导数与函数的综合练习题

导数与函数的综合练习题一、基本概念与性质1.若函数f(x)在x=a处可导，则f'(a)表示的是（）。2.若函数f(x)在区间（a，b）内单调递增，则f'(x)在此区间内（）。3.若函数f(x)在x=a处取得极值，则f'(a)等于（）。4.若函数f(x)在x=a处的二阶导数f''(a)大于0，则f(x)在x=a处的图形是（）。5.判断下列函数在指定区间内的单调性：（1）f(x)=x^33x，区间（∞，+∞）（2）f(x)=e^xx，区间（0，+∞）二、求导法则与应用6.求下列函数的导数：（1）f(x)=(x^2+1)^3（2）f(x)=(3x2)^4(x+1)^5（3）f(x)=sin^2(x)cos(x)（4）f(x)=ln(1+x^2)（5）f(x)=arcsin(x^2)7.设函数f(x)=(x^2+1)e^x，求f'(x)。8.设函数f(x)=(x^33x)^4，求f'(x)。9.设函数f(x)=(x^2+1)^3(x2)^4，求f'(x)。三、高阶导数与应用10.求下列函数的二阶导数：（1）f(x)=x^44x^3+6x^2（2）f(x)=e^(2x)sin(x)（3）f(x)=ln(x^2+1)11.设函数f(x)=e^(x^2)sin(x)，求f''(x)。12.设函数f(x)=(x^2+1)^3(x2)^4，求f''(x)。四、函数极值与最值问题13.求函数f(x)=x^33x^29x+5的极值点和极值。14.求函数f(x)=e^xx^2在区间[0，2]上的最大值和最小值。15.求函数f(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值。五、函数图像与方程求解16.描述函数f(x)=x^33x的图像特征。17.描述函数f(x)=e^xx的图像特征。18.求解方程e^x=x^2+1的实数根。19.求解方程sin(x)=x在区间[0，2π]内的实数根。20.已知函数f(x)=x^33x+1，求证：方程f(x)=0在实数范围内至少有一个根。六、不等式与函数性质21.证明不等式e^x≥x+1对所有实数x成立。22.设x>0，证明不等式ln(x)<x1。23.求解不等式x^33x^29x+5>0的解集。24.已知函数f(x)=e^xx^2，证明当x>0时，f(x)>0。25.设函数g(x)=ln(x)x+1，求解不等式g(x)<0的解集。七、实际应用问题26.一物体从静止开始做直线运动，其加速度a(t)=4t2（t以秒为单位），求物体在t=2秒时的速度和位移。27.某产品的成本函数为C(x)=3x^2+2x+10，其中x为生产的产品数量，求生产100个产品时的边际成本。28.一水池的容量V（单位：立方米）随时间t（单位：小时）的变化率为dV/dt=302t，求t=5小时时水池的容量。29.一根长度为L米的绳子固定在水平地面上，绳子一端固定，另一端从地面上方高度h处释放，求绳子与地面夹角θ（角度）关于高度h的函数，并求当h=0.5L时的θ值。30.一辆汽车以速度v（单位：米/秒）行驶，其油耗率P（单位：升/秒）与速度v的关系为P(v)=v^2/20+v/2。求汽车行驶速度为10米/秒时的油耗率。八、综合运用31.已知函数f(x)=x^44x^3+6x^2，求f(x)的拐点。32.设函数g(x)=(x^2+1)e^(x)，求g(x)的垂直渐近线。33.已知函数h(x)=x^33x^29x+5，求h(x)的凹凸区间。34.设函数F(x)=e^x/(x^2+1)，求F(x)的极值点和拐点。35.已知函数f(x)=x^55x^4+5x^3，求f(x)的所有极值点，并判断其极大值和极小值。九、拓展提高36.设函数f(x)=(x^21)e^x，求f(x)的四阶导数。37.已知函数g(x)=ln(x^2+1)，求g(x)在x=0处的Taylor展开式的前三项。38.设函数h(x)=sin(x)+cos(2x)，求h(x)的周期。39.已知函数F(x)=arcsin(x^2)，求F(x)的导数的不定积分。40.设函数f(x)=x^77x^6+21x^5，求f(x)的所有拐点。答案一、基本概念与性质1.f(x)在x=a处的瞬时变化率2.非负（或大于等于0）3.04.向上凹（或凹的）5.（1）在（∞，+∞）内单调递增（2）在（0，+∞）内单调递增二、求导法则与应用6.（1）f'(x)=6x(x^2+1)^2（2）f'(x)=4(3x2)^3(x+1)^5+5(3x2)^4(x+1)^4（3）f'(x)=2sin(x)cos^2(x)sin^3(x)（4）f'(x)=2x/(1+x^2)（5）f'(x)=2x/√(1x^4)7.f'(x)=(2x^33x^2+1)e^x8.f'(x)=12(x^33x)^3(3x^26x)9.f'(x)=2(x^2+1)^2(x2)^4+4(x^2+1)^3(x2)^3三、高阶导数与应用10.（1）f''(x)=12x^224x+12（2）f''(x)=2e^(2x)sin(x)+4e^(2x)cos(x)（3）f''(x)=2x/(x^2+1)^211.f''(x)=2e^(x^2)sin(x)+4x^2e^(x^2)cos(x)12.f''(x)=2(x^2+1)(x2)^4+8(x^2+1)^2(x2)^3+12(x^2+1)^3(x2)^2四、函数极值与最值问题13.极大值点：x=1，极小值点：x=3/2，极大值：f(1)=6，极小值：f(3/2)=35/414.最大值：f(2)=e^24，最小值：f(0)=115.最大值：f(π/4)=√2，最小值：f(3π/4)=√2五、函数图像与方程求解16.函数在x=0处取得极大值，在x=2处取得极小值，图像在x=0左侧上升，在x=0右侧下降，再上升。17.函数在x=0处取得极小值，图像在x=0左侧下降，在x=0右侧上升。18.实数根：x=0，x=119.实数根：x=020.略（证明过程）六、不等式与函数性质21.略（证明过程）22.略（证明过程）23.解集：(∞，1]∪[3，+∞）24.略（证明过程）25.解集：(0，1)七、实际应用问题26.速度：v(2)=6m/s，位移：s(2)=8m27.边际成本：C'(100)=60428.水池容量：V(5)=110立方米29.绳子与地面夹角θ