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文档简介

四川省南充市2025届高三5月检测试题(三)数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知数列的首项,且,其中,,,下列叙述正确的是()A.若是等差数列,则一定有 B.若是等比数列,则一定有C.若不是等差数列,则一定有 D.若不是等比数列,则一定有2.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若,,则 B.若,,则C.若,,,则 D.若,,,则3.已知是定义在上的奇函数,且当时,.若,则的解集是()A. B.C. D.4.定义在R上的函数y=fx满足fx≤2x-1A. B. C. D.5.设分别是双线的左、右焦点,为坐标原点,以为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于两点(位于轴右侧),且四边形为菱形,则该双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.7.已知定义在上函数的图象关于原点对称,且,若,则()A.0 B.1 C.673 D.6748.已知函数的图象如图所示,则下列说法错误的是()A.函数在上单调递减B.函数在上单调递增C.函数的对称中心是D.函数的对称轴是9.已知复数z=2i1-i,则A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.设递增的等比数列的前n项和为,已知,,则()A.9 B.27 C.81 D.11.已知抛物线的焦点为,为抛物线上一点,,当周长最小时,所在直线的斜率为()A. B. C. D.12.某校为提高新入聘教师的教学水平,实行“老带新”的师徒结对指导形式,要求每位老教师都有徒弟,每位新教师都有一位老教师指导,现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师,则不同的师徒结对方式共有()种.A.360 B.240 C.150 D.120二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知集合,,则________.14.如图,从一个边长为的正三角形纸片的三个角上,沿图中虚线剪出三个全等的四边形,余下部分再以虚线为折痕折起,恰好围成一个缺少上底的正三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底,则所得正三棱柱的体积为______.15.满足约束条件的目标函数的最小值是.16.如图,椭圆:的离心率为,F是的右焦点,点P是上第一角限内任意一点,,,若,则的取值范围是_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)若函数,求的极值;(2)证明:.(参考数据:)18.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2是圆心为(2,),半径为1的圆.(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设M为曲线C1上的点,N为曲线C2上的点,求|MN|的取值范围.19.(12分)已知,.(1)解;(2)若,证明:.20.(12分)已知为坐标原点,点,,,动点满足,点为线段的中点,抛物线:上点的纵坐标为,.(1)求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程;(2)若抛物线的准线上一点满足,试判断是否为定值,若是,求这个定值;若不是,请说明理由.21.(12分)已知.(1)求不等式的解集;(2)记的最小值为,且正实数满足.证明:.22.(10分)为了打好脱贫攻坚战,某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研,力争有效地改良玉米品种,为农民提供技术支援,现对已选出的一组玉米的茎高进行统计,获得茎叶图如图(单位:厘米),设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米,否则为矮茎玉米.(1)求出易倒伏玉米茎高的中位数;(2)根据茎叶图的数据,完成下面的列联表:抗倒伏易倒伏矮茎高茎(3)根据(2)中的列联表,是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为抗倒伏与玉米矮茎有关?附:,0.0500.0100.0013.8416.63510.828

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】

根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.【详解】A:当时,,显然符合是等差数列,但是此时不成立,故本说法不正确;B:当时,,显然符合是等比数列,但是此时不成立,故本说法不正确;C:当时,因此有常数,因此是等差数列,因此当不是等差数列时,一定有,故本说法正确;D:当时,若时,显然数列是等比数列,故本说法不正确.故选:C本题考查了等差数列和等比数列的定义,考查了推理论证能力,属于基础题.2.C【解析】

根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.【详解】对于,当为内与垂直的直线时,不满足,错误;对于,设,则当为内与平行的直线时,,但,错误;对于,由,知:,又,,正确;对于,设,则当为内与平行的直线时,,错误.故选:.本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析,考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况,属于基础题.3.B【解析】

利用函数奇偶性可求得在时的解析式和,进而构造出不等式求得结果.【详解】为定义在上的奇函数,.当时,,,为奇函数,,由得:或;综上所述:若,则的解集为.故选:.本题考查函数奇偶性的应用,涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式;易错点是忽略奇函数在处有意义时,的情况.4.D【解析】

