新高考数学一轮复习第7章 第01讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 精讲（教师版）

第01讲基本立体图形、简单几何体的表面积与体积(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：基本立体图形角度1：结构特征角度2：直观图角度3：展开图题型二：空间几何体的表面积与体积角度1：表面积和侧面积角度2：体积角度3：蚂蚁爬行最短问题题型三：空间几何体的外接球角度1：补形法角度2：对棱相等型角度3：借助三角形外心确定球心题型四：空间几何体的内切球第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆知识点一：空间几何体的结构特征1、多面体的结构特征1.1棱柱（1）棱柱的定义定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点（2）棱柱的图形（3）棱柱的分类及表示①按棱柱底面边数分类:②按棱柱侧棱与底面位置关系分类:③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多边形的直棱柱平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱SKIPIF1<01.2棱锥（1）棱锥的定义定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥底面：多边形面侧面：有公共顶点的各三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点（2）棱锥的图形（3）棱锥的分类及表示按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥……特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥SKIPIF1<01.3棱台（1）棱台的定义定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：除上下底面以外的面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点（2）棱台的图形（3）棱台的分类及表示由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……用各顶点字母表示棱柱，如棱台SKIPIF1<02、旋转体的结构特征2.1圆柱（1）圆柱的定义以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体圆柱的轴：旋转轴圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边（2）圆柱的图形（3）圆柱的表示圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱SKIPIF1<02.2圆锥（1）圆锥的定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体轴：旋转轴叫做圆锥的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边锥体：棱锥和圆锥统称为锥体（2）圆锥的图形（3）圆锥的表示用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥SKIPIF1<02.3圆台（1）圆台的定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台轴：圆锥的轴底面：圆锥的底面和截面侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分台体：棱台和圆台统称为台体（2）圆台的图形（3）圆台的表示用表示它的轴的字母表示，如图，圆台SKIPIF1<02.4球球的表面积和体积（1）球的表面积：SKIPIF1<0（2）球的体积:SKIPIF1<0知识点二：直观图1、空间几何体的直观图的绘制方法（1）画轴.在平面图形中取互相垂直的SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴，两轴相交于点SKIPIF1<0,画直观图时，把它们分别画成对应的SKIPIF1<0轴与SKIPIF1<0轴，两轴交于点SKIPIF1<0,且使SKIPIF1<0”(或SKIPIF1<0）,它们确定的平面表示水平面；（2）画底面.已知图形中，平行于SKIPIF1<0轴SKIPIF1<0轴或SKIPIF1<0轴的线段，在直观图中分别画成平行于SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴或SKIPIF1<0轴的线段；（3）画侧棱.已知图形中平行于SKIPIF1<0轴或SKIPIF1<0轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于SKIPIF1<0轴的线段，长度变为原来的一半；（4）成图.连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.2、斜二测画法保留了原图形中的三个性质①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．知识点三：柱、锥、台、球的表面积和体积几何体表面积体积柱体（棱柱，圆柱）SKIPIF1<0SKIPIF1<0椎体（棱锥，圆锥）SKIPIF1<0SKIPIF1<0台体（棱台，圆台）SKIPIF1<0SKIPIF1<0球SKIPIF1<0SKIPIF1<0知识点四：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式几何体圆柱圆锥圆台图示侧面积公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0常用结论1.球的截面的性质(1)球的截面是圆面,且球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;(2)球心到截面的距离SKIPIF1<0与球的半径SKIPIF1<0及截面的半径SKIPIF1<0的关系为SKIPIF1<0第二部分：课前自我评估测试第二部分：课前自我评估测试1．（2022·河南商丘·高一期末）下列关于棱锥､棱台的说法正确的是（

）A．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台C．棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的D．棱台的各侧棱延长后必交于一点【答案】D对于A，棱台的各侧棱的延长线交于一点，因此有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，故A错；对于B，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台，故B错误；对于C，棱台的侧面展开图不一定是由若干个等腰梯形组成的，故C错误；对于D，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确.故选:D.2．（2022·广东珠海·高一期末）正四棱台的上､下底面边长分别为SKIPIF1<0，侧棱长为SKIPIF1<0，则棱台的侧面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B由题意，正四棱台的侧面是等腰梯形，且其上､下底面边长分别为SKIPIF1<0，腰长为SKIPIF1<0，所以斜高为SKIPIF1<0.所以侧面积为SKIPIF1<0(SKIPIF1<0).故选：B.3．（2022·黑龙江·铁人中学高一期末）若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球体积扩大为原来的（

