新高考数学一轮复习第7章 第08讲 拓展一 空间几何体内接球与外接球问题 讲（学生版）

第08讲拓展一：空间几何体内接球与外接球问题(精讲）目录第一部分：典型例题剖析高频考点一：空间几何体的内切球问题高频考点二：空间几何体的外接球问题模型1：长（正）方体模型——公式法模型2：墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体）模型3：单面定球心法（定+算）模型4：双面定球心法（两次单面定球心）第一部分：典型例题剖析第一部分：典型例题剖析高频考点一：空间几何体的内切球问题建立模型球的内切问题（等体积法）例如：在四棱锥SKIPIF1<0中，内切球为球SKIPIF1<0，求球半径SKIPIF1<0.方法如下：SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0，可求出SKIPIF1<0.典型例题例题1．（2022·江苏·苏州外国语学校高一期末）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若球SKIPIF1<0在三棱锥SKIPIF1<0的内部且与四个面都相切（称球SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0的内切球），则球SKIPIF1<0的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题2．（2022·全国·高一）某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为___________，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为___________.例题3．（2022·全国·高一专题练习）如图，直三棱柱SKIPIF1<0有外接圆柱SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在棱SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，且三棱柱SKIPIF1<0有一个内切球，求三棱柱SKIPIF1<0的体积；题型归类练1．（2022·全国·高一）已知点O到直三棱柱SKIPIF1<0各面的距离都相等，球O是直三棱柱SKIPIF1<0的内切球，若球O的表面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长为4，则三棱锥SKIPIF1<0的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·湖南·高一期末）已知圆锥的底面半径为SKIPIF1<0，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.3．（2022·全国·高三专题练习（文））若正四棱锥SKIPIF1<0内接于球SKIPIF1<0，且底面SKIPIF1<0过球心SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的半径与正四棱锥SKIPIF1<0内切球的半径之比为__________.4．（2022·广西玉林·模拟预测（理））若正四棱锥SKIPIF1<0内接于球O，且底面SKIPIF1<0过球心O，球的半径为4，则该四棱锥内切球的体积为_________．高频考点二：空间几何体的外接球问题模型1：长（正）方体模型——公式法建立模型正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点（1）设长方体一个顶点出发的三条边长分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则外接球半径SKIPIF1<0；（2）设正方体边长为SKIPIF1<0，则外接球半径SKIPIF1<0；典型例题例题1．（2022·贵州黔西·高二期末（理））若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球的表面积为______________．例题2．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一期中）正方体SKIPIF1<0的棱长为2，则此正方体外接球的表面积是______.题型归类练1．（2022·全国·高一期末）正方体的外接球与内切球的表面积之比是（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·河北·深州长江中学高三期中）已知某正方体外接球的表面积为SKIPIF1<0，则该正方体的棱长为______．3．（2021·福建·莆田锦江中学高一期中）已知正方体的棱长为2，则其外接球的表面积为______．模型2：墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体）建立模型①墙角模型（三条线两个垂直）题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）②对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）典型例题例题1．（2022·全国·高一）若三棱锥SKIPIF1<0的三条侧棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两两互相垂直，且SKIPIF1<0，则其外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题2．（2022·江苏·南京师大附中高一期末）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该三棱锥外接球的表面积为_________；外接球体积为_________．题型归类练1．（2022·辽宁·本溪高中高一阶段练习）已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为SKIPIF1<0，则此三棱锥的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．3SKIPIF1<0 C．6SKIPIF1<0 D．9SKIPIF1<02．（2022·安徽·高一阶段练习）鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥SKIPIF1<0是一鳖臑，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·河北·沧县中学高一期中）三棱锥SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0两两垂直，且SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为___________.4．（2022·贵州·清华中学高三阶段练习（理））四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则经过A，B，C，D的外接球的表面积是__________．模型3：单面定球心法（定+算）建立模型单面定球心法（定+算）步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥SKIPIF1<0中，选中底面SKIPIF1<0，确定其外接圆圆心SKIPIF1<0（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心SKIPIF1<0）；②过外心SKIPIF1<0做（找）底面SKIPIF1<0的垂线，如图中SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,则球心一定在直线（注意不一定在线段SKIPIF1<0上）SKIPIF1<0上；③计算求半径SKIPIF1<0:在直线SKIPIF1<0上任取一点SKIPIF1<0如图：则SKIPIF1<0，利用公式SKIPIF1<0可计算出球半径SKIPIF1<0.典型例题例题1．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0都是边长为SKIPIF1<0的等边三角形，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则该四面体外接球的表面积为_________.例题2．（2023·山西大同·高三阶段练习）球内接直三棱柱SKIPIF1<0，则球表面积为___________.例题3．（2022·广西贺州·高一期末）已知SKIPIF1<0的三个顶点都在球SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且三棱锥SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．36SKIPIF1<0例题4．（2022·河南开封·高二期末（理））已知球SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0的外接球，球SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，正三角形SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的体积的最大值为______．题型归类练1．（2022·河北·衡水市第十三中学高一阶段练习）在正四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0截四棱锥SKIPIF1<0外接球的截面面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知三棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为（

）A．64π B．128π C．40π D．80π3．（2022·重庆市万州第二高级中学高一期中）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都在球SKIPIF1<0的球面上，且点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知点SKIPIF1<0在同一个球的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若四面体SKIPIF1<0的体积的最大值为SKIPIF1<0，则这个球的表面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·全国·高三专题练习）已知球SKIPIF1<0是正三棱锥SKIPIF1<0的外接球，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是___________.模型4：双面定球心法（两次单面定球心）建立模型如图：在三棱锥SKIPIF1<0中：①选定底面SKIPIF1<0，定SKIPIF1<0外接圆圆心SKIPIF1<0②选定面SKIPIF1<0，定SKIPIF1<0外接圆圆心SKIPIF1<0③分别过SKIPIF1<0做面SKIPIF1<0的垂线，和SKIPIF1<0做面SKIPIF1<0的垂线，两垂线交点即为外接球球心SKIPIF1<0.典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知点SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是边长为1的等边三角形，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的投影与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0异侧，则球SKIPIF1<0的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF