新高考数学一轮复习 讲与练第18讲 等差数列及其求和（解析版）

第18讲等差数列及其求和学校____________姓名____________班级____________一、知识梳理1.等差数列的概念(1)定义：一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列.其中d称为等差数列的公差.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).(2)等差中项：①如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，A＝eq\f(x＋y,2).②推广：若{an}为等差数列，则2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也为等差数列.(6)若等差数列的项数为2n(n∈N＋)时，则S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1).(7)若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)时，则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).考点和典型例题1、等差数列的基本运算【典例1-1】（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知正项等比数列SKIPIF1<0首项为1，且SKIPIF1<0成等差数列，则SKIPIF1<0前6项和为（

）A．31 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．63【答案】C【详解】∵SKIPIF1<0成等差数列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：C.【典例1-2】（2022·北京育才学校模拟预测）设SKIPIF1<0是等差数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】解：由题意得：设SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：D【典例1-3】（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（

）A．10 B．14 C．23 D．26【答案】A【详解】解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列SKIPIF1<0．由题意可知，等差数列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，前5项和为100，设公差为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以公士出的钱数为SKIPIF1<0，故选：A．【典例1-4】（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C.【典例1-5】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）记SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D.【典例1-6】（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：B.2、等差数列的判定与证明【典例2-1】（2022·安徽·高二阶段练习）设等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．数列SKIPIF1<0为单增数列 B．数列SKIPIF1<0为单减数列C．对任意正整数n，都有SKIPIF1<0 D．对任意正整数n，都有SKIPIF1<0【答案】BD【详解】在等差数列SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，此时数列为递减数列，可得对任意正整数n，都有SKIPIF1<0.故选：BD.【典例2-2】（2022·辽宁实验中学高二期中）已知等差数列SKIPIF1<0，其前n项的和为SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．数列SKIPIF1<0是等差数列B．数列SKIPIF1<0不可能是等差数列C．SKIPIF1<0D．若公差SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值【答案】ACD【详解】设数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，C正确；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，D对，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是等差数列，A对，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0可能是等差数列，B错，故选：ACD.【典例2-3】（2022·湖北·高二阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.(1)求证数列SKIPIF1<0为等差数列；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【解析】(1)由已知可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差数列.(2)由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0相减得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0【典例2-4】（2021·河北保定·高二期中）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0．(1)判断数列SKIPIF1<0是否为等差数列，并说明理由；(2)若SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，求SKIPIF1<0的通项公式．【解析】(1)由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，故由SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0为等差数列；(2)由（1）知，数列SKIPIF1<0为首项SKIPIF1<0，公差为2的等差数列，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0适合上式，故SKIPIF1<0.【典例2-5】（2018·河南洛阳·一模（理））已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.（1）求证：数列SKIPIF1<0是等差数列；（2）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【解析】（1）因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由等差数列的定义可得SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的等差数列.∴SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两边同时乘以SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.3、等差数列的性质及应用【典例3-1】（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长SKIPIF1<0(单位:cm)成等差数列，对应的宽为SKIPIF1<0(单位:cm),且长与宽之比都相等，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0A．64 B．96 C．128 D．160【答案】C【详解】由题意，五种规格党旗的长SKIPIF1<0(单位:cm)成等差数列，设公差为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由长与宽之比都相等，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.【典例3-2】（2007·辽宁·高考真题（理））设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．63 B．36 C．45 D．27【答案】C【详解】由等差数列的SKIPIF1<0项和的性质可知，SKIPIF1<0成等差数列，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0.故选：C【典例3-3】（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块【答案】C【详解】设第n环天石心块数为SKIPIF1<0，第一层共有n环，则SKIPIF1<0是以9为首项，9为公差的等差数列，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为SKIPIF1<0，因为下层比中层多729块，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C【典例3-4】（2022·福建·厦门双十中学模拟预测）等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为整数，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为整数知，等差数列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0为整数.又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【典例3-5】（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知数列{SKIPIF1<0}为等差数列，SKIPIF1<0