广西河池市宜州区2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

2023-2024学年广西河池市宜州区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（每小题中只有一个选项符合要求，每小题3分，共36分。）1．下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线 C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x2+xy+2＝0 B． C．x2+x+1＝0 D．ax2+bx+c＝0解：A．x2+xy+2＝0，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C．x2+x+1＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；D．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意．故选：C．3．一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为（）A．（y+）2＝1 B．（y﹣）2＝1 C．（y+）2＝ D．（y﹣）2＝解：y2﹣y﹣＝0y2﹣y＝y2﹣y+＝1（y﹣）2＝1故选：B．4．解方程（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0的最适当的方法是（）A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法解：（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0，（x﹣1）（x﹣1﹣3）＝0，x﹣1＝0或x﹣4＝0，解得x1＝1，x2＝4．所以此方程利用因式分解法最适当．故选：D．5．要得到抛物线y＝2（x﹣3）2﹣2，可以将抛物线y＝2x2（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度解：∵抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝2（x﹣3）2﹣2的顶点坐标为（3，﹣2），∴平移的方法可以是向右平移3个单位，再向下平移2个单位．故选：D．6．抛物线y＝x2+1的图象大致是（）A． B． C． D．解：抛物线y＝x2+1的图象开口向上，且顶点坐标为（0，1）．故选C．7．平面直角坐标系内，与点P（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣2） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）解：与点P（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2），故选：A．8．一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程（）A． B． C．x（x﹣1）＝756 D．x（x+1）＝756解：根据题意得：x（x﹣1）＝756．故选：C．9．如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝3，x2＝1，那么这个一元二次方程是（）A．x2+3x+4＝0 B．x2﹣4x+3＝0 C．x2+4x﹣3＝0 D．x2+3x﹣4＝0解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝3，x2＝1，∴3+1＝﹣p，3×1＝q，∴p＝﹣4，q＝3，故选：B．10．如图，将边长为的正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°得到正方形A′BC′D′，AD与C′D′交于点M，那么图中点M的坐标为（）A． B． C． D．解：∵四边形ABCD是边长为的正方形，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°得到正方形A′BC′D′，∴，∠BAM＝∠BC′M＝90°，在Rt△ABM和Rt△C′BM中，，∴Rt△ABM≌Rt△C′BM（HL），∴∠1＝∠2，∵将边长为的正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°，∴∠CBC′＝30°，∴∠1＝∠2＝30°，在Rt△ABM中，，∴，∴AM＝1，∴点M的坐标为，故选：B．11．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，2），B（2，3），y＝ax2的图象如图所示，则a的值可以为（）A．0.7 B．0.9 C．2 D．2.1解：∵x＝﹣1时，y＜2，即a＜2；当x＝2时，y＞3，即4a＞3，解得a＞，所以＜a＜2．故选：B．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0；④对于方程ax2+bx+c﹣2＝0，有两个不相等的实数根，其中正确的有（）A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③④解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，∴3a+c＝0，即a＝﹣，所以③错误；∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴ax2+bx+c﹣2＝0，ax2+bx+c＝2，y＝2时由两个x的值，所以④正确．故选：B．二、填空题（每小题2分，共12分，请将答案填在答题卡上对应的区域内。）13．一元二次方程x2﹣2＝4x的一次项是﹣4x．解：x2﹣2＝4x，x2﹣4x﹣2＝0，所以一次项是﹣4x，故答案为：﹣4x．14．正五形绕其中心至少旋转72度后能与自身重合．解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，所以五形绕其中心至少旋转72度后能与自身重合．故答案为：72．15．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3）．解：y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3）．故答案为（1，3）．16．关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为9．解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即62﹣4×1×m＝0，解得m＝9．故答案为：9．17．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝25°，则旋转角α的大小是50°．解：设AC交DE于点O．∵DE⊥AC，∴∠AOD＝90°，∵∠CAD＝25°，∴∠ADE＝90°﹣25°＝65°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝∠ADE＝65°，∴∠BAD＝180°﹣65°﹣65°＝50°．故答案为：50．18．