）A．SKIPIF1<0倍 B．4倍 C．SKIPIF1<0倍 D．SKIPIF1<0倍【答案】C若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球的半径扩大为原来的SKIPIF1<0倍，则球体积扩大为原来的SKIPIF1<0倍.故选：C4．（2022·山东聊城·高一期末）某同学劳动课上制作了一个圆锥形礼品盒，其母线长为40cm，底面半径为10cm，从底面圆周上一点A处出发，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到A点，则所用金色彩线的最短长度为___________cm.【答案】SKIPIF1<0由圆锥侧面展开为半径为40cm，弧长为SKIPIF1<0cm的扇形，所以圆心角为SKIPIF1<0，而该扇形圆心角所对的弦长为最短金色彩线长度，故所用金色彩线的最短长度为SKIPIF1<0cm.故答案为：SKIPIF1<05．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期末）如图，SKIPIF1<0是用斜二测画法得到的SKIPIF1<0的直观图，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则AB的长度为______.【答案】SKIPIF1<0如图，在原图形中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．6．（2022·贵州黔西·高二期末（理））若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球的表面积为______________．【答案】SKIPIF1<0由题知，长方体的体对角线即为外接球的直径，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以外接球的表面积SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0第三部分：典型例题剖析第三部分：典型例题剖析题型一：基本立体图形角度1：结构特征典型例题例题1．（多选）（2022·江西上饶·高一期末）下列命题正确的是（

）A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体C．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台D．球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面【答案】BD根据空间几何体的定义，对于A，如图所示：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但不是棱柱，错误；对于B，由棱锥的定义知由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体是棱锥，正确；对于C，用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不一定为棱台，因为不能保证截面与底面平行，错误；对于D，球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面，正确；故选：BD.例题2．（2022·辽宁·东港市第二中学高一阶段练习）下列命题正确的是（

）A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形【答案】C棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形但不一定全等，A错；用一个平行棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，B错；四面体是三棱锥，它的任何一个面都可以作为棱锥的底面，C正确；棱台的侧棱延长后交于一点，侧面都是梯形，不一定是等腰梯形，D错．故选：C．角度2：直观图典型例题例题1．（2022·广东广州·高一期末）如图所示，SKIPIF1<0是水平放置的SKIPIF1<0的斜二测直观图，其中SKIPIF1<0，则以下说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0是钝角三角形 B．SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0的面积的2倍C．B点的坐标为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的周长是SKIPIF1<0【答案】D根据题意，将SKIPIF1<0还原成原图，如图，对于A，SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是等腰直角三角形，A错误；对于B，SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的高为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0的SKIPIF1<0倍，B错误；对于C，因为SKIPIF1<0，B的坐标为SKIPIF1<0，C错误；对于D，SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，D正确故选：D.例题2．（2022·广西贵港·高一期末）若一个平面图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，SKIPIF1<0，则原图的面积为___________.【答案】SKIPIF1<0由题可得SKIPIF1<0，所以原图的面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0角度3：展开图典型例题例题1．（2022·浙江·温州中学高二期末）若圆锥侧面展开图是圆心角为SKIPIF1<0，半径为1的扇形，则这个圆锥表面积与侧面积的比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C由题，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故选：C例题2．（2022·广东韶关·高二期末）已知圆锥的侧面展开图为一个半径是2的半圆，则该圆锥的高为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C圆锥的母线长为2，设圆锥的底面半径为SKIPIF1<0，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则圆锥的高SKIPIF1<0故选：C题型归类练1．（2022·山西吕梁·高一期末）下列说法正确的是（

