2.2.2有理数的除法（2）混合运算 提分练-2024-2025学年七年级数学人教版（2024）（含解析）

2.2.2有理数的除法（2）混合运算（新教材，七大类型分层提分练）类型一、有理数的乘除混合运算1．（22-23七年级上·云南保山·期中）计算结果等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，根据有理数的乘除运算法则直接计算即可，掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键．【详解】解：原式，，故选：．2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：(1)．(2)．【答案】(1)1(2)【分析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键．（1）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可；（2）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可．【详解】（1）；（2）．3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了有理数乘除法，熟记有理数乘除法则是解题的关键．根据有理数的乘除法则进行计算便可．【详解】（1）；（2）．4．（2022七年级上·全国·专题练习）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)18(2)(3)54【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则．（1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可；（2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可；（3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．类型二、有理数的四则混合运算5．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据有理数减法，乘除混合，四则混合运算法则进行计算，判断即可．【详解】解：A．，故A错误；B．，故B错误；C．，故C错误；D．，故D正确．故选：D．6．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算的值为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】原式先计算括号内的，再进行除法运算即可．【详解】解：，故选：B【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．7．（23-24七年级上·云南·阶段练习）计算：①；②．【答案】①3；②【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，以及含绝对值的有理数四则混合运算．①根据有理数的乘除混合运算法则准确计算即可；②根据绝对值的化简法则和有理数四则混合运算法则准确计算即可．【详解】解：①，，；②，，，，．8．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）下面各题，能简算的要写出必要的简算过程(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据分数的乘除法法则以及乘法的交换律和结合律计算即可；（2）根据乘法分配律以及分数的乘除法法则计算即可；本题考查了分数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．【详解】（1）（2）类型三、有理数的混合运算的过程性材料阅读9．（22-23七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题：计算：解：原式（第一步）（第二步）（第三步）(1)上面解题过程有两处错误：第一处是第______________步，错误原因是______________；第二处是第______________步，错误原因是______________；(2)请写出正确的结果______________．【答案】(1)二；没有按同级运算从左至右运算；三；符号弄错(2)【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，乘除同时出现时，按照从左到右顺序依次计算不能乱了顺序．（1）从运算的顺序，运算符号，运算结果三个方面去分析求解即可．（2）按照正确的运算顺序，规范解答即可．【详解】（1）根据题意，得：第一处是第2步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算；第二处是第3步，错误原因是符号弄错，同号得正，故答案为：二；没有按同级运算从左至右运算；三；符号弄错．（2）．10．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题．计算：．解：方法一：原式．方法二：原式的倒数为：故原式．用适当的方法计算：．【答案】【分析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．求出原式的倒数，即可确定出原式的值．【详解】解：∵，∴原式．11．（23-24七年级上·河北邢台·期中）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图1，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右列，然后用乘数47的每位数字分别乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397．

如图2，用“格子乘法”表示，则；利用图2的结果可以计算．

【答案】7【分析】本题主要考查了有理数混合运算，数字规律探究；（1）利用“格子乘法”表示即可得到m的值；（2）根据解析（1）得出，代入求值即可．解题的关键是根据题干信息得出规律，准确计算．【详解】解：（1）利用“格子乘法”表示即可得到m的值，如图所示：

，故答案为：7；（2）根据图可知：，．故答案为：．类型四、有理数的混合运算的灵活应用12．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）小林在计算“”时，误将“÷”看成“＋”，结果得50，则的值为（

）A．10 B．16 C． D．【答案】B【分析】本题考查了有理数的混合运算，先根据题意计算出“”表示的数，然后再进行有理数的混合运算即可；解题的关键是准确计算出“”表示的数．【详解】解：由题意得：，故选：B．13．（2024七年级·全国·竞赛）计算：．【答案】【分析】根据原式的特点进行拆项，再进行加减运算即可得到答案，找到运算规律是解题的关键．【详解】解；原式．故答案为：14．（22-23七年级上·浙江·开学考试）根据，直接写出下面算式的得数．

