小Ba~~b_b-a

a+2aa+bb+a

D(a+1)2a+1

c2(x-l)-2

1-x2-1+x(a-1)2aT

8.关于分式^^—,有下列说法：①当x=-l,机=2时，分式有意义；②当x=3时,

x<s-4x+m

分式的值一定为0；③当x=l,机=3时，分式没有意义；④当尤=3且巾#3时，分式的

值为0,其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二.填空题（共5小题）

9.下列各式中曳、旦、」」、曳+1、且也、工」中分式有个.

52m2兀b35z

10.把分式号的分子、分母中系数化为整数，则分式变为_____.

0.5a-q

11.若包萼，则三曲的值为.

b2b

3

12.分式“、包tL、一比R_.、生生中，最简分式的个数是_____个.

22

xy3a+bm+n6x

13.对于实数小6定义一种新运算“③”：“（8）〃=」^,例如，103==^=则

,212g

a-b1-3o0

方程xG）2=，_-1的解是.

x~4

三.解答题（共6小题）

14.计算：

9

（1）⑵皿+a+3a.

32

3y2xl-aa-2a+l

(3)13；(4)2n:n

x+1m2-9-m+3

(5)如4；(6)—----

2a2aa2-4a-2

(8)a2-4»(l--J—).

(7)-^—4^-;

a-bb-aa-3a-2

15.先化简，再求值：(冬-一+二一，在-2,0,1,2四个数中选一个合适的代

x~2x+2X2-4

入求值.

16.阅读下列解题过程，然后解题：

题目：已知(八b、c互不相等)，求x+y+z的值.

a-bb-cc-a

解：设x=y二工二卜,则元=Z(a-b),y=k(b-c),z=k(C-Q),

a-bb-cc-a

.\x+y-^-z=k(a-b-^b-c+c-a)=2・0=0,/.x+y+z=0.

依照上述方法解答下列问题：

已知：工卫其中x+y+zWO,求x4y-z的值.

xyzx+y+z

17.问题提出

我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策

略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”：就是

通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只

要作出它们的差若M-N>0,则M>N；若M-N=O,则M=N；若M-NVO,

则M<N.

问题解决

如图1,把边长为a+b(a¥b)的大正方形分割成两个边长分别是心。的小正方形及两

个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.

解：由图可知：M=a2+h2,N=2ab.

.,.M-N=a1+b2-2ab—(a-b)2.

■:a丰b,：.(a-b)2>0.

：.M-N>0.

类比应用

(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为史也•元/千克和2辿元/千克(。、

2a+b

6是正数，且试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低.

(2)试比较图2和图3中两个矩形周长Mi、M的大小Sc).

参考答案与试题解析

选择题(共8小题)

1.下列各式中，属于分式的是()

A.a-3B.旦C.3D.&(.a+h)

Kn4

【分析】根据分式的定义即可得出答案.

【解答】解：A选项是多项式，是整式，故该选项不符合题意；

B选项的分母中不含字母，故3选项不符合题意；

C选项的分母中含有字母，故C选项符合题意；

D选项的分母中不含字母，故D选项不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A,8表示两个整式，并且B中含

有字母，那么式子a叫做分式是解题的关键，注意TT是数字.

B

2.下列分式中，属于最简分式的是（）

A.工B.AC,-A_D.三

J2ax-1

【分析】利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，判断即可.

【解答】解：A.原式=工，不符合题意；

X

B.原式=2，不符合题意；

a

C.原式为最简分式，符合题意；

D.原式=-1,不符合题意.

故选：C.

【点评】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键.

3.分式©-中，当x=-a时，下列结论正确的是（）

3x-l

A.分式的值为零

B.分式无意义

C.若a#-工时，分式的值为零

3

D.若。工工时，分式的值为零

3

【分析】当时，分式的分子是0即分式的值是0,但前提是只有在保证分式的分

母不为0时，分式才有意义.

【解答】解：由3X-1W0,得xW2，

3

故把*=-4代入分式-^^二中，当x=-a且-a#工时，即aW-1•时，分式的值为零.

3x-l33

故选：C.

【点评】本题主要考查分式的概念，分式的分母不能是0,分式才有意义.

4.已知分式上也，当x=2时，分式的值为零；当x=-2时，分式没有意义，则分式有意

2x+a

义时，a+b的值为（）

A.-2B.2C.6D.-6

【分析】根据分式的值为0，即分子等于0,分母不等于0,从而求得匕的值；根据分式

没有意义，即分母等于0,求得“的值，从而求得“+人的值.

【解答】解：•."=2时，分式的值为零，

：.2-h=0,

解得。=2.

：x=-2时，分式没有意义，

A2X（-2）+。=0,

解得4=4.

工〃+/?=4+2=6.

故选：C.

【点评】考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件，注意：分式的值为0,则分子

等于0,分母不等于0；分式无意义，则分母等于0.

