第01讲导数的概念及运算（讲练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（含答案解析）

第01讲导数的概念及运算(讲+练)-2023年高考

数学一轮复习讲练测(新教材新高考)

第01讲导数的概念及运算(精讲+精练)

第一部分：知识点精准记忆

1.平均变化率

(1)变化率

事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”.如气球的平均膨胀率是半径的增量与体

积增量的比值.

(2)平均变化率

一般地，函数/*)在区间区,4］上的平均变化率为：空‘.

(3)如何求函数的平均变化率

求函数的平均变化率通常用“两步”法：

①作差：求出△了=/(占)-/(为)和入¥=£-%

②作商：对所求得的差作商，即.

/XXX2-X}

2.导数的概念

(1)定义：函数/(X)在X=/处瞬时变化率是lim坦■lim,我

AxAx

们称它为函数7=/(工)在x=Zo处的导数，记作r&)或川一即

r&Alim电■limM+㈤-/&).

二AxATAx

(2)定义法求导数步骤：

①求函数的增量：△、=/(%+&-)-/(.%)；

②求平均变化率：黑=+然76)；

③求极限，得导数：/'(%)=lim竺=lim”演.洋)一了(%).

—©-Ax

3.导数的几何意义

函数y=/(x)在点x=/处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x°,%)处的切线

的斜率%,即2=/'(%).

4.基本初等函数的导数公式

基本初等函数导数

"x)=c(c为常数)r(x)=o

/(X)=工"£R)ra)=e

f(x)=sinxf\x)=cosx

f(x)=cosX/Xx)=-sinx

fM=exf\x)=ex

fM=〃'(a>0)fr(x)=axIna

f(x)=\nxf'M=-

X

f(x)=log：>0,〃工1)尸(x)=4

xlna

f[x)=4x

f{x}=-

X/v)=-厂4

5、导数的运算法则

若/lx),g'(x)存在，则有

(1)"(x)±g(x)『=r(x)±g，(x)

(2)"(X)•g(x)Y=f\x)-g(x)+f(x)-g'(x)

(3)[f(x)y广(x>g(x)-F(x).g，(x)

g(x)8(x)

6.复合函数求导

复合函数y=/(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为乂=y'uu'x,即y

对x的导数等于y对"的导数与"对x的导数的乘积.

7.曲线的切线问题

(1)在型求切线方程

已知：函数/(X)的解析式.计算：函数/(X)在X=%或者(x°J(x。))处的切线方程.

试卷第2页，共23页

步骤：第一步：计算切点的纵坐标/（X。）（方法：把x=x0代入原函数/（幻中），切点

（与J（x。））.

第二步：计算切线斜率左=/'（x）.

第三步：计算切线方程.切线过切点（%,/（%））,切线斜率

根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-f（x0）=f\x0Xx-x0）.

（2）过型求切线方程

已知：函数Ax）的解析式.计算：过点4（x“X）（无论该点是否在y=/（x）上）的切线

方程.

步骤：第一步：设切点兄（%,％）

第二步：计算切线斜率Z=/'（%）；计算切线斜率及二21二迎；

为一不）

第三步：令：幺=/'（/）=21二』解出％,代入左=尸（与）求斜率

X\~XQ

第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-y.=fWx-Xo）.

第二部分：课前自我评估测试

一、判断题

1.（2021.全国.高二课前预习）函数y=f（x）在x=x0处的导数值就是曲线y=f（x）

在x=x0处的切线的斜率（）

【答案】正确

函数y=f（x）在x=x0处的导数值就是曲线y=f（x）在x=x0处的切线的斜率.

2.（2021.全国.高二课前预习）函数在x=x0处的导数f（xO）是一个常数（）

【答案】正确

函数在x=x0处的导数f（x0）是一个常数.

