教案：高中数学人教B版 必修 第二册 指数函数与对数函数的关系

教学设计

阂：隔「圜1（教师独具内容）

课程标准：L了解反函数的概念.2.知道对数函数y=log..^（a>0且aWl）与指

数函数y=a*（a>0且aWl）互为反函数.

教学重点：反函数的概念及互为反函数图像间的关系，对比对数函数y=

log.x（a>0且a#l）与指数函数y=a（a>0且a#l）的图像和性质，深刻理解两者

的关系.

教学难点：对数函数y=log„^（a>0且aWl）与指数函数y=a'（a>0且a#l）

的图像的对称关系.

新知1

互为反函数的两个函数的关系

（1）原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.

（2）互为反函数的两个函数的图像关于直线尸x对称，故函数尸"的图像

与y=log,x的图像关于直线y=x对称（其中a>0且aWl）.

温评价自测

1.判一判（正确的打“J”，错误的打“义”）

（1）任何一个函数都有反函数.（）

（2）函数y=2'的定义域是函数y=log2X的值域.（）

（3）函数y=*的反函数是y=,.（）

2.做一做（请把正确的答案写在横线上）

（1）函数y=logj_x的反函数为.

3

（2）函数y=log,（矛一1）的反函数为.

3

（3）若点（1,2）在函数尸=f（x）的图像上，则点必在其反函数尸=f'（才）

的图像上.

核心素养

题型一求函数的反函数

例1求下列函数的反函数.

⑴y=2x+3；

(2)y=log2x；

3

(4)y=0.2"+l(xWl).

［跟踪训练1］求下列函数的反函数:

⑴尸10gl(2x+l)；⑵尸广不

3

题型二反函数性质的应用

例2已知函数了=苗+。的图像过点(1,4),其反函数的图像过点(2,0),求

a,6的值.

［跟踪训练2］已知函数f(x)=a*+6(a>0且a#l)的图像过点(1,7),其反函

数/YA)的图像过点(4,0),求f(x)的表达式.

题型三指数函数与对数函数图像间的关系

例3已知lga+lg6=0,函数f(x)=a*与函数g(x)=—log点的图像可能

［跟踪训练3］y=log”的反函数是尸产'(X),则函数y=fYl—x)的图像

是下图中的()

题型四指数函数与对数函数的综合应用

例4(1)已知/'(*)=log.(a—a")(a>l).

①求函数/'(x)的定义域、值域；

②判断f(x)的单调性，并证明；

(2)设方程2'+x—3=0的根为m,方程lo&x+x—3=0的根为n,求m+n

的值.

[跟踪训练4](1)已知0<a<l,则函数y=a'—|log“x|的零点的个数为

()

A.1B.2

C.3D.4

(2)已知f{x)=logt(4,—1).

①求f(x)的定义域；

②讨论M的单调性；

③求F3在区间2上的值域.

随堂水平

1.函数f(x)=log«x与g(x)=2"的图像()

A.关于x轴对称B.关于y轴对称

C.关于原点对称D.关于直线尸x对称

2.若函数y=f(x)是函数y=a"(a>0且aWl)的反函数，且/'(2)=1,则/'(x)

=()

A.log2*B./

C.loglxD.2「2

2

3.(多选)已知函数尸e,的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称,

则()

A.f(x)=lnx(x>0)

B.F(2x)=-e"(xeR)

C.f(x)=-e*(xWR)

D.f(2x)=lnx+ln2(x>0)

4.若函数y=log2x+2的反函数的定义域为(3,+°°),则此函数的定义域

为.

5.若点/(I,2)既在函数f(x)=af+力(x»0)的图像上，又在f(x)的反函数

f'(X)的图像上，求a,6的值.

