自动控制原理重点课件

第一章概述

第一节课程内容概述

一、控制理论的组成

1、经典控制论：针对单输入一一单输出系统；拉氏变

换；线性系统。

2、现代控制论：多输入——多输出系统；状态空间法;

线性及非线性系统。

离散系统的设计、分析、系统优化、系统智能化控制。

二、授课内容

1、控制系统的工作原理、系统组成、系统分类；

2、系统数学模型的建立。包括微分方程、传递函数、

频率特性。

3、系统性能分析。包括系统的稳定性分析；稳态误差

分析；时间响应分析；

4、系统综合。

5、Matlab软件及其在控制系统辅助设计中的应用。

三、学习本课程的目的

1、掌握自动控制系统的工作原理。

2、建立系统动态特性的概念。

3、掌握控制系统的设计及分析的方法。

4、为后续课程打下基础。（信号与系统、传感器、精

密测量等）

2012年9月n日起，共18次，单周1次课，双周2

次课。

第二节控制系统的工作原理

一、系统工作原理

1、举例

(1)恒温控制系统(controlsystem)

系统如图所示

•系统组成：恒压源，热电偶，放大转换元件,

电动机，减速器，分压器，热阻丝。

•系统工作过程：

与人工控制的比较:

人工控制：观察，比较，调节。

自动控制：检测，比较，调节。

两者工作过程相比较，不难发现，其过程都需要将当

前的温度与要达到的目标温度相比较，再根据比较的

结果决定调节的过程，这一过程就是反馈(feedback)

过程。所以控制是基于反馈实现的。无论人工控制，

还是自动控制都是如此。

•自动控制系统的工作原理：系统的输出能返回

系统的输入，与输入相比较，得到具有大小和方向

的偏差信号，根据偏差信号的大小和方向对系统的

输出进行调节。

系统根据偏差信号的大小和方向对输出的调节，其目

的是消除偏差。

(2)数控伺服系统

数控伺服系统是较典型的计算机控制系统。目前计算

机控制数控伺服系统有无反馈和有反馈两种形式，其

中，有反馈的又包括半闭环和全闭环。如图所示系统

为全闭环系统。

J一

度

控制

L单

一

匹

NC

CN补

插

速度控制

令

指

调节与驱动

一

i-一

实

际

实

际

速

度

位

置

反

馈

反

馈

翻再反褫率;

组成

工作过程

2、开环和闭环

(1)开环：开环控制系统信号是单一流向的，其特点

为：

输入--------—＞输出

特点：无检测、无反馈、系统的控制精度取决于系统组

成元件的精度。系统结构简单，易维护，造价低。无稳

定性问题。

(2)闭环：闭环控制系统的信号是封闭的，其特点为:

特点：有检测，有反馈，系统的控制精度高。系统结

构复杂，不易维护，造价高。存在稳定性问题。

第三节系统的组成及分类

一、系统的组成

1、组成：给定元件，比较元件，检测反馈元件，放大

转换元件，执行元件，控制对象，校正元件，辅助元

件。

2、基本结构：

二、系统的分类

1、按有无反馈分类：开环，闭环。

2、按系统组成元件分类：机械控制系统，电气控制系

统，机电控制系统。

3、按输出的形式分类：恒值控制系统，伺服控制系统,

程序控制系统。

第四节对控制系统的要求

一、稳定性：稳定性是反馈控制系统的首要问题，从

系统的响应看，系统是否稳定，也就是说系统的输出

能否跟随系统的输入，如果能跟随系统的输入，系统

是稳定的，否则系统不稳定。

StepResponse

From:U(1)

①

p

2二

=

d>

l6

u1

<

2468101214161820

Time(sec.)

二、准确性：控制精度指标。以稳态误差的大小衡量

其控制精度。

三、快速性：衡量系统从一状态到另一状态所需的时

间。

第二章拉普拉斯变换

第一节拉普拉斯变换

一、定义：

产(s)=乙"")］=［于Se-stdt

、典型信号的拉氏变换

1、阶跃信号:

1t>0

f(t)=

0t<0

oooo11

R(s)=^r(t)e~stdt=dt=--=——(0-1)=-

s

o0o

2、脉冲信号：

oot=o

3(，)=

0(wO

OO

L[^(0]=^S(t)e-stdt

o

11

e~stdt=lim———e—st

r->0

ST0

1—er

=lim—=limL=1

Tf0ST20

3、斜坡信号：

tt>o1

R3=《卬］2

0r<0

4、抛物线信号:

J—at~1Z0r「12r0

R(t)=j2乙[—at]=--

[0t<02$3

5、正弦、余弦信号:

aco

rrras

L[asincot}=~~；2L[acosaft]=--------

S+CDS+CD

三、性质：

1线性性质:

U。/⑺+〃272⑺]=%尸1G)+〃2尸2(s)

23

例1：乙[2+3〃=1十7

2时域中的位移定理：

L[f(t)]=F(s)

L[f(t-T)]=F(s)e-ts

例2：方波信号的函数表达

xQ)=一[〃«)—u(t—r)]X(t)

T

111l-e~sr

乙[xQ)]=—[___e-sr]=---------

TSSTS

3、复域中的位移定理：

H/(O]=尸(s)

Uf(t)e-at}=F(s+a)

例3：

s+1

例4：

sin^=—[e7fyz-e-j(ot]

2j

11112)。CD

“sincot]=[-------------]=----z---7=—;---7

2js-jcos+jco2js2+CD~s2+CD~

4、微分性质：

乙"⑺]=产")

乙吗”|=5/(s)—40)

dt

吗当=$2尸⑶―仪0)—八0)

(»)dnf(t^

若/(0)=0,/(0)=0,乙[=s〃户(s)

例5：

已知5^^+6粤^+y(t)=x(f)与出Y(S)表达式y(0)=0,<(0)=0

drdt

5、积分性质：

JSS

6、初值定理：

7、终值定理:

lim/Q)=limsF(s)

>0>QO

lim/(，)=lim5产($)

t----->oos------>0

练习：

1、求L氏变换

T

/«)=sin创0<Z<-

,0，取其它值

2、L[sin(r+—)]

4

第二节拉氏逆变换

一、逆变换表达式

]放

/«)=Ks)],]>(s)/ds

J-放

二、部分分式展开求逆变换

EV、A(s)A(s)

F(5)=----=----------------------------

B(s)(s_%)(s_%)(s_%…(s_)

1、无重根形式

若即)=0的根无重根，(1)式可展开为

b(s)二——+——+•••+—―

s-a,1s-a^Zns-a„

m=(s-a)F(s)

}11}S=Q]

m2=(S一出)尸(“Li

*

=(s-a1^Ffs)

lS=6

*

*

*

mn=("%)尸⑶

在确定了分式的g后，可根据=±得出

/«)=厂WG)]

a1a01

=m]e'+m^e--\----Fmne"

♦

=>Mdr

i=\

例：已知"s)=(s+i，+2),求其逆变换。

IJI1JIOI乙J

解：F(s)为无重根形式

m,

尸（s）=——+―

s+1s+2

mx=(5+1)尸(5)[=10

m2=(s+2)厂(s)1二一10

.../(O=厂WG)]=10/—10e~

例：已知义口二声而，求其逆变换。

解：

y（s）

m.=SJF(S),、=k

1s=O

m=(Ts+1)广(s)s___L——Tk

2一T

k-Tkkk

y（s）----1--------

sTs+1ss+—1

T

y(%)—k—keT

2、F（s）有重根的形式

若叫）=。的根有重根，（1）式可展开为

&s)

F(s)=

(5—。1))(5—。2＞八(5—〃〃7+1)

mm

尸（，）=un+———+•••

(5-。1)，(S-Q])，T(S—Q)s-ais-a2

1d(I)[(S—Q)万(s)]

(k-l)!ds(i)

例：求拉氏逆变换y⑸二7匕

mmm

y(s)=Tn+—n+—2—

sss+1

2

mn=5y(5)=1

s=0

d[s2y(s)](1\—1

m=-------------=------

l2ds(S+l)2

s=o3+D5=0

根2=(s+i)y⑸I—=I

i-ii

「.y（s）二—7H-------1-----------

SS5+1

/.y（/）—t—1+e'