3.（2021・全国•高二课前预习）函数y=f（x）在x=x0处的导数值与Ax的正、负无关.（）

【答案】正确

4.（2021・全国•高二课前预习）设x=xO+Ax,则Ax=x-x0,则Ax趋近于0时，x趋

/（玉）+加0-/（f）-lim/（、）-/（工0）

近于x0,因此，f（xO）=Um)

Ax

【答案】正确

二、单选题

1.(2022•河北邢台・高二阶段练习)函数/(x)=d—7x从1到2的平均变化率为()

A.-4B.4C.-6D.6

【答案】A

函数/(x"％2-7*从1到2的平均变化率为：

"1二(-4.

故选：A.

2.(2022・四川・攀枝花七中高二阶段练习(理))已知函数〃x)=2e)则

局出』皿()

——2Ar

ee

A.一B.一一C.eD.-e

22

【答案】D

r(x)=2e，则r⑴=2e

「/(1+Ar)-/(1)1/(1+Ax)-/(1)1…

hm----------------=——rhm----------------=——/(1)=-e

--2Ar2-Ax2

故选：D

3.(2022•江西九江•二模)曲线在“1处的切线倾斜角是()

A.£B.工C.迈D.”

6363

【答案】B

设曲线〃》)=等/_1在x=]处的切线倾斜角为a,

因为.")=6x2,则尸⑴=g,因为0414万，因此，«=

故选：B.

4.(2022・安徽滁州•高二阶段练习)曲线,f(x)=xlnx在x=l处的切线的方程为()

A.y=2x-2B.y=x-\

C.y=-*+lD.y=3x-[

【答案】B

解:由f(x)=xlnx,得r(x)=lnx+l,所以/⑴=0,/(I)=0+1=1,

所以曲线/(x)在x=l处的切线的方程为y-O=lxQ-l),即y=x-l.

故选：B.

第三部分：典型例题剖析

试卷第4页，共23页

高频考点一：导数的概念

1.(2022.河北邢台.高二阶段练习)已知函数y=f(x)的图象如图所示，f(x)是函数Ax)

B.B(4)〈尸(2)<f(4)[f(2)

c.r(2)<r(4)</(4)~/(2)D./(4)-/(2)<r(4)<r(2)

【答案】A

如图所示，根据导数的几何意义，可得/'(2)表示曲线在A点处的切线的斜率，即直线4

的斜率与，广(4)表示曲线在B点处的切线的斜率，即直线的斜率与，

又由平均变化率的定义，可得,⑷丁⑵表示过A,B两点的割线的斜率勺,

结合图象，可得号，(号<4，所以八2)<小)了(2)</4).

2.(2022•安徽・芜湖一中高二阶段练习)已知函数f(x)在x=x0处的导数为了'(%),则

iim/(x()+3^)-/(x„)=()

心―Ax

A.B.-3/(^0)C.3/(x0)D.#(%)

【答案】C

根据题意，lim/(%+3.)-1与)=3Hm/(x0+3.)-[％)二,

7

ATTOAx3Ar'

故选：c

3.（2022•陕西・西安市阎良区关山中学高二阶段练习（理））已知/'（为）=2,则

iim/（A-0-Ar）-/（A-0）^

A—02Ax

【答案】-1

lim/■一以）二八*=_1lim」,（）一

v7

AD2Ar2--Ar2

故答案为：-1.

高频考点二：导数的运算

1.（多选）（2022.河北,武安市第三中学高二阶段练习）下列运算正确的是（）

B.口3+打=高

D.

【答案】BD

(cos£|=0,［ln(3x+l)J=高

,故AD错误，BC正确.

故选：BC.

2.（2022.重庆市青木关中学校高二阶段练习）已知函数/（x）=lnx+V,则尸⑴=

【答案】4

r(x)」+3M,则八1)=4.故答案为：4

X

3.(2022.四川.攀枝花七中高二阶段练习(理))求下列函数的导数:

八、cosx-x

⑴y=­p—；

(2)j=eA(1+cosx)-2*X；

(3)y=log3(5x-l).

［答案］(Dy=M—in,-2cosx；

X

(2)y=ev(l+cosx-sinx)-2Aln2；

5

⑶y-(5x-l)-ln3'

试卷第6页，共23页

(1)

cosx-x(-sinx-l)x2-2x(cosx-x)x(l-sinJC)-2COSX

因为y=故丫=

(2)

因为y=e'(1+cosx)-2",故y'=ev(14-cosx-sinx)-2'In2.