【答案】////【分析】根据有理数的乘除混合计算法则先去括号，然后把整体代入求解即可．【详解】解：∵，∴，，故答案为：，．【点睛】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．15．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，5张卡片分别写了5个不同的整数，同时抽取3张，若这3张卡片上各数之积最小为，则卡片上m表示的数中最小的为．【答案】【分析】本题主要考查了有理数的运算，解题的关键是根据3张卡片上各数之积最小为，确定m的最小取值．【详解】解：∵5张卡片分别写了5个不同的整数，同时抽取3张，这3张卡片上各数之积最小为，∴当抽到和时，m的取值最小，∴m的最小值为．故答案为：．16．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输出的最后结果为时，求输入的初始值，且为正整数．【答案】或或【分析】本题考查代数式求值及有理数运算，解题的关键是结合已知条件列得正确的算式，继而确定符合题意的x的值即可．【详解】解：当输出的最后结果为时，则，，，，，，，∵为正整数，∴输入的初始值为或或．17．（21-22七年级上·广东广州·开学考试）“凑24点”的游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大、小王剩下52张（如果初练也可只用这40张牌），任意抽取4张牌（称牌组），用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24，每张牌必须用一次且只能用一次，并不能用几张牌组成一个多位数，如抽出的牌是3、8、8、9，那么算式为或等，在下面4个选项中，可以凑出24点的是（填序号）．①1、2、3、3②1、5、5、5③2、2、2、2④3、3、3、3【答案】①②④【分析】本题考查有理数的混合运算，正确运用运算律及适当添加括号是解题的关键．用加减乘除对所给的四组数据进行运算，判断能否算成24即可．【详解】解：①，所以第①组数可以算成24．②，即第②组数可以算成24．③因为，所以用加减乘除无法算成24．④，即第④组数可以算成24．故答案为：①②④．类型五、有理数的乘除中的符号判定及式子化简18．（18-19七年级上·山东青岛·单元测试）如图，点、、在数轴上表示的数分别为，，，且，则下列结论中：①；②；③；④，其中正确的个数有（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据图示，可得，，据此逐项判定即可．【详解】解：由题意可知：，，，∴①错误；∵，，∴，，∴②错误；∵，，∴，，∴③正确；∵，∴④错误，∴正确的个数有1个．故选：A．【点睛】本题考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，有理数的运算，要熟练掌握．19．（23-24七年级上·四川达州·期中）已知有理数a，b，c满足，则．【答案】1【分析】本题考查了绝对值，有理数的乘除法，根据可以看出，a，b，c中必有两负一正，从而可得出的值．解题的关键是得到a，b，c中必有两负一正．【详解】∵，∴a，b，c中必有两负一正，即之积为正，∴．故答案为：1．20．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式．【答案】【分析】本题考查了绝对值的定义，代数式，解题的关键是掌握绝对值的定义．根据绝对值的定义求解即可．【详解】解：，，，，，，，，故答案为：1类型六、有理数的乘除混合运算的新定义问题21．（23-24六年级上·山东烟台·期末）对于有理数、，定义运算，则的值为（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【详解】解：∵，∴，故选：A．22．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）定义“!”是一种数学运算符号，并且，，，．…，则的值为（