3、含有复数根的情况：

若阳，）=。的根含有复数根，为共轲复数根。令内、。2为

一对共辄复数根，（1）式可展开为

「/、as+bm,

/(s)=---------------------+———+•••

(S_Q])(S_〃2)s-a3

mx无重根部分分子确定方法与前述无重根形式的方法

相同，复数根部分分子多项式系数a、b确定方法为：

（os+Msi=（s_Qi）（s_〃2*G）Li复数相

等，实部、虚部分别相等。联立求解，可确定〃、b

L/\5+1

例：求⑸=S（S2+S+1）的拉氏逆变换

解：F（s）中含有复数根，F⑸部分分式展开为

〜、as+bm

m=sF(s)\=1

•3一V

3+866=(r+s+l)/⑸

s=—0.5—jO.866

/八CQAQ

。(-0.45-/0.866)+bi=：--0-.-5----j-,0--.-8-6-6--

-0.5-j0.866

0.5-jO.866=研0.25+J0.866-0.75)+仇-0.5-j,0.866)

—0.5。-0.5/?—0.5

0.866。-0.866Z?=-0.866

a=—\,b=0

s

：.F(s)=--

ss2+S+1

1s+0.5—0.5

sz1、2zV3x2

(F+(5)

15+0.50.866x0.578

------------------------------------------------------p-------------------------------------------

s(5+0.5)2+0.8662(s+0.5)2+0.8662

・・•加)二厂［/(削

二1一泊gcosO.866/+0.5781八皿0.866/

=1-*°勺/+0.5782(-1.cos0.8661--/。琏sin0.866r)

Vl+0.5782V1+0.5782

=1-1.16e-°”sin(0.866f+9)

。二火7(总)”(-1.73)

U.J/O

第二章系统数学模型建立

第一节数学模型

一、数学模型的概念

用来描述系统动态特性的一组数学表达式

形式包括微分方程、传递函数、频率特性

二、数学模型的建立方法

1、微分方程是基本的数学模型，第一步即

建立系统的微分方程。

2、对于实际的系统，或多或少含有非线性

因素，如果非线性因素对系统输出影响很

小，可忽略不计，这样，可简化系统的微分

方程，以利于对系统的求解、分析。但是，

若非线性因素对系统的输出有一定影响，忽

略非线性因素的结果，造成对系统的分析结

果不能反映系统的实际情况，这样分析就变

得无意义，这种情况下，条件容许可采用线

性性化的办法，或计算机辅助分析和用非线

性理论来分析。

第二节系统微分方程的建立

一步骤

1、分析系统的组成，系统及环节的输入、

输出。

2、建立每个环节输入、输出的函数关系。

3、对非线性方程线性化。

4、消除中间变量，建立只含有系统输入、

输出及系统结构性能参数的微分方程。微分

方程的一般表达式写作

a

any®⑺+n-iySR⑺+…+%y⑺+y⑴

期0⑴+矶/吸升…+3⑺+媪。）

二、机械系统

1、典型元件：

质量元件阻尼元件

2、机械平移系统

例1：系统如图示，建立系统的微分方程。

解：

工户=。

rzzz/x/zzi

F「F2r3-a=0T

d2x(t)dx⑴]I'()1

/(O-m--^-c^-MO=o

drdtnLI_

d2x(t)dx⑴c,,x(r)f|t

m—^+tc—^+kx⑴=于⑴tpII

出力FiF2尸3

▼〃〃〃〃・

例2：系统如图示，建立系统的微分方程。

解：设中间变量为工⑺，其上一

力平衡方程为k|S

3、机械回转系统

例3：

解：由图示系统，可得系

统微分方程为

2

d0de1八T

--+c——+kO=T

dtdt

三、电气系统

1、常用元件

电阻电容电感

L

rdi

u=Li—

dt

2举例

例1,建立R-C电路的微分方程。

解：R-C电路如图，设电路电流为i

Uj=iR+u0R

1f.,du

u=—\iat=>i=c----Q

Qt

代入得:Rc如+%=%

dt°'

例2：建立R-L-C电路的微分方程。

解：R-L-C电路如图，设电路电流为，

u.-iR+L-+URl

1dtQ

"iC-p-u

1f.,.du°----------L_o

u=—\idt^i=c----Q

0c

代入得:LcR+Rc叫+“0=%

dt2dt°'