课后课时

人级,》“四基”巩固训练

一、选择题

1.已知函数尸/"(X)有反函数，则方程/"(x)=0的根的情况是()

A.有且仅有一个实根

B.至少有一个实根

C.至多有一个实根

D.0个，1个或1个以上实根

2.将y=2'的图像，再作关于直线y=x对称的图像，可得函数y

=logz(x+D的图像.横线处应填写()

A.先向左平移1个单位B.先向右平移1个单位

C.先向上平移1个单位D.先向下平移1个单位

3.若指数函数尸a'当/0时，有0＜八1,则在同一坐标系中，函数尸a-"

与函数y=log/的图像是()

4.函数f(x)与g(x)=@互为反函数，则函数f(4T)的单调递增区间是

)

A.(―0°,0]B.[0,+8)

C.(-2,0]D.[0,2)

5.(多选)已知e是自然对数的底数，函数/'(x)=e'+x—2的零点为a,函数

g(x)=lnx+x—2的零点为8,则下列不等式中成立的是()

A./(aXAlXA6)B.AaXA6XAl)

C.g(a)〈g(8)〈g(l)D.g(a)〈g(l)〈g(8)

二、填空题

x+1,x〈0,

6.函数y="的反函数是—

心0

7.函数f(x)=log«x(a>0且aWl)满足f(9)=2,则尸(一log.2)=.

8.已知函数/1(x)是定义在(一8,十8)上的减函数，其图像经过4(一4,1),

8(0,—1)两点，函数f(x)的反函数是fXx),则fYD的值是；不等

式|f(x—2)|<1的解集是.

三、解答题

9.已知函数f(x)=log“(2—x)(a〉l).

(1)求函数f(x)的定义域、值域；

⑵求函数/U)的反函数/(x);

(3)判断广Y判的单调性.

10.已知函数f(x)=lg(x+1).

⑴当xW[1,9]时,求函数f(x)的反函数；

(2)若求x的取值范围.

B级'“四能”提升训练

1.已知函数f(x)=>-3—+1,其定义域为[0,3]U[12,15].

⑴当2=2时，求函数f(x)的反函数方'(X)；

(2)如果函数f(x)在其定义域内有反函数，求实数Z的取值范围.

2.已知奇函数《)=会芳的反函数尸3的图像过点心3,1).

(1)求实数a,6的值；

(2)解关于x的不等式r'W>-i.

IAKI第四章指数函数、对数函数与鬲函数

DISIZHANG4.3指数函数与对数函数的关系

阂"阳「国.（教师独具内容）

课程标准：1.了解反函数的概念.2.知道对数函数y=log^（a>0且a#l）与指

数函数y=H（a>0且aWl）互为反函数.

教学重点：反函数的概念及互为反函数图像间的关系，对比对数函数y=

log^（a>0且a#l）与指数函数y=a'（a>0且a#l）的图像和性质，深刻理解两者

的关系.

教学难点：对数函数y=loga^（a>0且a#l）与指数函数y=a'（a>0且aWl）

的图像的对称关系.

新知卜

互为反函数的两个函数的关系

（1）原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.

（2）互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称，故函数的图像

与y=log“x的图像关于直线y=x对称（其中a>0且aWl）.

温评价自测

1.判一判（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）任何一个函数都有反函数.（）

（2）函数尸2・"的定义域是函数y=logzx的值域.（）

（3）函数尸*的反函数是_/=[；.（）

答案⑴X（2）V（3）X

2.做一做（请把正确的答案写在横线上）

（1）函数y=logj_x的反函数为.

3

（2）函数y=log]（x—l）的反函数为.

3

(3)若点(1,2)在函数y=f(x)的图像上,则点必在其反函数y=尸,(x)

的图像上.

答案(1)产=⑵尸融十1⑶⑵1)

核心素养形成

题型一求函数的反函数

例1求下列函数的反函数.

⑴y=2x+3；

(2)y=log2x；

3

⑶尸位f

(4)y=0.2"+l(xWl).

13

［解］(1)由y=2x+3得x=~y—~,

i3

所以函数y=2x+3的反函数是y=-^x—-

乙乙

(2)y=log2x的底数是全它的反函数是指数函数y=停).

(3)y=(|1—1的值域是(—1,+8),所以它的反函数为函数y=log2(x+

3

1)(-¥>—1).

(4)因为y=0.2、+1,所以y—1=0.2",jc=log0.2(y—1)»对调其中的x和y

得y=logo.2(x—1),

因为函数y=0.2"+1(xWl)的值域是｛y\y^\.2),所以y=log0,2(^—1)的定

义域为｛*1*21.2),即函数y=0.2'+1(x〈l)的反函数是y=log0.2(x—1)(x2

1.2).