）A．三角形的直观图是三角形 B．直四棱柱是长方体C．平行六面体不是棱柱 D．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台【答案】A对A，根据直观图的定义，三角形的直观图是三角形，故A对；对B，底面是长方形的直四棱柱是长方体，故B错；对C，平行六面体一定是棱柱，故C错；两个平面平行，其余各面是梯形的多面体，当侧棱延长后不交于同一点时，不是棱台，故D错；故选：A2．(多选）（2022·广西梧州·高一期末）给出下列命题：①长方体是四棱柱；②直四棱柱是长方体；③底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥；④延长一个棱台的各条侧棱，它们相交于一点．则正确的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】AD解：对于①：长方体满足有两个面互相平行且全等，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，故长方体是四棱柱，故①正确；对于②：如果直四棱柱的底面不是矩形，则这样的直四棱柱不是长方体，故②错误；对于③：如果棱锥的底面是正多边形，但顶点在底面的射影不是底面的中心，这样的棱锥不是正棱锥，故③错误；对于④：用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与底面之间的部分为棱台，故延长一个棱台的各条侧棱，它们必相交于一点，故④正确；故选：AD3．（2022·重庆·高一阶段练习）如图，SKIPIF1<0表示水平放置的SKIPIF1<0根据斜二测画法得到的直观图，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴垂直，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上的高为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D过SKIPIF1<0做SKIPIF1<0轴的平行线，交SKIPIF1<0轴与点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0轴，垂足为SKIPIF1<0，如图所示：则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由斜二测画法规则知SKIPIF1<0在原图中对应的点为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，且SKIPIF1<0，此即为SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上的高．故选：D．4．（2022·全国·高一专题练习）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0轴．已知四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则原平面图形的面积为________SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因为在四边形SKIPIF1<0中，边SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0轴，所以，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设原图形为梯形SKIPIF1<0，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，如下图所示：则SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0轴，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，原图形的面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.5．（2022·云南楚雄·高一期末）若一个圆锥的底面面积为SKIPIF1<0，其侧面展开图是圆心角为SKIPIF1<0的扇形，则该圆锥的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B设该圆锥的底面半径为r,则SKIPIF1<0，所以该圆锥的底面半径SKIPIF1<0，设圆锥的母线长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则圆锥的高为SKIPIF1<0，因此该圆锥的体积SKIPIF1<0，故选:B6．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（理））已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为SKIPIF1<0，则该花盆的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A圆台的侧面展开图如图所示，设圆台的母线长为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则根据题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以圆台的高为SKIPIF1<0，所以圆台的体积为SKIPIF1<0，故选：A题型二：空间几何体的表面积与体积角度1：表面积和侧面积典型例题例题1．（2022·黑龙江·铁人中学高一期末）已知一个圆锥的底面半径为SKIPIF1<0，其体积为SKIPIF1<0，则该圆锥的侧面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D设圆锥的底面半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，母线长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以该圆锥的侧面积为SKIPIF1<0.故选：D例题2．（2022·河南驻马店·高一期末）已知三棱柱SKIPIF1<0中，所有棱长均为6，且SKIPIF1<0，则该三棱柱的侧面积等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D由于三棱柱SKIPIF1<0的所有棱长均等于6，且SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在底面内的投影点O必定在底部正三角形ABC的SKIPIF1<0的角平分线上，所以SKIPIF1<0平面ABC，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以矩形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，正三角形SKIPIF1<0的面积为：SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为：SKIPIF1<0，所以该三棱柱的表面积等于SKIPIF1<0.故选：D.例题3．（2022·重庆市第七中学校高一期末）若一个正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，它的高为2，则该四棱台的表面积为______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0如下图所示：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以该四棱台的表面积为：SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0角度2：体积典型例题例题1．（2022·上海·模拟预测）如图所示三棱锥，底面为等边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边中点，且SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)求三棱锥体积SKIPIF1<0；【答案】(1)1因为SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又因为O为AC边中点，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为正三角形，SKIPIF1<0，又因为底面为等边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.例题2．