5.已知分式巫也（a,b为常数）满足下列表格中的信息：则下列结论中错误的是（）

x+a

X的取值-11Cd

分式的值无意义10-1

A.a—\B.b=8C.c——D.d——

36

【分析】将表格数据依次代入已知分式中，进行计算即可判断.

【解答】解：A.根据表格数据可知：

当x=-l时，分式无意义，

即x+a=0,

所以-1+4=0,

解得a—\.

所以4选项不符合题意；

B.当x=l时，分式的值为1,

即-6+b=i,

1+1

解得b—8,

所以B选项不符合题意；

C.当X=6■时，分式的值为0,

即-6c+8=0,

c+1

解得。=匹，

3

所以c选项不符合题意；

D.当x=d时，分式的值为-1,

即-6d+8=_1,

d+1

解得d=，,

5

所以。符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了分式的值、分式有意义的条件，解决本题的关键是掌握分式相关知

识.

6.若把x,y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（）

2

A.（X-）B.且C.三2D.三2

2

xx+yy+2y-2

【分析】根据分式的基本性质逐一进行判断即可.

【解答】解：A.把x,y的值同时扩大为原来的2倍，分式的值保持不变，符合题意；

B.把x,y的值同时扩大为原来的2倍，分式的值为原来的2倍，不符合题意；

C.把x,y的值同时扩大为原来的2倍，分式的值变为丝2,不符合题意；

2y+2

。.把x,＞的值同时扩大为原来的2倍，分式的值变为红2,不符合题意.

2y-2

故选：A.

【点评】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是掌握分式的基本性质.

7.下列各式，从左到右变形正确的是（）

A.小22

a+2a

B-4_b-a

a+bb+a

「2（1）

c.------------=----2--

l-x21+x

2

D.（a+1）=a+l

（a-1）2aT

【分析】根据分式的基本性质（分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式,

分式的值不变）判断即可.

【解答】解：42前面是加号不是乘号，不可以约分，原变形错误，故本选项不符合题

意；

B、原式=-上生，原变形错误，故本选项不符合题意；

b+a

C、原式=,24二）=:g_,原变形正确，故本选项符合题意；

-（x+1）（x-l）1+X

。、从左边到右边不正确，原变形错误，故本选项不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了分式的基本性质.解题的关键是掌握分式的基本性质的运用，注意:

分式的分子和分母都乘以同一个不等于0的整式，分式的值不变.

8.关于分式一二W—,有下列说法：①当x=-l,根=2时，分式有意义；②当x=3时,

2

x-4x+m

分式的值一定为0;③当x=l,〃?=3时，分式没有意义；④当x=3且机W3时，分式的

值为0,其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据分式的值为0以及分式有意义的条件即可求出答案.

【解答】解：①当x=-1,机=2时，

.•./-4"机会0,所以分式有意义，①正确

②当x=3时，

7-4x+机有可能为0,故分式可能无意义，故②错误；

③当x=l,〃?=3时，

/-4x+nz=0,故③正确；

④当x=3且m/3时，

-4x+nt=9-12+,〃=-3+/"W0,

Vx-3=0,

二原式=0,故④正确；

故选：C.

【点评】本题考查分式的值为。的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本

题属于基础题型.

二.填空题（共5小题）

9.下列各式中曳、旦、二」、包+i、且士殳、工」中分式有3个.

52m2兀b35z

【分析】直接利用分式的定义分析进而得出答案.

【解答】解：包、口、」一、包+1、生之、工」中分式为：旦、A+1,工-工共

521n2兀b35z2mb5z

3个.

故答案为：3.

【点评】此题主要考查了分式的定义，正确把握定义是解题关键.

10.把分式‘2a+：的分子、分母中系数化为整数，则分式变为_红且

0.5a-y5a-5

【分析】根据分式的基本性质即可求出答案.

【解答】解：原式=I。©2a+：)

10(0.5a--)

_2-a-+-1--01

5a-5

故答案为：2atl0

5a-5

【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题考查

属于基础题型.

II.若曳誓，则三也的值为2.5.

b2b

【分析】生也=旦+上=旦+1；因为包=3,直接代入计算.

bbbbb2

【解答】解：•.•里=3

b2

...a+b=_g_+i=6+i=2.5.

bb2

故答案为25

【点评】解答本题不仅要会通分，还要将曳当做一个整体看待.

b

3

12.分式一、囱1L、.-誓K、上鲤中，最简分式的个数是2个.

xy3a+bm+n6x

【分析】根据最简分式的概念判断即可.

【解答】解：囱1L、.?+n是最简分式,

3a+bDm2,+n2

故答案为：2.

【点评】本题考查的是最简分式的概念，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简

分式.

13.对于实数小〃定义一种新运算“隹"：a®b=—^,例如，1(8)3=_工=-1.则

a-b,21-3。208

方程x<8)2=—L-1的解是x=5.

x-4

【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出分式方程的解即可.