(3)

因为y=log3(5x—l),故尸序入二,二序-；)."，

4.(2022•四川•棠湖中学高二阶段练习(理))求下列函数的导数.

(1)f(x)=x3e—x；

(2)g(x)=cos2x+ln(2x).

3工2一比3

【答案】(1)f{x}=

e

(2)r(x)=-2sin2x+—

x

(1)

(2)

21

g'(x)=-2sin2x+—=-2sin2x+—

5.(2022.甘肃.甘南藏族自治州合作第一中学高二期末(文))求下列函数的导数.

(1)/(x)=x2sinx+2cosx；

【答案】(1)=x2cosx4-2xsinx-2sinx

(1)

fr(x)=(x2sinx+2cosx\=(x2sinx)r+2(cosx\

=2xsinx+x2(sinx)f-2sinx=x2cosx+2xsinx-2sinx

(2)

ev4-1e+D'e-D-c+De-i)'

八X)=(­)'=

(e*-l)2

e'(e'-l)-e*e+l)2e*

(ev-1)2(ev-l)2

高频考点三：导数的几何意义

①求切线方程(在型)

1.(2022•内蒙古・赤峰二中高二期末(文))曲线/(x)=(x+a)e'在点(0,〃0))处的切线

过点(2,T),则实数4=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

解：因为〃0)=a,f'(x)=(x+4+l)e\尸(0)=。+1,

所以，切线方程为y-a=(a+l)x,

因为切线过点(2,-1),所以一1一。=2(4+1),解得a=—1.

故选：A

2.(2022・江西・临川一中高二期末(文))已知函数/(x)=-2x+lnx,则函数〃x)在点

(1,/⑴)处的切线方程为()

A.x+y-l=0B.x-y-3=0

C.x+y+l=0D.x+y=0

【答案】C

则k=尸(1)==丁=-l,X/(l)=-2+lnl=-2

则函数在点(1,/(D)处的切线方程为y+2=-(x-1),即x+y+1=0

故选：C

3.(2022.天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习)曲线/(x)=e*在x=0处的切线

/与坐标轴围成的三角形的面积为()

A.1B.gC.-rD.^―

2e22

【答案】B

因为〃x)=e",则为(x)=e*,所以，/(0)=/(0)=1,

所以，直线/的方程为y=x+l,直线/交x轴于点(-1,0),交y轴于点(0,1),

因此，直线/与坐标轴围成的三角形的面积为：xF=!.

22

故选：B.

4.(2022・湖南•一模)若曲线y=ei+lnx在点(1,1)处的切线与直线ax+y=0平行，则

试卷第8页，共23页

a=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】C

由y=e*T+Inx=>y=ex''+—,显然(1,1)在曲线y=e'''+Inx上，

x

所以曲线〉="-'+111》在点(1,1)处的切线的斜率为-7+；=2,

因此切线方程为：y-1=2(x-l)ny=2x-l,

直线〃x+y=O的斜率为-a,

因为曲线丫=炉-'+1!^在点(1,1)处的切线与直线以+y=0平行，

所以-a=2na=—2,

故选：C

5.(2022•河南・模拟预测(文))函数〃x)=xlnx-2x在x=l处的切线方程为()

A.y=-x-\B.y=x-\C.y=2x-2D.y=2x+\

【答案】A

依题意，/'(x)=Inx—1,则广⑴=—1,而/(I)=-2,于是有y+2=-(犬一1),即y=-x-1,

所以所求切线方程为：y=-x-i.

故选：A

6.(2022・河南•沈丘县第一高级中学高二期末(文))已知函数/(x)=xlnx-3x,则曲

线y=/(x)在点(ej(e))处的切线方程为()

A.x+y+e=0B.y-x+e=0C.x-y+e=0D.x+y-e=0

【答案】A

函数〃力=①11%—34，求导得：_f(x)=(lnx+l)-3=lnx—2，则f'(e)=T，而f(e)=-2e,

于是得：y+2e=-lx(x-e),即x+y+e=0,

所以曲线y=f(x)在点(e，/(e))处的切线方程为x+y+e=0.