）A． B．99! C．100 D．2!【答案】C【分析】此题考查了新定义运算．根据新定义运算，进行求解即可．【详解】解：根据题意得，故选：C．二、填空题23．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）定义一种新运算：，如，则．【答案】0【分析】本题考查了新定义，有理数混合运算，先根据新定义计算出，然后再根据新定义计算即可．【详解】解：∵，∴，．故．故答案为：0．24．（23-24七年级上·湖南怀化·期中）定义一种新的运算：，如，则=．【答案】【分析】本题考查有理数的混合运算，根据，可以求得所求式子的值，本题得以解决．【详解】解：，∴；故答案为：三、解答题25．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）涵涵是一个聪明又富有想象力的学生，学习了“有理数的运算”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念．规定：若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，把记作，记作，请你根据涵涵的规定解决下列问题：(1)______；______；(2)关于“有理数的除方”，下列说法正确的是______；（填序号）①对于任何正整数，都有；②；③；④对于任何正整数，都有．(3)计算【答案】(1)；(2)③(3)【分析】本题主要考查了定义新运算，有理数的除法．熟练掌握新定义，有理数的除法法则是解决本题的关键．（1）根据新定义和有理数的除法计算即可；（2）①分n为奇数和偶数的两种情况，计算判断；②等式两端分别计算，比较结果即可；③按新定义计算，可判断正确；④为偶数，偶数个负数相除，结果应为正．（3）先按照新定义计算，再按有理数的乘除法计算即可．【详解】（1），；故答案为：，；（2）①对于任何正整数n，当n为偶数时，有,n为奇数时，，故①错误；②∵，，∴，故②错误；③∵，故③正确；④对于任何正整数n，都有，而不是，故④错误；故答案为：③；（3）．类型七、有理数的乘除混合运算的实际问题26．（23-24七年级上·广东广州·期中）6袋大米，以每袋为标准，超过的千克数记作正数，不足的记作负数记录如下（单位：）：0.3，0，，，1.2，，(1)最重的一袋大米与最轻的一袋大米相差多少千克？(2)这6袋大米的平均质量是多少千克？【答案】(1)最重的一袋大米与最轻的一袋大米相差1.9千克(2)这6袋大米的平均质量为50.05千克【分析】本题考查了正负数的意义、有理数的混合运算的实际应用、有理数的减法的实际应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键．（1）根据题意，利用有理数的减法列式计算即可；（2）先计算出6袋大米的总重量，再除以6即可得出平均质量．【详解】（1）解：由题意得：最重的一袋大米与最轻的一袋大米相差，最重的一袋大米与最轻的一袋大米相差1.9千克；（2）解：由题意得：这6袋大米的总质量为：，这6袋大米的平均质量为：，这6袋大米的平均质量为50.05千克．27．（23-24七年级上·山东威海·期中）气象统计资料表明：高山上的温度每升高100米，平均气温下降．已知山脚的温度是．(1)若这座山的高度是2千米，求山顶的温度；(2)小明在上山过程中看到温度计上的读数是，此时他距山脚有多高？【答案】(1)(2)米【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用．（1）根据题意列式计算即可；（2）根据题意列式计算即可．结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．【详解】（1）解：，即山顶的温度为；（2）（米），即他距山脚1500米．28．（23-24七年级上·广西南宁·期中）今年上林县的稻谷喜获丰收，老李家的一片地收割的稻谷用规定可装稻谷的袋子共装了12袋，经过称重，这12袋稻谷的重量（单位：）记录如下；（超出的记作“”）、、、、、、、、、、、(1)老李家的这片地一共收割了多少千克稻谷？(2)平均每袋装了多少千克稻谷？(3)若每千克稻谷卖元，求老李家这片地的稻谷一共可卖多少元？【答案】(1)老李家的这片地一共收割了546千克稻谷(2)平均每袋装了千克稻谷(3)老李家这片地的稻谷一共可卖1365元【分析】本题考查了正负数的应用、有理数的运算的应用：（1）利用有理数的加法运算法则及有理数混合运算法则即可求解；（2）利用有理数的除法运算法则即可求解；（3）利用有理数的乘法运算法则即可求解；熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：，（千克），答：老李家的这片地一共收割了546千克稻谷．（2）（千克），答：平均每袋装了千克稻谷．（3）（元），答：老李家这片地的稻谷一共可卖1365元．一、单选题1．（2023·河北石家庄·二模）与互为倒数的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】将每个式子计算出结果，再根据倒数的概念，逐一判断即可．【详解】解：，，的倒数为，故A不符合题意；，的倒数为，故B符合题意；，的倒数为，故C不符合题意；，的倒数为，故D不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，倒数的概念，熟练计算出每一个式子的结果是解题的关键．2．（20-21七年级上·湖北武汉·阶段练习）下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1和0；②若，则；③若a＋b＜0，且，则|4a＋3b|＝－4a－3b；④若是有理数，则一定是非负数；⑤若c＜0＜a＜b，则(a－b)(b－c)(c－a)＞0；其中一定正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据倒数以及有理数的乘除法法则分别进行分析即可得出答案．【详解】解：①一个数和它的倒数相等，则这个数是1和-1，共2个，故这个结论错误；②若，设，则，，所以，故这个结论错误；③若a＋b＜0，且，则|，，所以|4a＋3b|＝－4a－3b，故这个结论正确；④若是有理数，当时，；当时，，所以一定是非负数，故这个结论正确；⑤若c＜0＜a＜b，则，，，所以，(a－b)(b－c)(c－a)＞0，故这个结论正确；所以，一定正确的有③④⑤，共3个，故选：C．【点睛】此题主要考查了有理数的乘除法，倒数，关键是根据它们的性质和法则分别进行解答，注意分类讨论思想的运用．3．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，化简（

）A． B．3或1 C．3或 D．【答案】C【分析】本题考查代数式化简求值，涉及绝对值运算，根据代数式结构特点，分类讨论，化简求值即可，熟记绝对值运算是解决问题的关键．【详解】解：，分四种情况：①同正；②两正一负；③一正两负；④三负；①同正：；②两正一负，不妨令，则；③一正两负，不妨令，则；④同负：；故选：C．4．（20-21七年级上·浙江杭州·期中）若“！”是一种数学运算符号，并且，且公式，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题目信息，表示出C512与C612，然后通分整理计算即可．【详解】解：根据题意，有C512=，C612=，∴===，故选C．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，是信息给予题，读懂题目信息是解题的关键．5．（19-20七年级上·北京·期中）将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C的位置是有理数，2008应排在A、B、C、D、E中的位置．其中两个填空依次为（