【解答】解：根据题中的新定义，化简得：1,

x-4x-4

去分母得：l=2-x+4,

解得：x=5,

经检验，x=5是分式方程的解，

故答案为：x=5.

【点评】此题考查了解分式方程以及实数的运算，解分式方程时，一定要检验.弄清题

中的新定义是解本题的关键.

三.解答题(共6小题)

14.计算：

⑴1上；

x+1

(2)-22-

m2-9m+3

【分析】(1)先通分，然后分母不变，分子相加减即可；

(2)先把除法转化为乘法，然后约分即可.

【解答】解：(1)1上L

x+1

—x+1-x+l

x+1

=2:

x+1

⑵2n.n

m2-9-m+3

=2n「m+3

(m+3)(m-3)n

=2

m-3

【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则.

15.计算:

(1)a+b+a-b；

2a2a

【分析】(1)直接利用分式的加法的法则进行求解即可;

(2)先通分，再进行加减运算即可.

【解答】解：(1)且生

2a2a

_a+b+a-b

2a

=2a

27

=1;

=______4_______a+2____

(a-2)(a+2)(a-2)(a+2)

=4-a-2

(a-2)(a+2)

=-(a-2)

(a-2)(a+2)

=-1

a+2

【点评】本题主要考查分式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

16.计算：

(1)33

a-bb-a

(2)-*12.).

a-3a-2

【分析】(1)先通分，再进行减法运算即可；

(2)先通分，把能分解的进行分解，再约分即可.

【解答】解：(1)-

a-bb-a

—a_b

a-ba-b

=a-b

a-b

=1；

(2)a2-4.(].

a-3a-2

(a-2)(a+2)a3

a-3a~2

=〃+2.

【点评】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

16.阅读下列解题过程，然后解题：

题目：已知(“、b、c互不相等)，求x+y+z的值.

a-bb~cc-a

解：设」—上了二2=k，则元=Z(a-b),y=k(b-c),z=k(C-Q),

a-bb-cc-a

/•x+y^-z=k(〃-b+b-c+c-a)=k,0=0,/.x+y+z=O.

依照上述方法解答下列问题：

已知：。上区工工，其中x+y+zro,求X丁Z的值.

xyzx+y+z

【分析】根据提示，先设比值为％,再利用等式列出三元一次方程组，即可求出k的值是

2,然后把x+y=2z代入所求代数式.

【解答】解：设工生=3±2=2士工=4，

xyz

'y+z=kx(1)

则：，x+z=ky(2)，

.x+y=kz(3)

(1)+(2)+(3)得：2x+2y+2z=k(x+y+z),

Vx+y+z^O,

:・k=2,

，原式=2z-z=三=工

2z+z3z3

17.化简：

2,

(1)abe；

ab

⑵生工；

3y2x3

,,3u2,2

(3)-^—-4--5ab.

2c24cd

2

(4)a+3+_g,3.L.

2

1-aa-2a+l

【分析】(1)直接进行约分即可；

(2)根据分式的乘法的法则进行求解即可；

(3)把除法转为乘法，再约分即可；

(4)把能分解的进行分解，除法转为乘法，再约分即可.

2,

【解答】解：(1)曳■竺=叼

ab

⑵生工=2；

3y2x33x2

⑶ab?二-5a2b2

2c24cd

ab34cd

Q2r-2,2

2c-bab

=-2bd.

5ac

(4)a+3/a2+3a

2

l-aa-2a+l

—_a+3_.(l~~a)2

1-aa(a+3)

=l-a

a

【点评】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用.

18.先化简，再求值：(&--乙)+-A，在-2,0,1,2四个数中选一个合适的代

2

x-2x+2X-4

入求值.

【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出即可.

【解答】解：原式=3x(x+2)-x(x-2)•(x+2)(x-2)

(x+2)(x-2)x

=2x+8,

当x=l时,原式=2+8=10.

【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解

此题的关键.

19.问题提出

我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策

略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”：就是

通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只

要作出它们的差M-N,若M-N>0,则M>N；若M-N=O,则M=N；若M-N<0,

则M<N.

问题解决

如图1,把边长为a+b(a#6)的大正方形分割成两个边长分别是“、6的小正方形及两

个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.

解：由图可知:M—c^+b1,N—2ab.

.".M-N=(^+b2-2ab=(a-b)2.

•：aWb,：.Ca-b)2>0.

：.M-N>0.

：.M>N.

类比应用

(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为三也元/千克和纯元/千克(心

2a+b

6是正数，且试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低.

(2)试比较图2和图3中两个矩形周长Mi、M的大小(/?><?).

aba+b

b+3c

a-c

ab

图1图2图3

联系拓广

小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示

(其中b>a>c>0),售货员分别可按图5、图