（多选）（2022·江苏苏州·高一期中）圆柱的侧面展开图是长6cm，宽4cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC因为圆柱的侧面展开图是长6cm，宽4cm的矩形，所以当圆柱的高为4cm，则底面周长为6cm，设底面半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以此时圆柱的体积为SKIPIF1<0，当圆柱的高为6cm，则底面周长为4cm，设底面半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以此时圆柱的体积为SKIPIF1<0，综上，圆柱的体积可能为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选：AC例题3．（2022·四川乐山·高二期末（文））成都天府广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的“半正多面体”（图1），半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱长为SKIPIF1<0的正方体截出的半正多面体，则该半正多面体的体积为______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0由题意知，该半正多面体的体积为正方体的体积减去8个一样的正三棱锥的体积，即SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.角度3：蚂蚁爬行最短问题典型例题例题1．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）在①SKIPIF1<0；②四边形SKIPIF1<0的面积为24；③四边形SKIPIF1<0的周长为20；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答，如图，四边形SKIPIF1<0是圆柱的一个轴截面，SKIPIF1<0，且__________．(1)求该圆柱的体积：(2)若用一细绳从点SKIPIF1<0绕圆柱一周后到达SKIPIF1<0处（如图），求细绳的最短长度．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)解：（1）选择①，由题意可得圆柱的底面圆的半径SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，则该圆柱的体积为SKIPIF1<0．选择②，由题意可得圆柱的底面圆的半径SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，则该圆柱的体积为SKIPIF1<0．选择③，由题意可得圆柱的底面圆的半径SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，则该圆柱的体积为SKIPIF1<0．(2)解：将圆柱沿SKIPIF1<0侧面展开，如图所示，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故细绳的最短长度为SKIPIF1<0．例题2．（2022·江西·南昌市八一中学高二期末（文））如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为SKIPIF1<0，一只小虫从圆锥的底面圆上的点SKIPIF1<0出发，绕圆锥爬行一周后回到点SKIPIF1<0处，若该小虫爬行的最短路程为SKIPIF1<0，则这个圆锥的表面积为___________.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.设底面圆的半径为r,则有SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,则这个圆锥的表面积为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0题型归类练1．（2022·重庆·西南大学附中高一期末）如图，四边形ABCD为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，该梯形绕AB旋转形成的几何体体积为SKIPIF1<0，则该几何体的侧面积为___________．【答案】SKIPIF1<0由题知，该几何体为圆台，上底SKIPIF1<0，下底SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0则圆台的侧面积为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<02．（2022·福建莆田·高一期末）已知圆台的轴截面面积为10，母线与底面所成的角为SKIPIF1<0，则圆台的侧面积为___．【答案】SKIPIF1<0如图所示，依题意，设下底面圆半径为SKIPIF1<0，上底面圆半径为SKIPIF1<0，圆台的高为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则圆台轴截面的面积SKIPIF1<0，则圆台的侧面积SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.3．（2022·广东珠海·高一期末）如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为SKIPIF1<0的正三角形，若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则圆柱冰块的侧面积的最大值为___________SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0设该圆锥的轴截面正三角形的边长为a，由该圆锥轴截面的面积为SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以a=8,所以该圆锥底面圆半径为4，高为SKIPIF1<0.设圆锥中放置的圆柱的底面圆半径为x,高为h，其中SKIPIF1<0.如下图所示：由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以圆柱冰块的侧面积为SKIPIF1<0.由二次函数的性质可得：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大.故答案为：SKIPIF1<04．（2022·重庆·西南大学附中高一期末）将半径为3，圆心角为SKIPIF1<0的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（

）A．SKIPIF1<0π B．SKIPIF1<0π C．2SKIPIF1<0π D．4SKIPIF1<0π【答案】A设圆锥的底面半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴圆锥的高为SKIPIF1<0，∴圆锥的体积SKIPIF1<0.故选:A5．（2022·湖南邵阳·高一期末）若圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长为SKIPIF1<0，则该圆台的体积为_________．【答案】SKIPIF1<0由题意圆台的高为SKIPIF1<0，体积为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．6．（2022·全国·高一）如图，在正三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，一只虫子从SKIPIF1<0点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到SKIPIF1<0点，则虫子爬行的最短距离是（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解：如图，连接SKIPIF1<0与SKIPIF1<0分别交于SKIPIF1<0两点，将三棱锥由SKIPIF1<0展开，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为虫子爬行从点SKIPIF1<0沿侧面到棱SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0处，再到棱SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0处，然后回到点SKIPIF1<0的最短距离，∵SKIPIF1<0，∴由勾股定理可得SKIPIF1<0，所以虫子爬行的最短距离4，故选：A.7．