金版点睛

求给定解析式的函数的反函数的步骤

1求出原函数的值域，这就是反函数的定义域；

2从x中解出x；

3x,y互换并注明反函数的定义域.

［跟踪训练1］求下列函数的反函数：

2'+1

(l)y=logl(2x+l)；(2)y=­.~~

一Z—1

3

解(1)y=logi(2x+D,得2x+l=(gJ,

3

所以A=2XB-2>

对调x,y得y=〈x

所以y=logl(2x+l)的反函数是y=：xf11一J

一yOJ乙

3

2r+l

⑵由y=—~~得2'(y—1)=y+l.

zx-1

y-\-1

:产£1，・・・2”=2~x.①

y-i

y-\-1

V2v>0,/~->0,解得y〉l或八一1.

y-i

故反函数的定义域是{x|x>l或X<—1}.

由①式，得X=1og2』±J.

y—1

x~\~1

因此，所求的反函数为y=log?----，(x<—1或x>l).

X—1

题型二反函数性质的应用

例2已知函数尸H+8的图像过点（1,4）,其反函数的图像过点（2,0）,求

a,6的值.

［解］解法一：•••），=a,+6的图像过点（1,4）,

.,.a+8=4,①

由y=a'+b得a=y—b,

x=log”(y—6),对调x,y得y=log。(x—6),

将点(2,0)代入y=loga。-8)得log”(2—8)=0,

.,.2-6=1.(2)

a=3,

由①②解得

6=1.

解法二：•.♦尸a'+b的图像过点（1,4）,.•.a+8=4.①

又•.•尸H+6的反函数图像过点(2,0)，

...点(0,2)在原函数尸H+力的图像上,

：.a+b=2.®

a=3,

联立①②得,

.6=1.

金版点睛

利用反函数的性质解题

互为反函数的图像关于直线y=x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反

函数图像上任一成对的相应点也关于y=x对称，所以若点a,b在函数y=

fx的图像上，则点b,a必在其反函数x的图像上.

［跟踪训练2］已知函数f(x)=a*+6(a>0且aWl)的图像过点(1,7)，其反函

数尸Yx)的图像过点(4,0),求f(x)的表达式.

解...y=fi(x)的图像过点(4,0),

：.y=f(x)的图像过点(0,4),

.•.1+6=4,.•"=3,又•••f(x)=H+6的图像过点(1,7),

Aa+b=7,，a=4..•.f(x)=4'+3.

题型三指数函数与对数函数图像间的关系

例3已知lga+lg6=0,函数/'(x)=a*与函数g(x)=-log〃x的图像可能

是()

［解析］Viga+lgb-O,/.ab=1,则力=一，从而g(x)=—log〃x=log,x,

a

故g(x)与/"(x)=a'互为反函数，图像关于直线尸x对称.结合选项可知选B.

［答案］B

金版点睛

利用反函数的性质识图

指数函数与对数函数互为反函数，二者的图像关于直线y=x对称.在有关指

数函数与对数函数的图像识别问题中利用这一性质，结合平移翻转等可以很方便

地解决问题.

［跟踪训练3］尸log?x的反函数是尸尸(x),则函数尸尸(l—x)的图像

是下图中的()

答案C

解析•.,y=log2X的反函数为了=f'(才)=2*,则(1—x)=2一,=2•2一

故排除A,B.又此函数图像过(0,2),故正确答案为C.

题型四指数函数与对数函数的综合应用

例4⑴已知f(x)=loga(a—H)(a〉l).

①求函数/Xx)的定义域、值域；

②判断f(x)的单调性，并证明；

(2)设方程2'+x—3=0的根为m,方程log2x+x—3=0的根为n,求m+n

的值.

［解］(D①要使函数f(要=log.(a-H)(a〉D有意义,需满足a—a'>0,即

a\a,又.•.水1,故定义域是(一8,1),又a—a'e(0,a),所以值域是(一

8,1).