例3：建立图示有源网络的微分方程。

解：

图2.8有源电网络

b1（£士，2（£,」3Rdt

RC必©=-%«）

dt

图2-3所示为电枢控制直流电动机的微分

方程，要求取电枢电压U〃⑴仞为输入量,

电动机转速3加⑺(md/s)为输出量，列写微

分方程。图中R”(。人4(切分别是电枢电

Jm,fm

w

路的电阻和电感，是折合到电动机

轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。

解：电枢控制直流电动机的工作实质是将

输入的电能转换为机械能，也就是由输入的

电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流

ia(t),再由电流ia(t)与激磁磁通相互作用

产生电磁转距Mm(t),从而拖动负载运动。

因此，直流电动机的运动方程可由以下三部

分组成。

■电枢回路电压平衡方程■电磁转距方程■电

动机轴上的转距平衡方程

电枢回路电压平衡方程：

U(0=L)a⑺+RI⑺+石

Q\/a丁/aav/a

at

外是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生

的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正

比，方向与电枢电压⑺相反，即

Ea-Ce3m(t)

Ce~反电势系数W/r〃d/s)

电磁转距方程：

电动机轴上的转距平衡方程:

消去中间变量得

，虫’+/必⑺=/。）-此⑺

at

”“与铲+电，+c卫）”（。

atat

二C“Ua⑴驾D-RMc（t）

at

第三节非线性微分方程的线性化

一、线性化的概念

1、线性与非线性叠加原理：对于线性系统，两个或两

个以上的信号同时输入，所得输出等于其各自输入所得输出

的和。

略去高于一次导数项

二、举例

例：建立图示水箱水位系统的微分方程。输

入0,输出。

解：

(Qi_Qo)dt=sdh

dh八八

s—jT+Go=Qi

at

Co=cc^[h

s+oc^h—Q.

dt1

将线性化

代入原方程，把变量表示为额定点与增量和

的形式。

S*也+,阪+木冽=0。+叫

dAhI—a

s--+--a-Jh-\--------A/z=0o+'Qi

dtQ

由静态方程a新7=0o

dAha或写为幽•十

s-----+Ah=A0s=Qj

dtdt2M

5Tx

Q

E

第三章传递函数

第一节传递函数

一、定义：系统初始状态为零，系统输出与输入的拉氏变换

之比。

系统输入、输出分别为「⑺、,⑺，系统传递函数

为G(s),则G(s)=幺功

L[r(r)]R(s)

二、求法：

1、由微分方程求取。

若系统的微分方程为

。/⑺⑴+an-ly〃)+•••+%：/(/)+斯州

二〃H)⑺+%钾-%)+…+3⑺+婚(。

对微分方程的两端求拉氏变换

asnY(s)+a_sn~lY(s)4---1-asY(s)+即丫。)

fn<­，VnJL}J}L

"或s'"XG)+勾」s'MX(s)+•••+4sX(s)+/X(s)

nnx

(ans+an_xs~+…+%s+q())y(s)

二(勾…+M+b°)X(s)

y(s)"腔+加广】…+号+瓦

5*==一~n,~~〃一1.।~~।~

X(s)ans+an_}sH---Fa}s+aG

例1：系统微分方程为

m++c号+kx(t)=于⑴，求系统的传递函

数。

解：由给定的微分方程，

d2x(t)dx(t)

m-------------------Fc----------------1-kx{t)=t\t)

dt2dt

ms2X(s)+csX(s)+kX(s)=F(s)

(ms7+cs+k)X(s)=尸(s)

〜、X(s)1

G(s)=-----=——»--------

F(5)ms+cs+k

例2：求R-C电路的传递函数。

解：

Re---+"0=

dt°，

RCSUD(s)+(s)=U9)

(Rcs+l)0o(s)=Ui(s)

1

G(s)=

Res+1

三、性质

1、系统的传递函数取决于系统的本身，与

系统的输入、输出及其它外界因素无关。

2、对于实际的物理系统，n>m

四、概念

1、零点、极点：

零点:系统传递函数分子s多项式为零的根。

极点:系统传递函数分母s多项式为零的根。

2、传递系数：G(0)值定义为传递系数。

3、特征方程：传递函数分母s多项式。

4、阶：系统特征方程s的最高指数。

例3、以例1、例2的结果为例。

第二节典型环节及其传递函数

名

微分方程传递函数

称

比

例

y(0=kx(t)k

环

节

积

分1

y(t)=

环s

节

微

分

yd%苏

环

节

惯

性了等+yQ)=%Q)]

环dtTs+1

阶

微/.dx(t).、

y(/)=r+%(/)TS+\

分dt

环

振

荡或

―+243n――+》(。=3nM)

环dtdt1+2弛s+①;