根据y=fx+1为奇函数,得到函数关于1,0中心对称,排除AB,计算f1.5≤【详解】y=fx+1为奇函数,即fx+1=-f-x+1,函数关于f1.5≤2故选:D.本题考查了函数图像的识别,确定函数关于1,0中心对称是解题的关键.5.B【解析】

由于四边形为菱形,且,所以为等边三角形,从而可得渐近线的倾斜角,求出其斜率.【详解】如图,因为四边形为菱形,,所以为等边三角形,,两渐近线的斜率分别为和.故选:B此题考查的是求双曲线的渐近线方程,利用了数形结合的思想,属于基础题.6.A【解析】

利用已知条件画出几何体的直观图,然后求解几何体的体积.【详解】几何体的三视图的直观图如图所示,则该几何体的体积为:.故选:.本题考查三视图求解几何体的体积,判断几何体的形状是解题的关键.7.B【解析】

由题知为奇函数,且可得函数的周期为3,分别求出知函数在一个周期内的和是0,利用函数周期性对所求式子进行化简可得.【详解】因为为奇函数,故;因为,故,可知函数的周期为3;在中,令,故,故函数在一个周期内的函数值和为0,故.故选:B.本题考查函数奇偶性与周期性综合问题.其解题思路:函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.8.B【解析】

根据图象求得函数的解析式,结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可.【详解】由图象可得,函数的周期,所以.将点代入中,得,解得,由,可得,所以.令,得,故函数在上单调递减,当时,函数在上单调递减,故A正确;令,得,故函数在上单调递增.当时,函数在上单调递增,故B错误;令,得,故函数的对称中心是,故C正确;令,得,故函数的对称轴是,故D正确.故选:B.本题考查由图象求余弦型函数的解析式,同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断,考查推理能力与计算能力,属于中等题.9.C【解析】分析:根据复数的运算,求得复数z,再利用复数的表示,即可得到复数对应的点,得到答案.详解:由题意,复数z=2i1-i所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-1),位于复平面内的第三象限,故选C.点睛:本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示,其中根据复数的四则运算求解复数z是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.10.A【解析】

根据两个已知条件求出数列的公比和首项,即得的值.【详解】设等比数列的公比为q.由,得,解得或.因为.且数列递增,所以.又,解得,故.故选:A本题主要考查等比数列的通项和求和公式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.A【解析】

本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上,计算点P的坐标,计算斜率,即可.【详解】结合题意,绘制图像要计算三角形PAF周长最小值,即计算PA+PF最小值,结合抛物线性质可知,PF=PN,所以,故当点P运动到M点处,三角形周长最小,故此时M的坐标为,所以斜率为,故选A.本道题考查了抛物线的基本性质,难度中等.12.C【解析】

可分成两类,一类是3个新教师与一个老教师结对,其他一新一老结对,第二类两个老教师各带两个新教师,一个老教师带一个新教师,分别计算后相加即可.【详解】分成两类,一类是3个新教师与同一个老教师结对,有种结对结对方式,第二类两个老教师各带两个新教师,有.∴共有结对方式60+90=150种.故选:C.本题考查排列组合的综合应用.解题关键确定怎样完成新老教师结对这个事情,是先分类还是先分步,确定方法后再计数.本题中有一个平均分组问题.计数时容易出错.两组中每组中人数都是2,因此方法数为.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

利用交集定义直接求解.【详解】解:集合奇数,偶数,.故答案为:.本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.14.1【解析】

由题意得正三棱柱底面边长6,高为,由此能求出所得正三棱柱的体积.【详解】如图,作,交于,,由题意得正三棱柱底面边长,高为,所得正三棱柱的体积为:.故答案为:1.本题考查立体几何中的翻折问题、正三棱柱体积的求法、三棱柱的结构特征等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力,求解时注意翻折前后的不变量.15.-2【解析】

可行域是如图的菱形ABCD,代入计算,知为最小.16.【解析】

由于点在椭圆上运动时,与轴的正方向的夹角在变,所以先设,又由,可知,从而可得,而点在椭圆上,所以将点的坐标代入椭圆方程中化简可得结果.【详解】设,,,则,由,得,代入椭圆方程,得,化简得恒成立,由此得,即,故.故答案为:此题考查的是利用椭圆中相关两个点的关系求离心率,综合性强,属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见解析;(1)见证明【解析】