故选：A

②求切线方程(过型)

1.(2022-江西・南昌大学附属中学高二期末(理))曲线y=lnx在点M处的切线过原点，

则该切线的斜率为()

A.1B.eC.-1D.—

【答案】D

设切点为（anf）,故在M点的切线的斜率为:，

\nt-01

所以———=-=>r=e,

r-0t

所以切点为（e,l）,切线的斜率为

e

故选：D

2.（2022•全国•高三专题练习）若曲线y=«的一条切线经过点（8,3）,则此切线的斜

率为（）

AJ-BL

42

C-:或"D-3或1

【答案】C

11

由题意，可设切点坐标为（xo,禽），由丫=«=/，得y'而，切线斜率k=苹,

由点斜式可得切线方程为y—五=诉（x—xO）,又切线过点（8,3）,所以

l1r—r—

3-77=77=（8—x0）,整理得X0—6反+8=0,解得禽=4或2,所以切线斜率k

故选：C.

3.（2022•江苏・南京航空航天大学苏州附属中学高二阶段练习）已知函数/（x）=-V+3x,

则过点（-3,-9）可作曲线y=/（x）的切线的条数为（〉

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

解：因为“司=—尸+3万，所以因为）=-3，+3,

设切点为（a，—/+34）,

所以在切点（a,-。，+3。）处的切线方程为y=-3（/-1）（了一“）-〃+3“，

又（-3,-9）在切线上，所以-9=-3（/-1）（一3-a）-/+3a,

即一9=3（a~-1）,（3+a）—/+3a,

试卷第10页，共23页

9

整理得2。3+9。2=0,解得％=0或%=一；，

所以过点（-3,-9）可作曲线y=〃x）的切线的条数为2.

故选：C.

4.（2022.陕西安康.高三期末（文））曲线〉=2如》+3过点（-；,0）的切线方程是（）

A.2x+y+l=0B.2x-y+\=0

C.2x+4y+l=0D.2x-4y+l=0

【答案】B

由题意可得点不在曲线y=2xlnx+3上，

设切点为（为,%），因为y'=21nx+2,

k=1\nx+2=―—=2%

所以所求切线的斜率。上1一2七+1，

xo+2

所以%=2玉/11%+2%+111工0+1.

因为点（%,%）是切点，所以％=2.r0lnx0+3,

所以2x（）Inx（）+2x（）+Inx（）+1=2x0Inx（）+3,即2x（）+Inx0-2=0.

设/（x）=2x+lnx—2,明显f（x）在（0,+8）上单调递增，且"1）=0,

所以2%+In/-2=0有唯一解与=1,则所求切线的斜率k=2,

故所求切线方程为y=21+g）=2A-+1.

故选：B.

5.（2022•陕西♦西北工业大学附属中学一模（理））已知/（x）=xlnx,若过一点（zn,n）可

以作出该函数的两条切线，则下列选项一定成立的是（）

2

A.n<mlnmB.n>/winmC.—e</t<0D.m<\

e

【答案】A

设切点为（”lnr）,对函数/（x）求导得/'（x）=lnx+l,则切线斜率为尸⑺=hv+l,

所以，切线方程为yTlnf=0n，+l）（x-r）,g|Jy=（lnr+l）x-r,

所以，n=z77（ln/+1）—Z,可得,一“Inf十〃z=O,

令&。）=，-61型+〃一相，其中00,由题意可知，方程g«）=0有两个不等的实根.

m

g,((O\=ls7丁t-m.

①当机40时，对任意的f>0,g'(f)>0,此时函数g。)在(0,+8)上单调递增,

则方程g(r)=O至多只有一个根，不合乎题意;

②当加>0时,当Ovrvm时,g'(r)<0,此时函数g(f)单调递减,

当/>机时，g'(f)>0,此时函数g。)单调递增.

由题意可得g(，)111bl=g(m)=m-m\nm+n-m=n-m\nm<0,可得

故选：A.