节

阶

微

T2S2+2力+1

分

环

延

时

环

节

第三节传递函数的方块图

一、组成元素

1、方块单元：表示环节或系统的传递函数。

2、叠加点：表示信号的运算及其结果。

3、信号线：带箭头的直线或折线。箭头的

方向表示信号的流向。

G(s)

方块单元叠加点信号线

二、基本运算

1、串联

A-------AG,B

一kGi(s)一kG2G)

G(S)=G[(S)G2(S)

2、并联

B=A(G1+G2)

AG2

G(S)=GI(S)+G2(S)

3、反馈

(A-BH)Gi=BOAGi=B(l+Gi")

G(s)=-=

三、等效移动原则

1、引出点的移动：保证引出信号不变

(1)前移

结论：引出点前移必须在引出回路乘以其所

跨跃环节的传递函数

(2)后移

A--------B

一GI一

—►--------

AA

结论：引出点后移必须在引出回路除以其所

跨跃环节的传递函数

2、比较点的移动：保证输出信号不变

(1)前移

结论：比较点前移必须在反馈回路除以其所

跨跃环节的传递函数

(2)后移

AB=(A-C)Gi

C

结论：比较点后移必须在反馈回路乘以其所

跨跃环节的传递函数

3、相邻的比较点

结论：相邻的比较点的位置可互换

4、同一信号线上的引出点

AA

A——I：A

结论：同一信号线上的引出点的位置可互换

5、相邻的比较点与引出点位置互换

结论：曲邻的IX牧区口⑺由火、仪直口怏1史不

统方块图多了一个比较点而复杂化，应尽量

避免其位置互换。

四、简化方块图求系统的传递函数

建立系统的方块图，利用基本运算和等

效的移动原则，对方块图简化求传递函数是

实际工作中常用的方法。下面以一例子来说

明简化方块图求传递函数的方法。

例：系统方块图如图示，简化求传递函数。

将a点后移

G3G4

G'=

l+G3G4G$

G2G3G4

1+G2G3G5+G3G4G6

Xx°

-----AG->

五、方块图的建立

1、步骤：

・建立系统微分方程组。

•对微分方程求拉氏变换。

•建立局部方块图。

将局部方块图连接。

2、举例

例1：建立电路的方块图，并传递函数。

解：

ui=iR+%

1C•1..dllQ

=—\iat^>i=c---

U,(s)=Ks)R+UQ(s)=[(/,.(s)—u0(s)]：=/(s)

R

/(s)=csUo(s)=>—/(5)=U0(s)

cs

U0(s)

11

Rcs1

~ir1+Res

1H----•—

Rcs

例2、建立图示系统的方块图，求传递函数。

解：设中间变量为M。，其力

平衡方程为

^(xz.-x0)=c(x0-x)

c(x0-x)=k2x

K(X,-X°)=cs(X。-X)

cs(X.-X)=kX

\J乙?

例3、建立直流电动机的方块图，求传递函

数。

解：在第三章中，建立直流电动机的微分方

程为

(u.=iR+L空+er

dt

e=keco

T=kti

—dco

_J-----------1-Jco+Ti

dt

5=IR+Lsl+E

E=ked

T=ktI

T=JsCl+/n+7；

1,1

----------K----------

Ls+RJs+fkt

G⑸二•i-----r—(Ls+RXJs+f)+kk

}+Ls+RktJs+fkeet

若忽略L、R

11

G(s)=

RJs+kektkeTms+1

Tm：机电时间常数7；=旦

kekt

第五章时域分析法

在前四章的讲授内容里，我们以学习了

关于系统的工作原理、对系统的要求、系统

的模型建立。本章中，我们讲授基于传递函

数对系统性能的分析，包括系统的稳定性、

准确性、快速性三方面。

第一节系统稳定性分析

一、稳定性的概念

1、稳定性：系统的稳定性是系统设计首先

要保证的。系统不稳定，系统将无法工作。

直观的讲，系统的输出是否能跟随系统的

输入，若系统输入一恒值，其输出也为一

恒值信号，那么系统是稳定的。

定义：若系统的初始状态为零，系统对脉冲信号输入所得输

出趋于零，系统是稳定的。反之，系统不稳定。

2、系统稳定的条件：

系统传递函数

G（s）=9=尸4s）=yS

8（s）n（s+p,）白5+〃,

系统的脉冲响应y⑺=厂9⑸]=2>"卬

Z=1

(1)若系统的极点-P,为负实数，那么

物，。)=。，如果有一个极点为正，那么，系

统脉冲响应!吧丁⑺。。。所以系统的极点为

实数，应全部为负实数，才能满足吧)(/)=。。

(2)若系统的极点含有复数根，应为共瓢

复根。设共舸复根P1=。+沏P2=〃-力,

y«)=『[G(s)]

■

i=l

n

(ajb)tPit

=叫6一("+彻'+m2e~~+^m1e~

z=3

几

athtjht

=e~{mxe~'+m2e')+，皿”

z=3

上式可见，复根部分的输出在时间趋于无穷

大时趋于零，只有复根的实部为正，也就是

说，系统的复数极点应为负实部。

从上面的讨论得出，系统稳定与否，取

决于系统的极点，系统的极点为实数，应全

部为负实数，系统的极点为复数，其实部为

负实数。或者说，系统稳定，系统的极点应

全部位于复平面的左半部。

3、影响系统稳定性的因素：系统稳定与否,

取决于系统的本身，与外界因素无关。

二、劳斯判据

1、劳斯判据：

(1)系统特征方程中的各项系数同号且不

缺项。

(2)劳斯行列中第一列各元素同号。

系统稳定，反之，系统不稳定。劳斯行列

第一列元素符号变化的次数等于正极点的

个数。

系统特征方程：

B⑶二〃产+〃”/」+与_2产2++%s+〃o

sn%an-2%-4an-6

S〃T

an-\an-3an-5an-l

H-24424

n-3

B2氏4

S°N\

-1anan-2

4

an-\an-l“〃-3

-i

44

an-l4L1an-5

anan-6

4

an-\an-ian-l

an-3

4

a

%一1n-5

44

_-1，〃一7

A44

例：系统的闭环传递函数为

20(s+1)

G(s)=

/+31+400/+20s+20

系统特征方程中各系数同号且不缺项。

劳斯行列式为

54140020

533200

52393.3200

5119.850

5°20

劳斯行列第一列元素同号，系统稳定。

2、二阶、三阶系统稳定条件

(1)二阶系统:

2

特征方程5(5)=a2s+%5+〃0其中

a2>0,6!]>O,〃o>0

2

。2“0

a{0

5°aQ

阶系统系数同号,系统稳定O

(2)三阶系统

32

特征方程8(5)=〃3:+Q2s+。15+。0

其中a3>0,出〉°，。1〉°，〃o〉0

3

5。3%

2

S。2。()

s1心

s°与

〃3ax%

〃2ao。2

40

Bi-ao

第一列同号，闭环系统稳定，须满足。避2〉心劭

3、两种特殊情况：

4、应用：

(1)判定系统的稳定性。

(2)确定系统参数。

第二节系统时间响应分析

、阶系统:

G(s)=--—

Ts+1

输入单位阶跃信号,《)=i，R(s)=g,输出

11—1

丫⑶=G(s)R(s)=---------=—I-

s(Ts+l)sf

s+一

T

i

--1

T

y（。二1一e

?T=l;t=O:1:10;y=1-exp(-t/T);x=exp(-t/T);plot(

t,y),holdon,plot(t,x),y(1),y(2),y(3),y(4),y(5)

ans=0

ans=0.6321

ans=0.8647

ans=0.9502

ans=0.9817

一阶系统的阶跃响应无震荡，无超调，是一

条从零起至稳态输出值的光滑曲线。

dtt=0~Tez=0-T

T越小，响应越快。以稳态输出值

y(oo)・A,(A=±2%,±5%)做允差范围，

响应从某时刻a进入允差范围，并认时，

响应不超出允差范围，把ts定义为调整时间,

从计算的结果得出

_J3TA=±5%

'"[4TA=±2%

、阶系统

2

3n

传递函数°⑸二

s2+2g7s+oJ2

1、片对系统极点分布的影响:其极点

»,2二苫包土织正」

当时，过阻尼系统，为两负实数极

点。

SL纲士

当。二1时，临界阻尼系统，为两相同的负

实数极点。

*,2二.①“

当0＜占＜1时，欠阻尼系统，为实部为负的

一对共瓢复根。

片,2二一钏"土扪下

当4=0时，无阻尼系统，为实部为零的

一对共躯复根。

4,2=七j①〃

2、系统的阶跃响应：

输入/⑺=l,R(s)=1

Y(s)=G(s)H(s)

(1)。=。无阻尼系统

小)=

s(s?+。「)

S(S+i(Dn)(5-j(j)n)

SS+j①〃s-j①〃

11

y⑺=1—晨小晨叱

22

1.，.，

=1——(6一,“温+ew)=1-coscot

2n

StepResponse

From:U(1)

Time(sec.)

?x=0;w=l;num=wA2;den=[l,2*x*w,wA2];G=tf

(num,den);t=O:0.1:10;step(G,t),grid

(2)J>1过阻尼系统

1rriim,

=——l-------1------

SS—S]S—S2

m.=---------------------,—<O

2(1-l-^2-1)

1八

=-----------,—>O

2

2也2-1+^-1)

Sxts

yQ)=1+mxe+m2e

StepResponse

From:U(1)

1

0.9

0.8

0.7

6

①

npe

A5

*±_g

Edl

<4

3

2

1

0

o23456789

Time(sec.)

?x=1.5;w=1.5;num=wA2;den=[l,2*x*w,wA2];

G=tf(num,den);t=O:0.1:10;step(G,t),grid

(3)J=1临界阻尼系统

co2

y⑸二——--

s(s+con)

1m,

=---1-----------H-----------

S(S+%)S+%

相1=y(S)(S+69〃)2=~CDn

S=­CDn

dn

相2=-y-[Y(S)(S+G〃)]=­1

as

y(t)=l-^nte~^—e"

=1—e一砥'(I+GJ)

StepResponse

From:U(1)

1

8

o.

o.7

o.

o.

o.6

o.

-mseo.5

_Ao.

d_E

<E4

3

2

1

0

o23456789o

Time(sec.)

?x=1;w=1.5;num=wA2;den=[1,2*x*w,wA2];G

=tf(num,den);t=0:0.1:10;step(G,t),grid

(4)欠阻尼系统

StepResponse

From:U(1)

1.4

L2

1

8

①

pS

aa

>

d=

l6

ul

4S6

0.4

0.2

0

012345678910

Time(sec.)

?x=0.5;w=1.5;num=wA2;den=[l,2*x*w,wA2];

G=tf(num,den);t=0:0.1:lO;step(G,t),grid

CD2

小）=几

9

s(s+2^cons+con)

1as+b

I?2

ss+2<^cons+con

as+b

s=~^(On+JMnVLT

a=—l,b=—2^con

y(S)=J________"+■〃)+■〃

―S(S+9)2+3乒亨)2

=J____________s+M_

—S(s+皿)2+(%41T2)2

…苦________.

(S+-0〃)2+(%Ji—〈2)2J12

t

yQ)=1—e33ncoscot----〔e""sinco

dJi、-¥

=1-----/1e3。"(A/1—coscot+sincot)

Ji—¥dd

三、欠阻尼系统阶跃响应指标：

1、响应指标

(1)上升时间b:系统阶跃响应第一次达

到稳态值所用的时间。

(2)峰值时间行系统阶跃响应第一次

达到最大值所用的时间。

(3)调整时间&：与一阶系统阶跃响应定

义调整时间一样，以

y(oo)・A,(A=±2%,±5%)做允差范围,

响应从某时刻人进入允差范围，并t>h

时，响应不超出允差范围，把质定义为

调整时间。

(4)最大百分比超调量。％：

0%;MK00)*wo%

丁3)

2、响应指标的计算：

(1)上升时间占：据定义,令y(o)=i得

sin(%。+⑼=0

71—CD

上升时间％与阻尼比4和固有频率以有

关。

自对上升时间片的影响：J小，以小。

以对上升时间4的影响：以大，上升时

间4小。

?x=0.5;w=1;num=wA2;den=[1,2*x*w,wA2];G

=tf(num,den);t=O:0.1:20;step(G,t),holdon,grid

?x=0.5;w=2;num=wA2;den=[l,2^x*w,wA2];G

=tf(num,den);t=0:0.1:20;step(G,t),holdon,grid

?x=0.5;w=0.5;num=wA2;den=[l,2*x*w,wA2];

G=tf(num,den);t=0:0.1:20;step(G,t),hold

on,grid

StepResponse

1.4

(2)峰值时间行

dy(t)

