1.4充分条件与必要条件课件高一上学期数学人教A版

1.4充分条件与必要条件第一章集合与常用逻辑用语人教A版

数学

必修第一册

常用逻辑用语在内容上比较抽象,符号多、形式化程度高,对于逻辑推理、数学语言的运用等能力要求比较高,是学习的一个难点.但简洁、形式化的逻辑用语可以帮助克服很多逻辑错误,这是我们要学习常用逻辑用语的重要原因.学习单元2

常用逻辑用语

本学习单元的最终目标就是在初中命题学习的基础上,通过学习充分条件、必要条件、充要条件及量词的内容并相互联系,逐步学会严谨、准确地进行数学表述,逐渐习惯用数学的思维和符号表述、研究数学结论.这也正是本学习单元的素养暗线.

学习过程中,要注意通过常用逻辑用语来梳理初中典型命题,体会逻辑用语在表述和论证中的作用,提升逻辑推理、数学抽象素养.学习目标1.了解“若p,则q”命题与“推出”符号的关系,体会符号的简洁.(数学抽象)2.通过几何命题的判定及性质定理的梳理,理解充分条件、必要条件、充要条件的概念.(数学抽象)3.掌握充分条件、必要条件、充要条件的证明.(逻辑推理)基础落实·必备知识一遍过知识点一:充分条件与必要条件一般地,“若p,则q”为真命题,就可以说,由p可以推出q,用符号记作

,并说p是q的

条件,q是p的

条件.

名师点睛1.在逻辑推理中“p⇒q”的几种说法(1)“若p,则q”为真命题.(2)p是q的充分条件.(3)q是p的必要条件.p⇒q

充分

必要2.对充分条件的理解(1)充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论或使此结论成立.

能推出就行(2)充分条件不唯一,只要具备此条件就足够.例如x=6⇒x2=36,所以x=6是x2=36的充分条件.其实,“x=-6”也是“x2=36成立”的充分条件.(3)初中平面几何的判定定理就是充分条件的具体体现.3.对必要条件的理解(1)定义表述:若p⇒q,则说明q是p的必要条件.(2)借助反证法理解q是p的必要条件.若q不成立,则p必定不成立.(否则p成立时,q必定成立,与之矛盾)所以,q对于p的成立是必要的.即表明q是p成立必不可少的条件.(3)初中平面几何的性质定理就是必要条件的具体体现.微思考(1)“若p,则q”为假命题,那么p能否推出q?如何用符号表示?此时,p是q的充分条件吗?(2)若p是q的充分条件,则p是否唯一?初中几何判断定理“同位角相等,两直线平行”说明了“同位角相等”是“两直线平行”的充分条件,你能否给出其他的充分条件?提示

说明由条件p不能推出结论q,记作pq.即可以认为p不是q的充分

条件.提示

不一定唯一.凡是能使结论q成立的条件都是它的充分条件,如“内错角相等”“同旁内角互补”等都是“两直线平行”的充分条件.(3)若q是p的必要条件,如何用“推出”的符号来表示?试用反证法解释一下性质定理“若两直线平行,则同位角相等”,说明“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件.提示

q是p的必要条件,符号表示p⇒q,即两直线平行⇒同位角相等.说明“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件.反证法解释,若同位角不相等,则两直线必定不平行.所以同位角相等对于两直线平行是必要的,即表明“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件.知识点二:充要条件如果“若p,则q”和“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作

.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的

条件,简称为

条件.

等价关系

p⇔q充分必要

充要

名师点睛对充要条件的两点说明(1)p是q的充要条件意味着p,q是等价的.p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立.(2)p是q的充要条件,则q也是p的充要条件.微思考若“x>1”成立,能否推出

“x>0”成立?若“x>0”成立,能否推出“x>1”成立?从充分必要条件来思考,“x>1”是“x>0”的什么条件?从集合的角度来思考,{x|x>1}与{x|x>0}是什么关系?提示

“x>1”⇒“x>0”,“x>0”“x>1”;“x>1”是“x>0”的充分不必要条件;{x|x>1}⫋{x|x>0}.重难探究·能力素养速提升问题1初中已经学习过有关命题及其真假的判断.在高中,要对“若p,则q”形式命题中p,q的关系,从充分、必要条件等角度作进一步的研究,以便能用形式化的数学语言对研究对象及关系作更准确的表达.问题2一般地,“若p,则q”为真命题,即由p⇒q,是否可以说p是q的充分条件?实际上是这三种说法都是同一种事物不同类型的表述.问题3初中学过的平面几何的判定定理或性质定理,若从充分、必要条件的角度思考,实质上有什么样的对应关系?探究点一充分条件、必要条件的判断问题4如何判断充分条件、必要条件?【例1】

(1)判断下列各题中,p是不是q的充分条件:①在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC.②已知a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0.③p:x>1,q:x2>1.解①由三角形中大角对大边可知,若∠A>∠B,则BC>AC.因此,p⇒q,所以p是q的充分条件.②因为a,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p⇒q,所以p是q的充分条件.③由x>1可以推出x2>1.因此p⇒q,所以p是q的充分条件.(2)判断下列各题中,q是不是p的必要条件:①p:△ABC是直角三角形,q:△ABC是等腰三角形.②p:|x|=|y|,q:x=y.③p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5.解①直角三角形不能得到等腰三角形.因此pq,所以q不是p的必要条件.②若|x|=|y|,则x=y或x=-y,因此pq,所以q不是p的必要条件.③设A={x|-2≤x≤5},B={x|-1≤x≤5},则B⫋A,所以pq,所以q不是p的必要条件.【例2】

“x>0”是“x≠0”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A解析

对于“x>0”⇒“x≠0”,“x≠0”“x>0”.【例3】

(多选题)x2=1的充分不必要条件是(

)A.x=±1B.x=1C.x=-1D.x≠1且x≠-1BC解析

根据题意可知,条件是选项,x2=1是结论.充分不必要条件即由条件能推出结论,且结论不能推出条件.x2=1即x=±1,所以A,B,C选项都可推出结论,但A选项与结论等价,即A选项是充要条件.故选BC.延伸探究写出x>1的一个必要不充分条件是

.

x>0(答案不唯一)

解析

根据题意,条件是横线上需要填写的(假设是集合A),结论是x>1.必要不充分条件即是由结论能推出条件.即由x>1⇒条件A,即{x|x>1}⫋A.所以A可以是x>a(a<1)即可.所以任写一个满足条件的即可,如x>0.规律方法

充分条件、必要条件的三种判断方法(1)命题判断法:①如果“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件.②如果“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.(2)集合转化法:如果条件p和结论q分别对应集合A,B,那么若A⊆B,则p是q的充分条件;若A⊇B,则p是q的必要条件;若A=B,则p既是q的充分条件,又是q的必要条件.(3)定义法:①确定哪个是条件,哪个是结论.②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则为充分条件,否则为不充分条件.③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则为必要条件,否则为不必要条件.探究点二多个充分必要条件的应用【例4】

已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q的(

)A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B解析

因为p是r的充分不必要条件,即p⇒r,r

p,s是r的必要条件,即r⇒s,q是s的必要条件,即s⇒q,所以p是q的充分不必要条件,故选B.规律方法

涉及多个条件与结论之间的充分条件、必要条件的判断,可以结合充分条件、必要条件的定义,转化成条件与结论之间的推出关系判断.探究点三充要条件的证明【例5】

求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.证明

充分性(由条件推出结论):因为a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.所以方程有一个根为1,所以a+b+c=0⇒方程ax2+bx+c=0有一个根为1.必要性(由结论推出条件):因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,所以x=1满足方程ax2+bx+c=0,所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1⇒a+b+c=0,从而a+b+c=0⇔方程ax2+bx+c=0有一个根为1,因此方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.规律方法

充要条件的证明根据充要条件的定义,证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明:(1)充分性:由条件推出结论;(2)必要性:由结论推出条件.解题的关键是分清哪个是条件,哪个是结论,然后确定推出方向,至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求.学以致用·随堂检测促达标12345678910A级必备知识基础练1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件B解析

由“四边形是平行四边形”不能得出“四边形是正方形”,但由“四边形是正方形”必推出“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.123456789102.“a>1,b>1”是“ab>1”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A解析

“a>1,b>1”⇒“ab>1”,反之不成立,例如取a=,b=4.∴“a>1,b>1”是“ab>1”的充分不必要条件.故选A.123456789103.设a,b∈R,则“a>b”是“a2>b2”的(

)A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件B解析

若a=1,b=-4,满足a>b,此时a2>b2不成立;若a2>b2,如a=-4,b=1,此时a>b不成立.123456789104.(多选题)对任意实数a,b,c,下列说法错误的是(

)A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件 D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件ACD解析

由a>b,若c≤0,则ac≤bc,因此“ac>bc”不是“a>b”的必要条件,故A不正确;由a=b,可得ac=bc,因此“ac=bc”是“a=b”的必要条件,故B正确;由“ac>bc”,若c<0,则a<b,因此“ac>bc”不是“a>b”的充分条件,故C不正确;由“ac=bc”,若c=0,不能得出“a=b”成立,因此“ac=bc”不是“a=b”的充分条件,故D不正确.故选ACD.123456789105.已知p:|x-1|<1,q:-1<x<2,则p是q成立的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A解析

已知p:|x-1|<1,解不等式得0<x<2,而q:-1<x<2,∴由p能推出q,由q推不出p,则p是q成立的充分不必要条件,故选A.123456789106.“2x2-5x-3<0”的一个必要不充分条件是(

)B123456789107.已知p:-1<x<3,q:-1<x<m+1,若q是p的必要不充分条件,则实数m的取值范围是

.