函数y＝x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤2有最大值6，则实数a的值是﹣1或．解：二次函数y＝x2﹣2ax﹣2的对称轴为x＝﹣＝a，由题意，分以下三种情况：（1）当a≤﹣1时，在﹣1≤x≤2内，y随x的增大而增大，则当x＝2时，y取得最大值，最大值为4﹣4a﹣2＝2﹣4a，∴2﹣4a＝6，解得：a＝﹣1，符合题设；（2）当﹣1＜a＜2时，在﹣1≤x≤2内，当﹣1≤x≤a时，y随x的增大而减小，当a＜x≤2时，y随x的增大而增大，则当x＝﹣1或x＝2时，y取得最大值，因此有1+2a﹣2＝6或22﹣4a﹣2＝6，解得：a＝或a＝﹣1（均不符题设，舍去）；（3）当a≥2时，在﹣1≤x≤2内，y随x的增大而减小，则当x＝﹣1时，y取得最大值，最大值为1+2a﹣2＝2a﹣1，因此有2a﹣1＝6，解得a＝，符合题设；综上，a＝﹣1或a＝．故答案为：﹣1或．三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请将解答写在答题卡上对应的区域内。）19．解下列方程：（1）x2+10x+21＝0；（2）x2﹣x﹣1＝0解：（1）（x+3）（x+7）＝0，x+3＝0或x+7＝0，所以x1＝﹣3，x2＝﹣7；（2）△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5，x＝，所以x1＝，x2＝．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）画出与△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．A2（1，5）．21．已知关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣2＝0．（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？（2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？解：（1）∵（m﹣1）x2+x﹣2＝0，∴此方程是一元一次方程，则m﹣1＝0，解得m＝1．即m＝1时，此方程是一元一次方程；（2）∵（m＝1）x2+x＝2＝0，此方程是一元二次方程，则﹣1≠0，解得m≠1．即m≠1时，此方程是一元一次方程．22．已知抛物线．（1）写出该抛物线的开口方向、对称轴．（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（或最小）值．（3）设抛物线与y轴的交点为P，求点P的坐标．解：（1）∵抛物线，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1；（2）∵且顶点坐标为（1，﹣2）∴函数y有最小值，最小值为﹣2．（3）在中，令x＝0，则y＝（0﹣1）2﹣2＝﹣，∴P（0，﹣）．23．已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数y对应的部分对应值如表：x…﹣2﹣101234…y…50﹣3﹣4﹣30m…（1）表中的m＝5，解析式中的c＝﹣3；（2）点P（﹣3，y1）、Q（2，y2）在函数图象上，y1＞y2（填“＜”或“＞”或“＝”）；（3）当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；（4）关于x的方程ax2+bx+c＝5的解为x1＝﹣2，x2＝4．解：（1）根据表格数据，x＝1是抛物线的对称轴，点（﹣2，5）和点（4，m）关于x＝1对称，∴m＝5，∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），∴c＝﹣3，故答案为：5，﹣3；（2）点P（﹣3，y1）、Q（2，y2）距离对称轴越远，函数值越大，1﹣（﹣3）＝4；2﹣1＝1，∵4＞1，∴y1＞y2．故答案为：＞；（3）函数有最小值，开口向上，与x轴交点为（﹣1，0）、（3，0）∴当y＜0时，x的取值范围是：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3；（4）由图表可知，当x＝﹣2或4时，y＝5，∴关于x的方程ax2+bx+c＝5的解为x1＝﹣2，x2＝4，故答案为：x1＝﹣2，x2＝4．24．某商城在2023年国庆节期间促销海尔冰箱，每台进货价2500元，标价3000元．（1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户商城将连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；（2）市场调研表明：当每台售价为3000元时，平均每天能售出10台，当每台售价降100元时，平均每天就能多售出5台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到6000元，且让顾客得到实惠，则每台冰箱应降价多少元？解：（1）设每次降价的百分率为x，由题意，得3000（1﹣x）2＝2430，解得x1＝0，1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．答：每次降价的百分率为10%；（2）设每台冰箱应降价y元，由题意得：，解得y1＝100，y2＝200，∵让顾客得到实惠，∴y＝200．答：每台冰箱应降价200元．25．阅读下列材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方公式，如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．例如：求代数式x2+2x﹣3的最小值．解：x2+2x﹣3＝x2+2x+12﹣12﹣3＝（x2+2x+12）﹣4＝（x+1）2﹣4．∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2﹣4≥﹣4，∴当x＝﹣1时，x2+2x﹣3的最小值为﹣4．再例如：求代数式﹣x2+4x﹣1的最大值．解：﹣x2+4x﹣1＝﹣（x2﹣4x+1）＝﹣（x2﹣4x+22﹣22+1）＝﹣[（x2﹣4x+22）﹣3]＝﹣（x﹣2）2+3∵（x﹣2）2≥0，∴﹣（x﹣2）2≤0，∴﹣（x﹣2）2+3≤3．∴当x＝2时，﹣x2+4x﹣1的最大值为3．（1）【直接应用】代数式x2+4x+3的最小值为﹣1；（2）【类比应用】若M＝a2+b2﹣2a+4b+2023，试求M的最小值；（3）【知识迁移】如图，学校打算用长20m的篱笆围一个长方形菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．解：（1）x2+4x+3＝x2+4x+4﹣1＝（x+2）2﹣1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2﹣1≥﹣1，∴代数式x2+4x+3的最小值为﹣1．故答案为：﹣1；（2）M＝a2+b2﹣2a+4b+2023＝a2﹣2a+b2+4b+2023＝a2﹣2a+12+b2+4b+22+2018＝（a﹣1）2+（b+2）2+2018，∵（a﹣1）2≥0，（b+2）2≥0，∴（a﹣1）2+（b+2）2+2018≥2018，∴M的最小值为2018；（3）设垂直于墙的一边长为xm，围成的菜地的面积为S，则平行