(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;(1)问题转化为证ex﹣x1﹣xlnx﹣1>0,根据xlnx≤x(x﹣1),问题转化为只需证明当x>0时,ex﹣1x1+x﹣1>0恒成立,令k(x)=ex﹣1x1+x﹣1,(x≥0),根据函数的单调性证明即可.【详解】(1),,当,,当,,在上递增,在上递减,在取得极大值,极大值为,无极大值.(1)要证f(x)+1<ex﹣x1.即证ex﹣x1﹣xlnx﹣1>0,先证明lnx≤x﹣1,取h(x)=lnx﹣x+1,则h′(x)=,易知h(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,故h(x)≤h(1)=0,即lnx≤x﹣1,当且仅当x=1时取“=”,故xlnx≤x(x﹣1),ex﹣x1﹣xlnx≥ex﹣1x1+x﹣1,故只需证明当x>0时,ex﹣1x1+x﹣1>0恒成立,令k(x)=ex﹣1x1+x﹣1,(x≥0),则k′(x)=ex﹣4x+1,令F(x)=k′(x),则F′(x)=ex﹣4,令F′(x)=0,解得:x=1ln1,∵F′(x)递增,故x∈(0,1ln1]时,F′(x)≤0,F(x)递减,即k′(x)递减,x∈(1ln1,+∞)时,F′(x)>0,F(x)递增,即k′(x)递增,且k′(1ln1)=5﹣8ln1<0,k′(0)=1>0,k′(1)=e1﹣8+1>0,由零点存在定理,可知∃x1∈(0,1ln1),∃x1∈(1ln1,1),使得k′(x1)=k′(x1)=0,故0<x<x1或x>x1时,k′(x)>0,k(x)递增,当x1<x<x1时,k′(x)<0,k(x)递减,故k(x)的最小值是k(0)=0或k(x1),由k′(x1)=0,得=4x1﹣1,k(x1)=﹣1+x1﹣1=﹣(x1﹣1)(1x1﹣1),∵x1∈(1ln1,1),∴k(x1)>0,故x>0时,k(x)>0,原不等式成立.本题考查了函数的单调性,极值问题,考查导数的应用以及不等式的证明,考查转化思想,属于中档题.18.(1)C1:y2=1,C2:x2+(y﹣2)2=1;(2)[0,1]【解析】

(Ⅰ)消去参数φ可得C1的直角坐标方程,易得曲线C2的圆心的直角坐标为(0,2),可得C2的直角坐标方程;(Ⅱ)设M(3cosφ,sinφ),由三角函数和二次函数可得|MC2|的取值范围,结合圆的知识可得答案.【详解】(1)消去参数φ可得C1的普通方程为y2=1,∵曲线C2是圆心为(2,),半径为1的圆,曲线C2的圆心的直角坐标为(0,2),∴C2的直角坐标方程为x2+(y﹣2)2=1;(2)设M(3cosφ,sinφ),则|MC2|,∵﹣1≤sinφ≤1,∴1≤|MC2|,由题意结合图象可得|MN|的最小值为1﹣1=0,最大值为1,∴|MN|的取值范围为[0,1].本题考查椭圆的参数方程,涉及圆的知识和极坐标方程,属中档题.19.(1);(2)见解析.【解析】

(1)在不等式两边平方化简转化为二次不等式,解此二次不等式即可得出结果;(2)利用绝对值三角不等式可证得成立.【详解】(1),,由得,不等式两边平方得,即,解得或.因此,不等式的解集为;(2),,由绝对值三角不等式可得.因此,.本题考查含绝对值不等式的求解,同时也考查了利用绝对值三角不等式证明不等式,考查推理能力与运算求解能力,属于中等题.20.(1)曲线的标准方程为.抛物线的标准方程为.(2)见解析【解析】

(1)由题知|PF1|+|PF2|2|F1F2|,判断动点P的轨迹W是椭圆,写出椭圆的标准方程,根据平面向量数量积运算和点A在抛物线上求出抛物线C的标准方程;(2)设出点P的坐标,再表示出点N和Q的坐标,根据题意求出的值,即可判断结果是否成立.【详解】(1)由题知,,所以,因此动点的轨

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