6.(2022•江西•模拟预测(文))已知曲线,f(x)=e“-lnx与过点(0,1)的直线/相切，则/

的斜率为.

【答案】e-l##-l+e

解：设切点为(Xo，e"-lnxo),

f'(x)=e'--,则/'(%)=e"-,，

X/

(1A

则切线方程为y-(e%-lnx0)=e&——(x-x0),

lX。

(1A

将点(o,l)代入得l-(e&-lnx0)=e为--(-x0),

化简得In%=e*(为-1),解得％=i,

所以切线的斜率为e-l.

故答案为：e—1.

7.(2022.全国•高三专题练习)已知函数f(x)=x+£,若曲线y=f(x)存在两条过

2x

(1,0)点的切线，则a的取值范围是.

【答案】⑷-2或。>0}

由题得小)=1-枭，设切点坐标为知M哥,

则切线方程为y-x。-*

2%

又切线过点(1,0),可得-%J*(If),

4人0)

试卷第12页，共23页

整理得2xJ+2”-a=0,

因为曲线y=/(x)存在两条切线，故方程有两个不等实根且x°MO

若x°=0,则。=0,为两个重根，不成立，

即满足A=(2a)2—4x2x(—。)>0,解得a>0或〃<一2.

故。的取值范围是或a>0}

故答案为：或a>0}

③已知切线方程(或斜率)求参数

1.(2022•北京•北理工附中高二阶段练习)如图，函数y=/(x)的图象在点P处的切线

方程是y=-x+8,贝|/(5)+/(5)=()

A.-2B.2C.3D.无法确定

【答案】B

由题图，/(5)=7,且f(5)=y|-=-5+8=3,

所以f(5)+r(5)=2.

故选：B

2.(2022・湖南•长沙县实验中学高二阶段练习)己知函数,f(x)=ar+g在点处的

切线与直线x-2y+l=0垂直，则。=()

A.12B.—1C.2D.3

【答案】B

函数/(*)=以+J的导数为/'(x)=〃-5，

r(l)=a-l,即函数在x=l处的切线斜率为a-1,

由切线与直线x-2y+l=O垂直，

可得(a-l)xg=—1,

解得a=-l.

故选：B.

3.(2022•吉林白山•一模(理))函数”x)=a(x+l)e*-x的图象在点(0,〃0))处的切线

斜率为1,贝!|。=()

A.1B.-1C.-2D.2

【答案】A

因为r(x)=ae'+a(x+l)e*—l,所以/'(0)=2a—1=1,解得a=l.

故选：A.

4.(2022.江苏省苏州实验中学高二阶段练习)已知直线丫=改+6是曲线y=xlnx的切

线，则点■的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,<?]C.[刃，/D.(口目

【答案】C

设直线y=ox+6与曲线y=xlnx的切线点的横坐标为与(无>。)，

由y=x\nx,可得yC=lnx+l,

[ax+h=xAn

则《n,(,，可得aXo+b=Ma-l),所以b=T0，

[a=In与+1

,aInx0+1

由a=lnx°+l,b=-x0,则"=-p—,

H121n+1

令g(x)=V,x>0,可得/(%)=-J,

令g'(x)=0，即21nx+1=。，解得x=｛，

当xe(0,9)时,g<x)>0,g(x)单调递增;

当xe(/,+oo)时,g'(x)<0,g(尤)单调递减,

所以g(x)a=g(力=]，即g(x)

当x->0时，g(x)f-a),

所以言若，即言的取值范围是‘8,|.

故选：C.

5.(2022•全国•高三专题练习)若点P是曲线y=ex2-21nx上任意一点，则点P到直

线y=x-3的距离的最小值为()

A.迪B.也C.72D.V5

42

试卷第14页，共23页

【答案】A

4

设平行于直线），=犬-3且与曲线y=]x2-2inx相切的切线对应切点为P（x,y）,

32

由y=1d_21nx,则y=3x——,

2x

令V=3X-2=I,

x

2

解得x=l或工=-]（舍去），

故点P的坐标为

口-3

故点P到直线y=x-3的最小值为：I27夜.

