新高考数学一轮复习第7章 第07讲 向量法求距离、探索性及折叠问题 讲（学生版）

第07讲向量法求距离、探索性及折叠问题(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：利用空间向量求点到直线的距离题型二：利用空间向量求点到平面的距离题型三：立体几何中的折叠问题题型四：立体几何综合问题第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆知识点一：点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离已知直线SKIPIF1<0的单位方向向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上的定点，SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0外一点.设SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的投影向量SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<0知识点二：点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离如图，已知平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0内的定点，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外一点.过点SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0，交平面SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0的方向向量，且点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离就是SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的投影向量SKIPIF1<0的长度.SKIPIF1<0第二部分：课前自我评估测试第二部分：课前自我评估测试1．（2022·广东茂名·高二期末）已知SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的一个法向量，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内的一点，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·福建厦门·高二期末）直线l的方向向量为SKIPIF1<0，且l过点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到l的距离为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全国·高三专题练习）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点A到直线BC的距离是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内，且SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．1 B．11 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·云南·会泽县实验高级中学校高二开学考试）在棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0第三部分：典型例题剖析第三部分：典型例题剖析题型一：利用空间向量求点到直线的距离典型例题例题1．（2022·浙江绍兴·高二期末）如图，在正三棱柱SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题2．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0(0，1，1)为其一个方向向量，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为_______.题型归类练1．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二期末）如图，在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，点B到直线SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全国·高三专题练习）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是从点P出发的三条线段，每两条线段的夹角均为60°，SKIPIF1<0，若M满足SKIPIF1<0，则点M到直线SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全国·高三专题练习（理））已知棱长为3的正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，动点P在正方形SKIPIF1<0(包括边界)内运动，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为______.4．（2022·全国·高三专题练习）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M为SKIPIF1<0的中点，则点M到直线SKIPIF1<0的距离为___________.题型二：利用空间向量求点到平面的距离典型例题例题1．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知经过点SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题2．（2022·江苏·高二期中）在空间直角坐标系SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题3．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，所有棱长均为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为______.题型归类练1．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（理））设正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·江苏·高二课时练习）平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·重庆·高二期末）已知空间中四点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点D到平面ABC的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．04．（2022·江苏泰州·高二期末）长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点B到平面SKIPIF1<0的距离为________．5．（2022·北京东城·高二期末）已知点SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为________.题型三：立体几何中的折叠问题典型例题例题1．（2022·广东茂名·高二期末）如图1，在一个正方形SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0内，有一个小正方形和四个全等的等边三角形.将四个等边三角形折起来，使SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0重合于点SKIPIF1<0，且折叠后的四棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积是SKIPIF1<0(如图2)，则四棱锥SKIPIF1<0的体积是___________；若在四棱锥SKIPIF1<0内放一个正方体，使正方体可以在四棱锥SKIPIF1<0内任意转动，则正方体棱长的最大值为___________.例题2．（2022·山西·长治市第四中学校高一期中（理））如图，四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，现将四边形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，在折叠后的线段SKIPIF1<0上是否存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，说明理由.(2)求三棱锥SKIPIF1<0的体积的最大值，并求出此时点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.例题3．（2022·山西太原·三模（理））已知三角形SKIPIF1<0是边长为2的正三角形，现将菱形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折叠，所成二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，此时恰有SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的长；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值.题型归类练1．（多选）（2021·重庆市第十一中学校高三阶段练习）重庆市第十一中学校高三年级某班组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为SKIPIF1<0，托盘由边长为SKIPIF1<0的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图②.则下列结论正确的是（

）A．经过三个顶点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的球的截面圆的面积为SKIPIF1<0B．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0D．球面上的点离球托底面SKIPIF1<0的最大距离为SKIPIF1<02．（2022·河北唐山·高一期中）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝SKIPIF1<0＝1．现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折叠，使ED⊥DC，M为ED的中点，如图2．图1

图2(1)求证：AM∥平面BEC；(2)求证：BC⊥平面BDE；(3)求点D到平面BEC的距离．3．（2022·浙江·模拟预测）已知梯形SKIPIF1<0，现将梯形沿对角线SKIPIF1<0向上折叠，连接SKIPIF1<0，问：(1)若折叠前SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0，则在折叠过程中是否能使SKIPIF1<0？请给出证明；(2)若梯形SKIPIF1<0为等腰梯形，SKIPIF1<0，折叠前SKIPIF1<0，当折叠至面SKIPIF1<0垂直于面SKIPIF1<0时，二面角SKIPIF1<0的余弦值．题型四：立体几何综合问题典型例题例题1．（2022·广东·高二阶段练习）如图，三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0侧面SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点.(1)求异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角的余弦值；(2)在棱SKIPIF1<0上是否存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0，若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由.例题2．（2022·辽宁·高三期末）如图，已知三棱柱SKIPIF1<0的侧棱与底面垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)当平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的锐二面角为SKIPIF1<0时，求平面SKIPIF1<0与侧面SKIPIF1<0的交线长．题型归类练1．（2022·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0．(1)求证：直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKI