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文档简介
四川省宜宾县白花中学2024-2025学年高三第三次统一考试数学试题试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设椭圆:的右顶点为A,右焦点为F,B、C为椭圆上关于原点对称的两点,直线BF交直线AC于M,且M为AC的中点,则椭圆E的离心率是()A. B. C. D.2.已知空间两不同直线、,两不同平面,,下列命题正确的是()A.若且,则 B.若且,则C.若且,则 D.若不垂直于,且,则不垂直于3.已知定义在上的函数满足,且当时,,则方程的最小实根的值为()A. B. C. D.4.数学中的数形结合,也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物,曲线恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论:①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2;③曲线C围成区域的面积大于;④方程表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是()A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④5.下列命题中,真命题的个数为()①命题“若,则”的否命题;②命题“若,则或”;③命题“若,则直线与直线平行”的逆命题.A.0 B.1 C.2 D.36.明代数学家程大位(1533~1606年),有感于当时筹算方法的不便,用其毕生心血写出《算法统宗》,可谓集成计算的鼻祖.如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图,若输出的的值为,则输入的的值为()A. B. C. D.7.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的体积为()A. B. C. D.8.下列不等式成立的是()A. B. C. D.9.设,则““是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必条件10.已知函数的图象在点处的切线方程是,则()A.2 B.3 C.-2 D.-311.设全集集合,则()A. B. C. D.12.已知点P不在直线l、m上,则“过点P可以作无数个平面,使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.的展开式中,常数项为______;系数最大的项是______.14.已知半径为的圆周上有一定点,在圆周上等可能地任意取一点与点连接,则所得弦长介于与之间的概率为__________.15.秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法,如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入,的值分別为4,5,则输出的值为______.16.已知函数,则关于的不等式的解集为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知a,b∈R,设函数f(x)=(I)若b=0,求f(x)的单调区间:(II)当x∈[0,+∞)时,f(x)的最小值为0,求a+5b的最大值.注:18.(12分)设为坐标原点,动点在椭圆:上,该椭圆的左顶点到直线的距离为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若椭圆外一点满足,平行于轴,,动点在直线上,满足.设过点且垂直的直线,试问直线是否过定点?若过定点,请写出该定点,若不过定点请说明理由.19.(12分)正项数列的前n项和Sn满足:(1)求数列的通项公式;(2)令,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:对于任意的n∈N*,都有Tn<.20.(12分)在平面直角坐标系中,点是直线上的动点,为定点,点为的中点,动点满足,且,设点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过点的直线交曲线于,两点,为曲线上异于,的任意一点,直线,分别交直线于,两点.问是否为定值?若是,求的值;若不是,请说明理由.21.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为,(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)求的极坐标方程和的直角坐标方程;(Ⅱ)设分别交于两点(与原点不重合),求的最小值.22.(10分)已知函数u(x)=xlnx,v(x)x﹣1,m∈R.(1)令m=2,求函数h(x)的单调区间;(2)令f(x)=u(x)﹣v(x),若函数f(x)恰有两个极值点x1,x2,且满足1e(e为自然对数的底数)求x1•x2的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
连接,为的中位线,从而,且,进而,由此能求出椭圆的离心率.【详解】如图,连接,椭圆:的右顶点为A,右焦点为F,B、C为椭圆上关于原点对称的两点,不妨设B在第二象限,直线BF交直线AC于M,且M为AC的中点为的中位线,,且,,解得椭圆的离心率.故选:C本题考查了椭圆的几何性质,考查了运算求解能力,属于基础题.2.C【解析】因答案A中的直线可以异面或相交,故不正确;答案B中的直线也成立,故不正确;答案C中的直线可以平移到平面中,所以由面面垂直的判定定理可知两平面互相垂直,是正确的;答案D中直线也有可能垂直于直线,故不正确.应选答案C.3.C【解析】
先确定解析式求出的函数值,然后判断出方程的最小实根的范围结合此时的,通过计算即可得到答案.【详解】当时,,所以,故当时,,所以,而,所以,又当时,的极大值为1,所以当时,的极大值为,设方程的最小实根为,,则,即,此时令,得,所以最小实根为411.故选:C.本题考查函数与方程的根的最小值问题,涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识,本题有一定的难度及高度,是一道有较好区分度的压轴选这题.4.B【解析】
利用基本不等式得,可判断②;和联立解得可判断①③;由图可判断④.【详解】,解得(当且仅当时取等号),则②正确;将和联立,解得,即圆与曲线C相切于点,,,,则①和③都错误;由,得④正确.故选:B.本题考查曲线与方程的应用,根据方程,判断曲线的性质及结论,考查学生逻辑推理能力,是一道有一定难度的题.5.C【解析】
否命题与逆命题是等价命题,写出①的逆命题,举反例排除;原命题与逆否命题是等价命题,写出②的逆否命题后,利用指数函数单调性验证正确;写出③的逆命题判,利用两直线平行的条件容易判断③正确.【详解】①的逆命题为“若,则”,令,可知该命题为假命题,故否命题也为假命题;②的逆否命题为“若且,则”,该命题为真命题,故②为真命题;③的逆命题为“若直线与直线平行,则”,该命题为真命题.故选:C.本题考查判断命题真假.判断命题真假的思路:(1)判断一个命题的真假时,首先要弄清命题的结构,即它的条件和结论分别是什么,然后联系其他相关的知识进行判断.(2)当一个命题改写成“若,则”的形式之后,判断这个命题真假的方法:①若由“”经过逻辑推理,得出“”,则可判定“若,则”是真命题;②判定“若,则”是假命题,只需举一反例即可.6.C【解析】
根据程序框图依次计算得到答案.【详解】,;,;,;,;,此时不满足,跳出循环,输出结果为,由题意,得.故选:本题考查了程序框图的计算,意在考查学生的理解能力和计算能力.7.C【解析】
由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,求出底面面积,代入锥体体积公式,可得答案.【详解】由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,其底面面积,高,故体积,故选:.本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积,解决本题的关键是得到该几何体的形状.8.D【解析】
根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.【详解】对于,,,错误;对于,在上单调递减,,错误;对于,,,,错误;对于,在上单调递增,,正确.故选:.本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题;关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.9.B【解析】
解出两个不等式的解集,根据充分条件和必要条件的定义,即可得到本题答案.【详解】由,得,又由,得,因为集合,所以“”是“”的必要不充分条件.故选:B本题主要考查必要不充分条件的判断,其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.10.B【解析】
根据求出再根据也在直线上,求出b的值,即得解.【详解】因为,所以所以,又也在直线上,所以,解得所以.故选:B本题主要考查导数的几何意义,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.A【解析】
先求出,再与集合N求交集.【详解】由已知,,又,所以.故选:A.本题考查集合的基本运算,涉及到补集、交集运算,是一道容易题.12.C【解析】
根据直线和平面平行的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】点不在直线、上,若直线、互相平行,则过点可以作无数个平面,使得直线、都与这些平面平行,即必要性成立,若过点可以作无数个平面,使得直线、都与这些平面平行,则直线、互相平行成立,反证法证明如下:若直线、互相不平行,则,异面或相交,则过点只能作一个平面同时和两条直线平行,则与条件矛盾,即充分性成立则“过点可以作无数个平面,使得直线、都与这些平面平行”是“直线、互相平行”的充要条件,故选:.本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
求出二项展开式的通项,令指数为零,求出参数的值,代入可得出展开式中的常数项;求出项的系数,利用作商法可求出系数最大的项.【详解】的展开式的通项为,令,得,所以,展开式中的常数项为;令,令,即,解得,,,因此,展开式中系数最大的项为.故答案为:;.本题考查二项展开式中常数项的求解,同时也考查了系数最大项的求解,涉及展开式通项的应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.14.【解析】在圆上其他位置任取一点B,设圆半径为R,其中满足条件AB弦长介于与之间的弧长为•2πR,则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P==;故答案为:.15.1055【解析】
模拟执行程序框图中的程序,即可求得结果.【详解】模拟执行程序如下:,满足,,满足,,满足,,满足,,不满足,输出.故答案为:1055.本题考查程序框图的模拟执行,属基础题.16.【解析】
判断的奇偶性和单调性,原不等式转化为,运用单调性,可得到所求解集.【详解】令,易知函数为奇函数,在R上单调递增,,即,∴∴,即x>故答案为:本题考查函数的奇偶性和单调性的运用:解不等式,考查转化思想和运算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(I)详见解析;(II)2【解析】
(I)求导得到f'(x)=ex-a,讨论a≤0(II)f12=e-12a-5【详解】(I)f(x)=ex-ax当a≤0时,f'(x)=e当a>0时,f'(x)=ex-a=0,x=lna当x∈lna,+∞时,综上所述:a≤0时,fx在R上单调递增;a>0时,fx在-∞,ln(II)f(x)=ex-ax-bf12=现在证明存在a,b,a+5b=2e取a=3e4,b=f'(x)=ex-a-故当x∈0,+∞上时,x2+1f'x在x∈0,+∞上单调递增,故fx在0,12上单调递减,在1综上所述:a+5b的最大值为本题考查了函数单调性,函数的最值问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.(1);(2)见解析【解析】
(1)根据点到直线的距离公式可求出a的值,即可得椭圆方程;(2)由题意M(x0,y0),N(x0,y1),P(2,t),根据,可得y1=2y0,由,可得2x0+2y0t=6,再根据向量的运算可得,即可证明.【详解】(1)左顶点A的坐标为(﹣a,0),∵=,∴|a﹣5|=3,解得a=2或a=8(舍去),∴椭圆C的标准方程为+y2=1,(2)由题意M(x0,y0),N(x0,y1),P(2,t),则依题意可知y1≠y0,得(x0﹣2x0,y1﹣2y0)(0,y1﹣y0)=0,整理可得y1=2y0,或y1=y0(舍),,得(x0,2y0)(2﹣x0,t﹣2y0)=2,整理可得2x0+2y0t=x02+4y02+2=6,由(1)可得F(,0),∴=(﹣x0,﹣2y0),∴•=(﹣x0,﹣2y0)(2,t)=6﹣2x0﹣2y0t=0,∴NF⊥OP,故过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F.本题考查了椭圆方程的求法,直线和椭圆的关系,向量的运算,考查了运算求解能力和转化与化归能力,属于中档题.19.(1)(2)见解析【解析】
(1)因为数列的前项和满足:,所以当时,,即解得或,因为数列都是正项,所以,因为,所以,解得或,因为数列都是正项,所以,当时,有,所以,解得,当时,,符合所以数列的通项公式,;(2)因为,所以,所以数列的前项和为:,当时,有,所以,所以对于任意,数列的前项和.20.(1);(2)是定值,.【解析】
(1)设出M的坐标为,采用直接法求曲线的方程;(2)设AB的方程为,,,,求出AT方程,联立直线方程得D点的坐标,同理可得E点的坐标,最后利用向量数量积算即可.【详解】(1)设动点M的坐标为,由知∥,又在直线上,所以P点坐标为,又,点为的中点,所以,,,由得,即;(2)设直线AB的方程为,代入得,设,,则,,设,则,所以AT的直线方程为即,令,则,所以D点的坐标为,同理E点的坐标为,于是,,所以,从而,所以是定值.本题考查了直接法求抛物线的轨迹方程、直线与抛物线位置关系中的定值问题,在处理此类问题一般要涉及根与系数的关系,本题思路简单,但计算量比较大,是一道有一定难度的题.21.(Ⅰ)直线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为,的直角坐标方程为;(Ⅱ)2.【解析】
(Ⅰ)由定义可直接写出直线的极坐标方程,对曲线同乘可得:,转化成直角坐标为;(Ⅱ)分别联立两直线和曲线的方程,由得,由得,则,结合三角函数即可求解;【详解】(Ⅰ)直线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为由曲线的极坐标方程得,所以的直角坐标方程为.(Ⅱ)与的极坐标方程联立得所以.与的极坐标方程联立得所以.所以.所以当时,取最小值2.本题考查参数方程与极坐标方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,极坐标中的几何意义,属于中档题22.(1)单调递增区间是(0,e),单调递减区间是(e,+∞)(2)【解析】
(1)化简函数h(x),求导,根据导数和函数的单调性的关系即可求出(2)函数f(x)恰有两个极值点x1,x2,则f′(x)=lnx﹣mx=0有两个正根,由此得到m(
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