故选：A.

6.（2022・四川省绵阳南山中学高二阶段练习（理））若曲线）（力:出^一刀+皿》存在垂

直于y轴的切线，则a的取值范围是（）

A・b4B.（0,£|C.,词D.

【答案】C

依题意，f（x）存在垂直与y轴的切线，即存在切线斜率％=0的切线,

yCk=f\x）=2ax+--\,x>0,

1ax-\----1=0有正根，BR—la=f—-，有正根，

XX

即函数y=-2a与函数y=-，,x>0的图象有交点，

\x)x

令，=1>0，则g(t)=t2=Ag(t)>g(y)="7,

xI2J424

:.-2a>--,HPa<-.

48

故选：c.

7.（2022.全国•高三专题练习）点A在直线y=x上，点B在曲线y=lnx上，则w用的

最小值为（）

A.—B.1C.J2D.2

2

【答案】A

设平行于直线y=x的直线y=x+b与曲线y=lnx相切,

则两平行线间的距离即为|的最小值.

设直线y=x+b与曲线y=lnx的切点为（皿ln〃?）,

则由切点还在直线y=x+b上可得=，

由切线斜率等于切点的导数值可得工=1,

m

联立解得m=l,b=-1,

1-1-01-J2

由平行线间的距离公式可得|A8|的最小值为712+(-1)2=~

故选：A.

④导数与函数图象

1.（2022•北京•北理工附中高二阶段练习）函数y=f（x）的图象如图所示，下列不等关

A.0<,f(2)<.f(3)</(3)-/(2)

B.0</(2)</(3)-/(2)</(3)

C.0<r(3)</(3)-/(2)<r(2)

D.0</(3)-/(2)</,(2)</,(3)

【答案】C

如图所示，根据导数的几何意义，可得r（2）表示切线《斜率匕＞。,

（（3）表示切线4斜率的＞。，

试卷第16页，共23页

又由平均变化率的定义，可得生三@=/(3)-f⑵,表示割线4的斜率网,

3—2

结合图象，可得即0<r(3)<"3)—〃2)</12).

2.(2022・全国•高二单元测试)已知函数y=/(x)的图象是下列四个图象之一，且其导

函数y=/'(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()

由函数f(X)的导函数丫=「6)的图象自左至右是先减后增，可知函数y=f(x)

图象的切线的斜率自左至右先减小后增大，且广(0)=0,在x=0处的切线的斜率为0,

故BCD错误，A正确.

故选：A.

3.（2022・江苏・高二）如图，函数y=/（x）的图象在点尸处的切线方程是>=-工+8,则

iim/(5+Ax)-/(5)=()()

Ar->0A%

【答案】D

因为函数y=〃x）的图象在点尸处的切线方程是y=-x+8,

切点的横坐标为5,

由导数的几何意义可得/'（5）=-1,

所以1由/（5+小）一/0）=/（5）=-1,

Av->0,

故选：D.

4.（2021•全国•高二单元测试）如图所示，y=f（x）是可导函数，直线1：y=kx+3是曲

线y=f（x）在x=l处的切线，令〃（幻=号，"（x）是h（x）的导函数，则"⑴的值

是（）

A.2B.1C.-1D.-3

【答案】D

根据图象可知"1)=2,所以2=&xl+3,A=T,即门1)=7,

/?('=上/(?/(、),外1)=/(1)-〃1)=-1-2=-3.

