新高考数学一轮复习 讲与练第24讲 空间向量及其应用（解析版）

第24讲空间向量及其应用学校____________姓名____________班级____________一、知识梳理1.空间向量的有关概念名称定义空间向量空间中既有大小又有方向的量称为空间向量相等向量大小相等、方向相同的向量相反向量大小相等、方向相反的向量共线向量(或平行向量)如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(或共线)共面向量空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb.由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).(3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}称为空间向量的一组基底.3.空间向量的数量积(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.(2)两向量的数量积：非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.4.空间向量数量积的运算律(1)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5.空间向量的坐标表示及其应用设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).向量表示坐标表示数量积a·bx1x2＋y1y2＋z1z2共线b＝λa(a≠0，λ∈R)x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)x1x2＋y1y2＋z1z2＝0模|a|eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,1))夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)＋zeq\o\al(2,2)))6.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.(2)平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α.7.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为v1，v2l1∥l2v1∥v2⇔v1＝λv2l1⊥l2v1⊥v2⇔v1·v2＝0直线l的方向向量为v，平面α的法向量为nl∥αv⊥n⇔v·n＝0l⊥αv∥n⇔n＝λv平面α，β的法向量分别为n1，n2α∥βn1∥n2⇔n1＝λn2α⊥βn1⊥n2⇔n1·n2＝01.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.考点和典型例题1、空间向量的运算及共线、共面定理【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知向量SKIPIF1<0＝(2m＋1，3，m－1)，SKIPIF1<0＝(2，m，－m)，且SKIPIF1<0，则实数m的值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．－2C．0 D．SKIPIF1<0或－2【答案】B【详解】当m＝0时，SKIPIF1<0=(1，3，－1)，SKIPIF1<0＝(2，0，0)，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不平行，∴m≠0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得m＝－2.故选：B【典例1-2】（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0三向量共面，则实数SKIPIF1<0（

）A．3 B．2 C．15 D．5【答案】D【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，又∵SKIPIF1<0三向量共面，则存在实数m，n使SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：D．【典例1-3】（2020·全国·高三专题练习）设x，SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．4【答案】C【详解】因为向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：C【典例1-4】（2022·全国·高三专题练习）（多选）若SKIPIF1<0构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【详解】选项A，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0共面；选项B，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0共面；选项C，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0构成的平面内，SKIPIF1<0不在这个平面内，不符合.选项D，因为SKIPIF1<0共线，所以SKIPIF1<0共面.故选：ABD【典例1-5】（2022·湖南·高三阶段练习）若直线SKIPIF1<0的方向向量SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值是______.【答案】-1【详解】直线SKIPIF1<0的方向向量SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，必有SKIPIF1<0，即向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0共线，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；故答案为：-1.2、空间向量的数量积及其应用【典例2-1】（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））正四面体SKIPIF1<0的棱长为4，空间中的动点P满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为球心，以SKIPIF1<0为半径的球面，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．故选：D．【典例2-2】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知正四棱台SKIPIF1<0的上、下底面边长分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是上底面SKIPIF1<0的边界上一点．若SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，则该正四棱台的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题意可知，以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，如图所示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由对称性，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是相同的，故只考虑SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，设正四棱台的高为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由二次函数的性质知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值为SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（负舍），故正四棱台的体积为：SKIPIF1<0.故选：A.【典例2-3】（2022·山东泰安·模拟预测）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，M是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，N，G分别在棱SKIPIF1<0，AC上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面MNG与AB交于点H，则SKIPIF1<0___________，SKIPIF1<0___________.【答案】

6

-42【详解】如图，延长MG，交SKIPIF1<0的延长线于K，连接KN，显然SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此，平面MNG与AB的交点H，即为KN与AB交点，在堑堵SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：6；-42【典例2-4】（2022·上海徐汇·三模）已知SKIPIF1<0､SKIPIF1<0是空间相互垂直的单位向量，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是___________.【答案】3【详解】因为SKIPIF1<0互相垂直，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，最小值为9，则SKIPIF1<0的最小值为3.故答案为：3【典例2-5】（2022·浙江·模拟预测）若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是棱长为SKIPIF1<0的正四面体棱上互不相同的三点，则SKIPIF1<0的取值范围是_______.【答案】SKIPIF1<0【详解】如下图所示，由任意性，设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别棱长为SKIPIF1<0的正三棱锥SKIPIF1<0的棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的动点，设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，当且仅当线段SKIPIF1<0与棱SKIPIF1<0或SKIPIF1<0重合时，等号成立，即SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0或SKIPIF1<0重合，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0重合于点SKIPIF1<0或点SKIPIF1<0时，等号成立，但SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为不同的三点，则SKIPIF1<0，由上可知SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，取线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当线段SKIPIF1<0与棱SKIPIF1<0重合且SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点时，等号成立，则SKIPIF1<0.综上所述，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.3、空间向量的应用【典例3-1】（2022·全国·模拟预测）下图为正三棱柱SKIPIF1<0的一个展开图，若A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0六点在同一个圆周上，则在原正三棱柱中，直线AE和直线BF所成角的余弦值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】六点共圆的示意图如图所示．设原正三棱柱的底面边长为2a，高为2b，圆的半径为r．则有方程组SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．从而在原正三棱柱中，高为底面边长的SKIPIF1<0倍．设直线AE和直线BF所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．由勾股定理，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．故选：A【典例3-2】（2022·全国·高三专题练习（文））在正方体SKIPIF1<0中，E，F分别为SKIPIF1<0的中点，则（

）A．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】A【详解】解：在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故A正确；选项BCD解法一：如图，以点SKIPIF1<0为原点，建立空间直角坐标系，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，可取SKIPIF1<0，同理可得平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不垂直，故B错误；因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不平行，所以平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不平行，故C错误；因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不平行，所以平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不平行，故D错误，故选：A.选项BCD解法二：解：对于选项B，如图所示，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线，在SKIPIF1<0内，作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0内，作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或其补角为平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成二面角的平面角，由勾股定理可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，底面正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为中点，则SKIPIF1<0，由勾股定理可得SKIPIF1<0，从而有：SKIPIF1<0，据此可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，据此可得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0不成立，选项B错误；对于选项C，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0相交，故平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0不成立，选项C错误；对于选项D，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，很明显四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0相交，故平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0不成立，选项D错误；故选：A.【典例3-3】（2022·福建龙岩·模拟预测）已知直三棱柱SKIPIF1<0的所有棱长都相等，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的正弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】取线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设直三棱柱SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方向分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0.故选：C.【典例3-4】（2022·河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理））已知三棱柱SKIPIF1<0的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，D为SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为______．【答案】SKIPIF1<0