②设为<也<1,则a*i<a*2〈a,Ay=f［x^)—f{x^)=1og,.,(a——loga(a—a'O

a-a*2

=iog,Kr<°'所以函数f(x)为减函数・

(2)将方程整理得2'=-*+3,log2%=-x+3.如图可知，/是指数函数y=

2,的图像与直线尸一矛+3交点A的横坐标，〃是对数函数尸logzx的图像与直

线尸一矛+3交点6的横坐标.由于函数y=2'与y=log/互为反函数，所以它

们的图像关于直线y=x对称，由题意可得出46两点也关于直线尸x对称，于

是可设48两点的坐标为力(加，ri),B(n,ni).而48都在直线y=-x+3上，

.,.〃=一7+3(4点坐标代入)，或/=一〃+3(6点坐标代入)，故加+〃=3.

金版点睛

指数函数与对数函数综合问题的解决方法

1指数函数y=a"a>0且与对数函数y=log/a>0且aWl

互为反函数，应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.

2利用数形结合、等价转化的思想可较为简便地解决函数零点方程的

根问题.

[跟踪训练4]⑴已知0<a<l,则函数-，'一|1。83的零点的个数为

()

A.1B.2

C.3D.4

(2)已知fU)=log,1(4,—1).

①求/'(x)的定义域；

②讨论f(x)的单调性；

一1

：-2

③求/V)在区间上的值域.

2J

一

答案(DB(2)见解析

解析⑴函数y=a'—|logR(0〈a〈l)的零点的个数即方程a，=

Ilog,x|(0<a<l)的根的个数，也就是函数f(x)=ax(0<a<l)与g(x)=

Ilog^l(0〈水1)的图像的交点的个数.

画出函数/'(x)=a'(0〈a〈l)与g(x)=|log“x|(0<a<l)的图像，如图所示，观

察可得函数f(x)=a'(0(水1)与g(x)=|log“x|的图像的交点的个数为2,

从而函数y=a'-|log,x|的零点的个数为2.

(2)①由4'-1>0,解得x>0,

因此f(x)的定义域为(0,+8).

②设0<xt<x2,则—

因此log,.(4xi-l)<log„(4"1),即f(x)3x3,

故/'(x)在(0,+8)上单调递增.

③因为f(x)在区间；，2上单调递增，

又弱=0,F(2)=log/5,

因此/U)在g,2上的值域为[0,log/5].

随堂水平

1.函数/V)=log./与g(x)=2酎的图像()

A.关于x轴对称B.关于y轴对称

C.关于原点对称D.关于直线y=x对称

答案D

解析•.,g(x)=2"=4",.,.函数f(x)=log/■与g(x)=2"互为反函数，它们

的图像关于直线y=x对称.

2.若函数y=f(x)是函数y=a*(a〉O且aWl)的反函数，且f(2)=l,则f(x)

=()

1

A.Iog2*B.亍

C.log]xD.2T

2

答案A

解析尸a，的反函数/'(x)=log“x,则l=log〃2,，a=2.故/'(x)=log2X.

3.(多选)已知函数y=e'的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称，

则()

A.f(力=lnx(x>0)

B.f(2x)=—e/lxeR)

C.f(x)=-e，(xWR)

D.F(2x)=lnx+ln2(x>0)

答案AD

解析由题意可得，尸以玲是y=e*的反函数，.'"(x)=lnx(x〉0),.'"(Zx)

=ln(2x)=ln2+lnx(x>0).故选AD.

4.若函数y=log2x+2的反函数的定义域为(3,+8),则此函数的定义域

为•

答案(2,+8)

解析函数y=logzx+2的反函数的定义域为(3,+-),即这个函数的值域

为(3,+8),.•Jog2x+2>3,即logz+l,，x>2.则此函数的定义域为(2,+-).

5.若点4(1,2)既在函数f(x)=aV+6(x20)的图像上，又在f(x)的反函数

尸Yx)的图像上，求a,6的值.

解;尸⑴=2,...f(2)=l.又/'(1)=2,

,a+8=2,

解得j7

.4a+8=l,

b=0

课后课时精练

A级€》“四基”巩固训练

一、选择题

1.已知函数尸/■(%)有反函数，则方程/■(*)=()的根的情况是()

A.有且仅有一个实根

B.至少有一个实根

C.至多有一个实根

D.0个，1个或1个以上实根

答案C

解析若f(x)=O有根加，则FE)=O,又因为f(x)有反函数，所以0在y

=尸1(又)关系下有唯一的值与之对应，故勿必唯一，所以y=f(x)的图像与x轴至

多有一个交点，即方程f(x)=O至多有一个实根.