试卷第18页，共23页

故选：D

⑤共切点的公切线问题

（2021•江西•高三阶段练习（理））

1.若曲线y=e'T与曲线y=在公共点处有公共切线，则实数。=（）

A.叵B.立C.-D.-

eeee

（2021♦重庆・高二阶段练习）

2.已知两曲线），=X3+如和），=/+云+C都经过点尸（1,2）,且在点尸处有公切线，则

当时，log〃竺二的最小值为（）

22x

A.-1B,-2C,一D.0

2

（2021•云南・曲靖一中模拟预测（理））

3.设曲线〃x）=ae'+b和曲线g（x）=cos三+c在它们的公共点M（0,2）处有相同的切

线，则6+。一。的值为（）

A.0B.乃

C.-2D.3

（2022•全国•高三专题练习（理））

4.已知函数/（力=/一2机，g（x）=31nx-x,若y=/（x）与y=g（x）在公共点处的切

线相同，则机=（）

A.-3B.1C.2D.5

（2022♦全国•高三专题练习）

5.若函数/（x）=alnxCaeR）与函数g（x）=«在公共点处有共同的切线，则实数

a的值为（）

1e

A.4B.-C.-D.e

22

⑥不同切点的公切线问题

（2022•河北省唐县第一中学高三阶段练习）

6.己知函数/（x）=alnx,g（x）=*、，若直线y>0）与函数/（x）,g（x）的图象

都相切，则〃+1的最小值为（）

b

A.2B.2eC.e2D.>/e

（2022•重庆市育才中学高三阶段练习）

7.若直线，：y=H+6（Z>1）为曲线〃x）=e，T与曲线g（x）=elnx的公切线，则/的

纵截距b=（）

A.0B.1C.eD.-e

（2022•湖北・安陆第一高中高二阶段练习）

8.若存在过点（0,-2）的直线与曲线>=■?和曲线y=+a都相切，则实数。的

值是（）

A.2B.1C.0D.-2

（2022・湖南永州•二模）

9.若函数>=以2与y=lnx存在两条公切线，则实数。的取值范围是（）

（2022•山西吕梁•高二期末）

10.若直线>=履+6是曲线y=e-的切线，也是曲线丫=。川-1的切线，则方=

（2022・全国•高三专题练习）

11.若曲线y=lnx与曲线），=/+2》+〃（》<0）有公切线，则〃的取值范围是

（2022.四川.棠湖中学高二阶段练习（文））

12.已知/（x）=e、（e为自然对数的成数），g（x）=lnx+2,直线/是/（x）与g（x）的公

切线，则直线/的方程为.

