新高考数学一轮复习第6章 第02讲 等差数列及其前n项和 精练（教师版）

第02讲等差数列及其前n项和(精练）A夯实基础一、单选题1．（2022·四川省南充市白塔中学高一阶段练习（文））在等差数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前6项之和为（

）A．12 B．32 C．36 D．37【答案】C数列SKIPIF1<0的前6项之和为SKIPIF1<0.故选：C.2．（2022·天津天津·高二期末）某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第1天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C由题意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，募捐构成了一个以10元为首项，以10元为公差的等差数列，根据题意，设共募捐了SKIPIF1<0天，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．3．（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）设等差数列SKIPIF1<0的公差为d，若数列SKIPIF1<0为递减数列，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D依题意，数列SKIPIF1<0是公差为d的等差数列，数列SKIPIF1<0为递减数列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D4．（2022·黑龙江双鸭山·高二期末）等差数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B∵等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故选：B5．（2022·山东师范大学附中模拟预测）如图，在杨辉三角形中，斜线SKIPIF1<0的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．361 B．374 C．385 D．395【答案】B根据杨辉三角的特征可以将数列继续写出到第22项：1，3，3，4，6，5，10，6，15，7，21，8，28，9，36，10，45，11，55，12，66，13，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：B6．（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0也适合，又由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选:A．7．（2022·全国·模拟预测）设等差数列SKIPIF1<0与等差数列SKIPIF1<0的前n项和分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若对于任意的正整数n都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.8．（2022·全国·高二专题练习）等差数列SKIPIF1<0的首项为正数，其前n项和为SKIPIF1<0.现有下列命题，其中是假命题的有（

）A．若SKIPIF1<0有最大值，则数列SKIPIF1<0的公差小于0B．若SKIPIF1<0，则使SKIPIF1<0的最大的n为18C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0中SKIPIF1<0最大D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0中的最小项是第9项【答案】B对于选项A，∵SKIPIF1<0有最大值，∴等差数列SKIPIF1<0一定有负数项，∴等差数列SKIPIF1<0为递减数列，故公差小于0，故选项A正确；对于选项B，∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则使SKIPIF1<0的最大的n为17，故选项B错误；对于选项C，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0中SKIPIF1<0最大，故选项C正确；对于选项D，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0中的最小项是第9项，故选项D正确.故选：B.二、多选题9．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二期中）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且SKIPIF1<0，则（

）A．d＜0 B．a10＝0 C．S18＜0 D．S8＜S9【答案】BCSKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以B正确又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以A错误SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故C正确SKIPIF1<0,故D错误故选：BC10．（2022·浙江温州·高二期末）某“最强大脑”大赛吸引了全球10000人参加，赞助商提供了2009枚智慧币作为比赛奖金．比赛结束后根据名次（没有并列名次的选手）进行奖励，要求第k名比第SKIPIF1<0名多2枚智慧币，每人得到的智慧币必须是正整数，且所有智慧币必须都分给参赛者，按此规则主办方可能给第一名分配（

）智慧币．A．300 B．293 C．93 D．89【答案】BD设第一名分配m个智慧币，且总共有x名参赛选手获奖，则智慧币分配如下：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵x，m都为正整数，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴第一名分配89或293个智慧币．故选：BD三、填空题11．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的公差为_______.【答案】2设数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：2．12．（2022·江苏·高二）首项为正数的等差数列，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0________时，SKIPIF1<0取到最大值.【答案】5或6##6或5由题意，设等差数列为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为单调递减的等差数列，即SKIPIF1<0故当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大.故答案为：5或6.四、解答题13．（2022·山东·高二阶段练习）在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0.(2)由等差数列的前SKIPIF1<0项和公式可得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0舍去）.14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.（1）求出SKIPIF1<0的通项公式；（2）求数列SKIPIF1<0前n项和最小时n的取值【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0前n项和取得最小值.（1）因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；显然SKIPIF1<0是，也满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；(2)因为SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为等差数列，其前n项和SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值.B能力提升一、单选题1．（2022·四川省绵阳南山中学高一期中）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则使得SKIPIF1<0的正整数SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故使得SKIPIF1<0的正整数SKIPIF1<0的最小值为19.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）已知公差非零的等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0 D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0【答案】C因公差非零的等差数列{an}满足SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0异号且均不为0，对于A，SKIPIF1<0，A不正确；对于B，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0，B不正确；对于C，由选项A知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0是递增数列，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，C正确；对于D，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0是递减数列，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D不正确.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为______．【答案】SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0或4时，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<04．（2022·辽宁辽阳·二模）“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过4200的正整数中，所有满足条件的数的和为______.【答案】82820由题可知满足被3除余2，被5除余3.被7除余2的最小的数为23，满足该条件的数从小到大构成以23为首项，SKIPIF1<0为公差的等差数列，其通项公式为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则所有满足条件的数的和为SKIPIF1<0.故答案为：82820.5．（2022·山西吕梁·二模（理））已知SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0的正整数SKIPIF1<0是________．【答案】SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以满足SKIPIF1<0的正整数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.6．（2022·湖南衡阳·三模）已知各项均为正数的数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【答案】1122由于数列SKIPIF1<0的各项均为正数，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为一个以2为首项，2为公差的等差数列，∴SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0故答案为：1122C综合素养1．（2022·山东济南·三模）如图1，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图2中的九宫格，将自然数1，2，3，…，SKIPIF1<0放置在n行n列SKIPIF1<0的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n阶幻方”．洛书就是一个3阶幻方，其“幻和”为15．则7阶幻方的“幻和”为（

）图1图2A．91 B．169 C．175 D．180【答案】C由题意，7阶幻方各行列和，即“幻和”为SKIPIF1<0.故选：C2．（2022·新疆克拉玛依·三模（文））南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23，则该数列的第31项为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D解：根据题意，设该数列为SKIPIF1<0，数列的前7项为2，3，5，8，12，17，23，则SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：D．3．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）“中国剩余定理”是关于整除的问题.现有这样一个问题“将1~2030这2030个自然数中，能被3整除余1且能被4整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列SKIPIF1<0，则该数列共有（

）A．170项 B．171项 C．168项 D．169项【答案】A能被3整除余1且能被4整除余1的数即被12整除余1的数，故SKIPIF1<0，由题意，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时成立，共170项.故选：A4．（2022·浙江·模拟预测）毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为SKIPIF1<0，总结规律并以此类推下去，第SKIPIF1<0个图形对应的点数为________，若这些数构成一个数列，记为数列SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0