2.将y=2'的图像,再作关于直线y=x对称的图像，可得函数y

=logz(x+l)的图像.横线处应填写()

A.先向左平移1个单位B.先向右平移1个单位

C.先向上平移1个单位D.先向下平移1个单位

答案D

解析与函数y=logz(x+D的图像关于直线y=x对称的曲线是函数y=2*

-1的图像.为了得到它，只需将尸2”的图像向下平移1个单位.故选D.

3.若指数函数尸"当x<0时，有则在同一坐标系中，函数尸加"

与函数y=log/的图像是()

答案A

解析•「xVO时，y=a^.(0,1),.•.a>L「.y=log“x单调递增，y=ax

单调递减.结合选项知，选A.

4.函数f(x)与g(x)=|J|'互为反函数，则函数/'(4—*)的单调递增区间是

()

A.(—8,o]B.[0,+8)

C.(-2,0]D.[0,2)

答案D

解析,函数f(x)与g(x)互为反函数，/.f{x)=logj_X=一

log2*(x>0),则函数A4-7)=-log2(4-7).由4-/>0,得一2cA<2..*.函数f(4

一力的单调递增区间是02).故选D.

5.(多选)已知e是自然对数的底数，函数/'(x)=e'+x—2的零点为a,函数

g(x)=lnx+x—2的零点为，，则下列不等式中成立的是()

A.f(a)<f(l)</(/>)B.f(aXA^XAl)

C.g(a)〈g(A)〈g⑴D.g(a)〈g(l)〈g(A)

答案AD

解析分别作出函数y=e*,y=lnx,y=2—x的图像，如图所示，不难发

现a<l<b,而函数f(x),g(x)均为增函数，所以AaXAlXA6),

g(a)〈g(l)<g(8).故选AD.

二、填空题

x+1,KO,

6.函数y=<的反函数是一

e”,心0

x-l,XI,

答案/=<

Inx,

解析当K0时，y=x+l的反函数是y=x—1,矛<1；

当x20时，y=e”的反函数是y=lnx,x2L

x—1,x<.\,

故原函数的反函数为y=,、

.Inx,

7.函数f(x)=logaX(a>0且a#l)满足f(9)=2,则/"'(—log92)=.

答案当

1

解析Vlog„9=2,...a=3,而r'(jd=a,.Yx)=3",Ar(-log92)

l°g；'2、历

=3-%=3乙=华

8.已知函数f(x)是定义在(一8,十8)上的减函数，其图像经过力(-4,1),

8(0,—1)两点，函数f(x)的反函数是f'(X),则方'(1)的值是；不等

式"(x—2)|〈1的解集是.

答案一4(-2,2)

解析由题意，可知的图像过点(1,—4)和点(一1,0),...尸|(1)=

-4；V|f(^-2)|<1,/.-1</(^-2)<1,即f(0)<f(x—2)〈F(—4),又函数f(x)

为(-8,+8)上的减函数，.\-4<%-2<0,即一2〈矛<2,不等式|f(x—2)

的解集为3—2〈水2},即(一2,2).

三、解答题

9.已知函数f(x)=log<2—x)(a〉l).

(1)求函数f(x)的定义域、值域；

(2)求函数f(x)的反函数尸i(x)；

(3)判断尸'(X)的单调性.

解(1)要使函数f(x)有意义，需满足2—x>0,即水2,

故函数f(x)的定义域为(-8,2),值域为R.

⑵由y=log,,(2—%),得2—x=a1

即x=2—耳.,.尸(x)=2—a.

⑶/Xx)在R上是减函数.

证明如下：任取矛|,%eR且Xi<x2.

''尸(照)一尸(为)=2—a、2—2+ai=a'[一a*2,

xx

,/a>1,Xt<x2,I.a+VaZ即a'—a2<0,

...尸(就〈尸3),

：.y=r'(x)在R上是减函数.

10.