⑦与切线有关的转化问题

（2022•全国•高三专题练习）

13.已知111与-玉-乂+2=0,x,+2y2-4-21n2=0,则"（3-々了+（y-的最小

值为（）

（2022.江苏・泰州中学高二开学考试）

14.若实数4，b,c,d满足lna=b,c+l=",则（a-c1+（b-d）2的最小值为,

（2022•四川・成都外国语学校高二阶段练习（文））

15.已知x>0,yeR,（x-y）2+（x2-lnx+2-疔的最小值为（）

试卷第20页，共23页

A.0B.2C.速D.—

33

（2022•全国•高三专题练习）

16.若三屿=、2=1,则&一々）2+（%一%）2的最小值是（）

A.；B.—C.41D.2

22

（2022•全国•高三专题练习）

17.已知点P,。分别在函数/（x）=ln（x+l）与g（x）=x+2的图象上运动，则|PQ帕勺最

小值为（）

A.1B.72

C.2D.2A/2

第四部分：高考真题感悟

（2021•全国•高考真题）

18.若过点（。力）可以作曲线y=e'的两条切线，则（）

A.eb<aB.<b

C.0<a<ebD.0<b<ea

（2020•全国・高考真题（理））

19.若直线/与曲线广五和x2+y2=g都相切，则/的方程为（）

A.y=2x+lB.y=2x+^C.y=^-x+lD.y=yx+y

（2019•全国•高考真题（文））

20.曲线y=2sinx+cosx在点（兀，-1）处的切线方程为

A.x-y-K-1=0B.2x-y-2ju-l=0

C.2x+y—2兀+1=0D.x+y-兀+1=0

第五部分：第01讲导数的概念及运算（精练）

一、单选题

（2022•重庆市长寿中学校高二阶段练习）

21.设“X）是可导函数，且lim巫二丝匕@=2,则/'⑴=（）

oAr

A.gB.-1C.0D.-2

（2022•河北・武安市第三中学高二阶段练习）

22.若直线y=h-e与曲线y=xlnx相切，则％=（）

A.-B.2C.eD.4

e

（2022.福建省连城县第一中学高二阶段练习）

23.已知直线依-切+c=0与曲线y=-gcos2x+g在点处的切线互相垂直,

则多的值为（）

b

A.--B.41C.-1D.1

2

（2022•云南昆明•一模（文））

24.已知直线y=2x与曲线y=e，+a相切，则。的值为（）

A.2B.2（ln2+l）C.In2+1D.2（ln2-l）

（2022・广西柳州•三模（理））

25.若曲线〃x）=e=%在点（与"仇））处的切线方程为严依+匕，则女+人的最大值为

（）

A.e—1B.1C.e+1D.e

（2022.河北邢台•高二阶段练习）

26.若直线/与函数/（x）=e、，g（x）=lnx的图象分别相切于点4（%,/（4）），

B（Xj,g（9）），贝!]中2-药+刍=（）

A.-2B.-1C.1D.2

（2022・河南•新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））

27.函数4x）=lnx+or存在与直线2x-y=0平行（或重合）的切线，则实数。的取值

范围是（）

A.（F,2]B.[2,+oo）C.（-00,2）D.（2,+8）

（2022.山东•潍坊一中模拟预测）

28.已知函数〃x）=lnx--,直线丫=皿+〃是曲线y=/（x）的一条切线，则加+2〃的

取值范围是（）

A.[-3,+oo）B.卜8,^^

试卷第22页，共23页

二、填空题

（2022•北京交通大学附属中学高二阶段练习）

29.设函数/（x）=xsinx,则/'（?=_；

（2022•四川宜宾•二模（理））

30.已知/（》）=犬+24'（-手,则曲线/*）在点x=-g处的切线方程为,

（2022•河南•温县第一高级中学高三阶段练习（理））

31.已知函数〃x）为偶函数，且当x>0时，〃到=/+一，则尸（一1）=.

（2022・陕西•武功县普集高级中学高二阶段练习（理））

32.已知函数〃刈=瞪+,/（0）皿*+4）,则/（0）=.

三、解答题

（2022・湖南•高二课时练习）

33.若函数/(x)=(x-l)(x-2)(x—3)••…(x-2021),求广(2021)的值.

（2022•江苏•高二课时练习）

34.求下列函数的导数:

(XT

⑴/。）=

x+1

(3)=

X

(4)/(x)=x2cosx.

（2022•北京・北理工附中高二阶段练习）

1rr

35.已知函数〃幻=；/一丁+3融，若在点（1J⑴）处切线的倾斜角为二，求。的

34

值；

（2022•辽宁•沈阳市第一二。中学高二阶段练习）

36.已知两曲线丫=丁+必和丫=/+以+<:都经过点P（l,2）,且在点P处有公切线.

（1）求a,b,c的值；

（2）求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；

参考答案:

1.A

【分析】设公共点为P（s,f）,根据导数的几何意义可得出关于的方程组，即可解得实

数S的值.

【详解】设公共点为P（s,f）,y=e»T的导数为y'=e'T,曲线y=产,在P（s,r）处的切线斜率

k=es-',

y=a^c的导数为）''=品，曲线丫=在2（型）处的切线斜率后=忐，

因为两曲线在公共点P处有公共切线，所以©~=赤，且，=e'T,/=〃"，

所以《一2火,即〃=解得$=所以e”=〃4,解得〃=必

e，T=a>Jse

故选：A.

2.D

【分析】先由两曲线经过点P,求得〃，再由在点P处有公切线构造关于公。的方程，从而

求得b、c,最后代入log」,竺X中利用均值定理求得答案.

2x

2=r+axlp=l

【详解】由题意，即

2=l2+/?xl+c[b+c=1

2

设/(x)=丁+x,g(x)=x+bx+cf

因为/'(x)=3f+l,g\x)=2x+b,

所以f(D=4,g'(l)=2+6,

又因为两曲线在点P处有公切线，所以尸6=g'（l）=2+〃=4,所以b=2,c=-l

所以1%"二=1%守=1%住+与21叫1=0