=0

dt

71

p

3d

J对峰值时间/p的影响：自小，4小。

①n对峰值时间Zp的影响：以大，％小o

(3)调整时间G：

3〜4

4对调整时间人的影响：自大，人小。

以对调整时间人的影响：①〃大,人小。

（4）最大百分比超调量。%

0%;"♦）一"功x100%

y（oo）

二6二X100%

影响最大百分比超调量的因素只有阻尼比

ag越小，最大百分比超调量越大。

三、高阶系统响应分析

1、高阶系统的瞬态响应形式

m

忆11(5+1)

i=l

y(s)=qr

sfiG+p/nd

j=lk=l

式中q+2r=〃，将上式部分分式展开

V(c\_^।V4-(S+费外)+Ck%J】-J'

I(S)=---r2^----------r2,--------------------------------

2

Sj=ls+pjk=Ts+2^kcoks+cok

__r

y⑺=a+WX.e力+Z4e"sin(①/+%)

k=T

由上式可以看出，高阶系统的阶跃响应除稳

态输出项，是由一些一阶系统和二阶系统衰

减因子组成。

以三阶系统为例：

(1)三实数极点：

k(as+b)

G(s)=--------------------------

(S+PI)(S+P2)(S+P3)

在MATLAB下求解

StepResponse

From:U(1)

0.181Iiiii

S6

64

①

p

n

l

=

d

E

4

p3=10,z=0.5

D3==30

,z三0一5：一

k=l；z=[J;p=[-1,-2,-10];

G=zpk(z,p,k);

t=0:0.1:10;

step(G,t),holdon

极点增大，响应速度加快。这表明含有极点

的因子衰件加快。系统含有零点，上升时间

缩短，调整时间加大，有超调，但加大零点,

超调减小。

在无零点、极点分别为-1、-2、-3情况下，

其阶跃响应及各因子如图示，含有-3极点的

因子衰减快，在零点为-0.5时，含有-3极点

的因子为正项，使输出有超调，若加大零点,

该项值减小直至为负，超调也相应减小直至

无超调。

心)=---------------------

s(s+1)(5+2)(5+3)

1!1,

_6---2----1.-----2----------6---

s5+15+25+3

/、11।1八一2，1八一3/

yQ)=「——c-\—e-----c

6226

y(s)=------5+0,5------

s(s+l)(s+2)(s+3)

£2A

_12,44.12

------------1----------------------------------------1----------------

s5+1s+2s+3

/,、11T3一275_3t

yQ)=---1—€------------€~\------------€

124412

(2)由一阶和二阶因子组成的三阶系统:

k

G(s)=

(TS+1)(S2+2*V+OJ)

在人0.5回=1时，一阶因子的时间常数

T=0.1』,2,4时的阶跃响应如图示。二阶因子

的极点不变，T变化，一阶因子的极点发生

变化，T=0.1,l时，一阶因子的极点在二阶

因子的极点的左侧，响应有振荡，二阶因子

对响应的影响较大。T=2时，一阶因子的极

点与二阶因子的极点的实部相同，一阶因子

对响应的影响加大。T=4时，一阶因子的极

点在二阶因子的极点的右侧，响应无震荡、

无超调，一阶因子对响应的影响进一步加

大。这说明，靠近虚轴的极点的因子对响应

大。

Time(sec.)

t=o:0.1:10;

T=0.1;

w=l;

x=0.5;

k=(1/T)*wA2;

z=[]；

p=[—l/T,-x*w+j*w*sqrt(l-xA2),-x*w-j*w*sqrt(l-xA2)];

G=zpk(z,p,k);

step(Gzt)rholdon

t=0:0.1:10;y=l-l/3*exp(-l/2*t),*(4+2*sin(l/2*sqrt(3)*t-pi/6));yl=-l/3*exp(-l/2*t);y2=4+2*sin(l

/2*sqrt(3)*t-pi/6);y3=yl.*y2;plot(t,y,t,yl,t,y2,t,y3)

2、主导极点

在高阶系统的闭环极点中，如果距虚轴

最近的闭环极点，其周围没有零点，而且与

其他闭环极点的实部超过五倍以上，则这种

极点称为闭环主导极点。

在前面的例子中，我们已经看到，靠近

虚轴的极点所在的环节对系统的输出有较

大的影响，高阶系统的响应由主导极点所在

环节起决定影响，这样，可将高阶系统降阶，

利于系统响应分析。

例；

G（s）=----------1---------•，其中玉=1,讨论5=0」1210

（小+1）（心s+D

时的阶跃响应。

解：