新高考数学一轮复习 讲与练第30练 圆锥曲线的综合应用（解析版）

第30练圆锥曲线的综合应用学校____________姓名____________班级____________一、单选题1．已知抛物线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离是2，则点SKIPIF1<0到焦点SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】B【详解】SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离是2，可得SKIPIF1<0，焦点SKIPIF1<0则点SKIPIF1<0到焦点的距离为2.故选:B.2．已知椭圆C：SKIPIF1<0的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【详解】由题意椭圆的长轴为SKIPIF1<0，由椭圆定义知SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故选：C3．已知双曲线C：SKIPIF1<0的一条渐近线过点P（1，2），则它的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】C【详解】双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入得SKIPIF1<0，所以双曲线的离心率SKIPIF1<0.故选：C4．若方程SKIPIF1<0表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（

）A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5【答案】D【详解】由题设，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故选：D5．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，准线为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线与抛物线交于A，B两点，与准线SKIPIF1<0交于C点，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．4 B．12 C．4或16 D．4或12【答案】A【详解】如图，过A，B向SKIPIF1<0作垂线，垂足分别为D，E，则SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：A6．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为SKIPIF1<0，若双曲线C以SKIPIF1<0为焦点、以直线SKIPIF1<0为一条渐近线，则C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】依题意，以点SKIPIF1<0为原点，直线SKIPIF1<0为x轴建立平面直角坐标系，如图，点SKIPIF1<0，设双曲线C的方程为SKIPIF1<0，其渐近线为SKIPIF1<0，因直线SKIPIF1<0为一条渐近线，则有SKIPIF1<0，双曲线C的离心率为SKIPIF1<0.故选：B7．已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】在椭圆SKIPIF1<0中，由椭圆的定义可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0.故选：C8．已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上的点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是椭圆的左、右焦点，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．9【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，②2-①整理得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故选：A9．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的蒙日圆方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点.离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为蒙日圆上一个动点，过点SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若SKIPIF1<0面积的最大值为36，则椭圆SKIPIF1<0的长轴长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为椭圆SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的蒙日圆的半径为SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为蒙日圆的直径，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0面积的最大值为：SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0面积的最大值为36，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，进而有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故椭圆SKIPIF1<0的长轴长为SKIPIF1<0.故选：B10．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，以SKIPIF1<0为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设SKIPIF1<0的面积为S，若SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2SKIPIF1<0【答案】C【详解】依题意，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C二、多选题11．已知曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．若曲线SKIPIF1<0表示双曲线，则SKIPIF1<0B．若曲线SKIPIF1<0表示椭圆，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0C．若曲线SKIPIF1<0表示焦点在SKIPIF1<0轴上的双曲线且离心率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若曲线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0有公共焦点，则SKIPIF1<0【答案】BCD【详解】解：对于A：若曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0表示双曲线，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故A错误；对于B：若曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0表示椭圆，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故B正确；对于C：若曲线SKIPIF1<0表示焦点在SKIPIF1<0轴上的双曲线且离心率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故C正确；对于D：椭圆SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，若曲线SKIPIF1<0表示焦点在SKIPIF1<0轴上的双曲线，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去）；若曲线SKIPIF1<0表示焦点在SKIPIF1<0轴上的椭圆，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，符合题意，故SKIPIF1<0，故D正确；故选：BCD12．在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，点M为侧面△PAB上的动点，点M到直线PA的距离为SKIPIF1<0，点M到平面ABC的距离为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．点M到直线AB的距离等于SKIPIF1<0C．点M的轨迹为一段圆弧 D．点M的轨迹长度为SKIPIF1<0【答案】AD【详解】解：在SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，故A正确.过点M作AB的垂线，垂足为G，作平面ABC的垂线，垂足为H，过点M作PA的垂线，垂足为N，连接HG.因为二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B错误，点SKIPIF1<0的轨迹是SKIPIF1<0的角平分线，故C错误，设SKIPIF1<0的角平分线为AQ，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，由角平分线定理得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，所以SKIPIF1<0，所以点M的轨迹长度为SKIPIF1<0，所以D正确.故选：AD.三、解答题13．已知椭圆C：SKIPIF1<0的左右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在椭圆上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)SKIPIF1<0为椭圆上不与SKIPIF1<0重合的任意一点，直线SKIPIF1<0分别与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【解析】(1)由题知：SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入方程得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆C的标准方程为SKIPIF1<0.(2)由(1)知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.14．已知点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0的距离比它到直线SKIPIF1<0的距离小SKIPIF1<0，若记点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0．求证直线SKIPIF1<0过定点，并求出该定点的坐标．【解析】(1)SKIPIF1<0点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0的距离比它到直线SKIPIF1<0的距离小SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0的距离和点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离相等，由抛物线定义知：点SKIPIF1<0轨迹是以SKIPIF1<0为焦点，SKIPIF1<0为准线的抛物线，即曲线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0.(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0.15．已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，左顶点为A，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0