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一期末）长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则一只小虫从SKIPIF1<0点沿长方体的表面爬到SKIPIF1<0点的最短距离是___________．【答案】5解：长方体SKIPIF1<0的表面可如下图三种方法展开后，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点间的距离分别为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0一只小虫从SKIPIF1<0点沿长方体的表面爬到SKIPIF1<0点的最短距离是5．故答案为：5．8．（2022·全国·高一）如图，已知正三棱柱SKIPIF1<0的底面边长为1cm，侧面积为SKIPIF1<0，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点SKIPIF1<0的最短路线的长为___________cm.【答案】SKIPIF1<0解：将正三棱柱SKIPIF1<0沿侧棱展开，其侧面展开图如图所示，依题意SKIPIF1<0，由侧面积为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，依题意沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点SKIPIF1<0的最短路线为SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0题型三：空间几何体的外接球角度1：补形法典型例题例题1．（2022·四川成都·高一期末（文））三棱锥SKIPIF1<0的顶点都在同一球面上，其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两两垂直，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两两垂直，将该三棱锥补成长方体SKIPIF1<0，则长方体SKIPIF1<0的体对角线长为SKIPIF1<0，所以，三棱锥SKIPIF1<0的外接球半径为SKIPIF1<0，因此，该三棱锥外接球的表面积为SKIPIF1<0.故选：C.例题2．（2022·河南开封·高二期末（文））已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均在同一个球面上，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C解：在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故可将三棱锥SKIPIF1<0补形成如图所示的长方体．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为球SKIPIF1<0的球面上的四个点，则该长方体的各顶点亦在球SKIPIF1<0的球面上．设球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，则该长方体的体对角线长为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，从而球的表面积SKIPIF1<0，故选：C．角度2：对棱相等型典型例题例题1．（2022·江西·模拟预测（文））已知三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该三棱锥内切球的表面积为____________．【答案】SKIPIF1<0如图，在长方体SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故四面体SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0，四面体SKIPIF1<0的表面积SKIPIF1<0，设三棱锥内切球的半径为SKIPIF1<0，由等体积可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以三棱锥内切球的表面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例题2．（2022•罗湖区月考）已知在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则四面体SKIPIF1<0的外接球表面积为．答案：SKIPIF1<0．【解析】解：如下图所示，将四面体SKIPIF1<0放在长方体SKIPIF1<0内，在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，设该长方体的长、宽、高分别为2、2、1，则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为SKIPIF1<0，所以，该四面体的外接球直径为SKIPIF1<0，因此，四面体SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．角度3：借助三角形外心确定球心典型例题例题1．（2022·云南昆明·高二期中）已知四面体SKIPIF1<0的每个顶点都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C解：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据正弦定理，SKIPIF1<0外接圆确定．设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0外接圆的圆心，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0球SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0.故选：C.例题2．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一阶段练习）已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为6，在该圆柱内放置一个棱长为SKIPIF1<0的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B因为圆柱的轴截面为正方形，母线长为SKIPIF1<0，所以圆柱的底面圆直径和高都是SKIPIF1<0，所以该圆柱的内切球的半径为SKIPIF1<0，如图球SKIPIF1<0即为该圆柱的内切球，若该圆柱内放置一个棱长为SKIPIF1<0的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则该正四面体内接于该圆柱的内切球时，棱长SKIPIF1<0最大，如图该正四面体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0在面SKIPIF1<0内的射影为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则球心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍)，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故选：B例题3．（2022·陕西·长安一中三模（文））如图，SKIPIF1<0是边长为6的正三角形SKIPIF1<0的一条中位线，将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0翻折至SKIPIF1<0，当三棱锥SKIPIF1<0的体积最大时，四棱锥SKIPIF1<0外接球SKIPIF1<0的表面积为_____；过SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0作球SKIPIF1<0的截面，则所得截面圆面积的最小值是__________.【答案】