）A．-28，C B．-29，B C．-30，D D．-31，E【答案】B【分析】观察发现规律：每个峰排列5个数，并且“峰n”的D位置是（﹣1）n·5n，奇数是负数，偶数是正数，根据规律解答即可．【详解】解：观察发现：每个峰排列5个数，并且“峰n”的D位置是（﹣1）n·5n，奇数是负数，偶数是正数，则“峰6”中D的位置是有理数为5×6=30，∴“峰6”中C的位置是有理数为﹣29，∵2008÷5=401……3∴2008应排在“峰402”的第2个数，在B位置，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化规律探究，观察出每个峰有5个数，并且“峰n”的D位置是（﹣1）n·5n是解答的关键．二、填空题6．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算的结果是．【答案】4【分析】根据乘除混合运算，按照顺序自左到右依次计算即可．【详解】解：，故答案为：4．【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．7．（22-23七年级上·湖南永州·期末）已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，……，依次类推，那么的值是．【答案】【分析】根据差倒数的定义，求出的值，确定数字规律，进而求出的值．【详解】解：由题意，得：，，，∴每四个数一循环，，∵，∴；故答案为：．【点睛】本题考查数字规律探究，有理数的乘法运算．理解并掌握差倒数，是解题的关键．8．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）已知a是有理数，表示不超过a的最大整数，如等，那么．【答案】【分析】根据的意义得出，，，然后代入计算即可．【详解】解：由题意得：，，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了新定义，有理数的乘除运算，正确理解的意义是解题的关键．9．（20-21七年级·全国·假期作业）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为．【答案】10或64【分析】根据得数为1，可倒推出第5次计算后得数一定是2，第4次计算后得4，依此类推，直至倒退到第1次前的数即可．【详解】解：如图，利用倒推法可得：由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2，由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4，由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16，由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32，由第1次计算后得5，可得原数为10，由第1次计算后32，可得原数为64，故答案为：10或64．【点睛】考查有理数的运算，掌握计算法则是正确计算的前提，理解题意是重中之重．三、解答题10．（23-24七年级上·广东河源·期中）某地区夏季高山上的温度从山脚起，海拔高度每升高，平均气温下降，假设山脚的海拔高度为，温度是．(1)若这座山的海拔高度是，求山顶温度；(2)小明在上山过程中看到温度计上的读数是，此时他所处的海拔高度为多少？【答案】(1)这座山的山顶温度为；(2)此时他所处的海拔高度为．【分析】（1）根据题意列出算式，再根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得答案．（2）根据题意列出算式，再根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得答案．【详解】（1）解：．．答：这座山的山顶温度为．（2）解：．所以此时他所处的海拔高度为．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算的应用，解题的关键是理解题意列出算式、掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．11．（23-24七年级上·浙江温州·期末）【素材】图1为某景区游览图，相邻两地标之间的路程如图所示．【问题1】小明以游客中心为原点，游客中心往碗窑博物馆方向为正方向，碗窑大桥对应数轴上点，画出数轴，如图．请你在数轴上标出吊脚楼、倒焰窑、碗窑博物馆的位置．【问题2】小李以米/分钟的速度从碗窑博物馆往游客中心出发，过景点均不停留．小王同时以相同的速度从游客中心出发往碗窑博物馆方向游览，经过每一景点均停留分钟．请问他们经过多长时间相遇？并把相遇地点标在问题的数轴上．【答案】问题：见解析；问题：他们经过分钟相遇，图见解析【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴以及有理数的运算，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．问题，先求得数轴上一个单位是米，再由景点图得米，米，米，从而即可作出图形；问题，先求得小李到达手工作坊时用时和小王到达手工作坊停留后用时，从而得相遇点应在倒焰窑和手工作坊之间，设相遇时间为分钟，列方程求解即可得解，进而确定点．【详解】解：问题，∵游客中心为原点，碗窑大桥为点，∴数轴上一个单位是米，由题得出各景点之间的距离，米，米，米，∴所标出吊脚楼、倒焰窑、碗窑博物馆的位置如图所示，问题，，，小李到达手工作坊时用时分钟，，，，小王到达手工作坊停留后用时分钟，∴相遇点应在倒焰窑和手工作坊之间，设相遇时间为分钟，由题得，，∴，∴他们经过分钟相遇，则小华走了（），即从点向左走了，∴相遇点如图所示的点．12．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）先阅读下列材料，然后解答问题：材料：从4张不同的卡片中选取2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个不同元素中选取2个元素的组合，组合数记为.一般地，从个不同元素中选取个元素的组合数记作，．例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作．(1)为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览，王老师在班级7幅优秀书画中选取3幅，共有多少种选法？(2)探索发现：计算：_____，______，______，________，________，________．由上述计算，试猜想，，之间有什么关系．（只写结论，不需说明理由）(3)请你直接利用（2）中猜想的结论计算：．【答案】(1)共有35种选法(2)3；1；4；10；5；15；(3)220【分析】本题考查组合新定义计算，有理数的乘除法混合计算，（1）根据材料给出组合的方法直接计算即可；（2）根据新定义分别进行计算；利用计算结果得，，由此规律可得；（3）利用（2）中的规律从左到右依次计算即可；掌握新定义的计算方法与性质，有理数的乘除法混