39π

SKIPIF1<0解：由题意可知，当平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时，三棱锥SKIPIF1<0的体积最大，如图所示，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的外接圆的圆心SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0且靠近点SKIPIF1<0的三等分点处，设SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为四边形SKIPIF1<0的外接圆的圆心，过SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂线，过SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂线，则两垂线的交点即为四棱锥SKIPIF1<0的外接球的球心SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以四棱锥SKIPIF1<0外接球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0；由题意可知，以SKIPIF1<0为直径的球SKIPIF1<0的截面圆的面积最小，所以最小值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．题型归类练1．（2022·全国·高一阶段练习）已知三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该三棱锥的外接球的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B解：如图所示，将三棱锥SKIPIF1<0放在长、宽、高分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的长方体中，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球即为该长方本的外接球，所以外接球的直径SKIPIF1<0，∴该球的体积为SKIPIF1<0.故选：B2．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，三棱锥外接球表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B如图，将三棱锥补形为正方体，则外接球半径SKIPIF1<0.所以三棱锥外接球表面积SKIPIF1<0.故选：B.3．（2022·江苏·高二）设P，A，B，C是球O表面上的四个点，若PA⊥PB，PB⊥PC，PA⊥PC，且PA＝PB＝PC＝2，则球O的表面积为（

）A．48π B．SKIPIF1<0 C．12π D．SKIPIF1<0【答案】C如图构造正方体，由题意得球SKIPIF1<0即为正方体的外接球，正方体的体对角线即为球SKIPIF1<0的直径，设球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0.故选：C.4．（2022•三模拟）在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则其外接球的表面积为．【解析】解：如下图所示，将四面体SKIPIF1<0放在长方体SKIPIF1<0内，设该长方体的长、宽、高分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，上述三个等式全加得SKIPIF1<0，所以，该四面体的外接球直径为SKIPIF1<0，因此，四面体SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．5．（2022·广西贺州·高一期末）已知△ABC的三个顶点都在球O上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且三棱锥SKIPIF1<0，则球O的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．36SKIPIF1<0【答案】D△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取SKIPIF1<0中点H，连接OH，则点H为△ABC所在小圆圆心，SKIPIF1<0平面ABC则SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0则球O的半径SKIPIF1<0则球O的体积为SKIPIF1<0故选：D6．（2022·河南开封·高二期末（理））已知球SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0的外接球，球SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，正三角形SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的体积的最大值为______．【答案】SKIPIF1<0设SKIPIF1<0外接圆的圆心为SKIPIF1<0，因为正三角形SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由正弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，要使三棱锥SKIPIF1<0的体积最大，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且球心SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，因为球SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，由勾股定理得SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0体积的最大值SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<07．（2022·安徽省宣城中学高二期末）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是等边三角形，三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球表面积的最小值是___________.【答案】SKIPIF1<0设三棱锥外接球球心为O，底面ABC边长为a，三棱锥的高为h，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以外接球的球心为SA的中点，即为O，又底面SKIPIF1<0是等边三角形，设底面SKIPIF1<0外接圆的圆心为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，如图所示则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以三棱锥体积SKIPIF1<