新高考一轮复习核心考点讲与练考点09 解三角形原卷版

考点09解三角形（核心考点讲与练）一、正弦定理和余弦定理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数一解两解一解一解无解二、解三角形的实际应用1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2).3.方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在△ABC中，若a2＋b2<c2，由cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，可知角C为钝角，则△ABC为钝角三角形.4.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.5.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.正弦定理一、单选题1．（2022·全国·模拟预测（理））在△ABC中，SKIPIF1<0，b＝6，下面使得三角形有两组解的a的值可以为（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·河南·模拟预测（理））已知在锐角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点M在边AC上，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题3．（2022·广东茂名·二模）如图，在四面体ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面ABC，SKIPIF1<0，若四面体ABCD的外接球的表面积为SKIPIF1<0，则四面体ABCD的体积不可能是（

）A．5 B．6 C．7 D．84．（2022··一模）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为锐角SKIPIF1<0三个内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边，且SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0三、填空题5．（2022·陕西咸阳·二模（理））SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_______．6．（2022·河南·二模（文））在钝角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，AC=6，BC=5，则AB=___________.四、解答题7．（2022·福建三明·模拟预测）SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，试判断SKIPIF1<0的形状，并说明理由；(2)若SKIPIF1<0为锐角三角形，其外接圆半径为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0周长的取值范围．三角形面积公式一、填空题1．（2022·重庆·二模）点M在△ABC内部，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0____________．2．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）英国数学家莫利提出：将三角形各内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交于一点，则这样的三个交点构成一个正三角形（如下图所示）.若△SKIPIF1<0为等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，则△SKIPIF1<0的面积是___________.二、解答题3．（2022·福建·模拟预测）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0为等腰三角形；(2)设SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，若___________，求SKIPIF1<0的值.在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0三个选项中，选择一个填入上面空白处，并求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.4．（2022·湖南·雅礼中学二模）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.5．（2022·重庆八中模拟预测）已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D是边BC上一点，且SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0的面积的2倍.(1)证明：AD平分SKIPIF1<0﹔(2)若SKIPIF1<0，求BC.6．（2022·江苏·南京市第一中学三模）在SKIPIF1<0中，D为SKIPIF1<0上靠近点C的三等分点，且SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的取值范围．7．（2022·辽宁锦州·一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点M在边AC上，BM平分SKIPIF1<0，△ABM的面积是△BCM面积的2倍.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求△ABC的面积.8．（2022·河北·模拟预测）如图，在△ABC中，已知D是边BC上一点．且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)求△ABC的面积．余弦定理一、单选题1．（2022·河北·模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0的上顶点SKIPIF1<0，左右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0连接SKIPIF1<0，并延长交椭圆于另一点P，若SKIPIF1<0，则椭圆C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·湖南益阳·一模）如图，已知等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0（

）A．为定值10 B．为定值6C．最大值为18 D．与P的位置有关二、多选题3．（2022·江苏苏州·模拟预测）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列命题为真命题的有（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为锐角三角形C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为直角三角形D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为直角三角形4．（2022·湖北·一模）我们把经过同一顶点的三条棱两两垂直的三棱锥，称作直角三棱锥.在直角三棱锥S−ABC中，侧棱SA､SB､SC两两垂直，设SA=a，SB=b，SC=c，点S在底面ABC的射影为点D，三条侧棱SA､SB､SC与底面所成的角分别为SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0，下列结论正确的有（

）A．D为△ABC的外心 B．△ABC为锐角三角形C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题5．（2022·江苏无锡·模拟预测）(1)若数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，则该数列中的最小项的值为__________．(2)若SKIPIF1<0的展开式中含有常数项，则n的最小值等于__________．(3)如图所示的数阵中，用SKIPIF1<0表示第m行的第n个数，则以此规律SKIPIF1<0为__________．(4)SKIPIF1<0的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，有下列结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0；④当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为钝角三角形．其中正确的是__________SKIPIF1<0填写所有正确结论的编号SKIPIF1<06．（2022·广东茂名·二模）正三棱锥S-ABC的底面边长为4，侧棱长为SKIPIF1<0，D为棱AC的中点，则异面直线SD与AB所成角的余弦值为__________．7．（2022·江西·模拟预测（理））在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0若对任意SKIPIF1<0,不等式SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的最大值为___________.四、解答题8．（2022·湖南岳阳·二模）在SKIPIF1<0中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足SKIPIF1<0(1)求角B；(2)在①SKIPIF1<0的外接圆的面积为SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0的周长为12，③SKIPIF1<0，这三个条件中任选一个，求SKIPIF1<0的面积的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.9．（2022·重庆市育才中学模拟预测）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点O是AC的中点，点P在线段MC上，(1)证明：SKIPIF1<0平面ABC；(2)若SKIPIF1<0，直线AP与平面ABC所成的角为SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值的大小10．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）△SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.11．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周长.12．（2022·湖南永州·三模）从①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0这两个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答.已知SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.(注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答记分)解三角形的实际应用一、单选题1．（2022·江苏·海安高级中学二模）设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100米，50米．现欲在M，N之间架设高压电网，须计算M，N之间的距离．勘测人员在海平面上选取一点P，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为30°，45°，并从P点观测到M，N点的视角为45°，则M，N之间的距离为（

）A．SKIPIF1<0米 B．SKIPIF1<0米 C．SKIPIF1<0米 D．SKIPIF1<0米2．（2022·北京通州·一模）太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）．设地球表面某地正午太阳高度角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为此时太阳直射点纬度，SKIPIF1<0为当地纬度值，那么这三个量满足SKIPIF1<0．通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值（SKIPIF1<0取正值），选择春分当日（SKIPIF1<0）测算正午太阳高度角．他们将长度为1米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下：组别甲组乙组丙组丁组木杆影长度（米）0.820.800.830.85则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是（

）A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组二、多选题3．（2021·广东佛山·一模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所对的边为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0边上的中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列选项正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．角SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<04．（2021·黑龙江·密山市第一中学模拟预测）下列结论正确的是（

）A．在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．在锐角三角形SKIPIF1<0中，不等式SKIPIF1<0恒成立C．若SKIPIF1<0，则三角形SKIPIF1<0为等腰三角形D．在锐角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<05．（2021·江苏南通·一模）下列命题中是真命题的有（

）A．存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0B．在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是等腰三角形C．在SKIPIF1<0中，“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充要条件D．在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0或SKIPIF1<06．（2021·湖南·长郡中学一模）如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔SKIPIF1<0(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得SKIPIF1<0.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：SKIPIF1<0，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔SKIPIF1<0的高度的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题7．（2022·浙江嘉兴·二模）2022年北京冬奥会闭幕式上，呈现了大雪花（火炬）被中国结紧紧包裹的画面，体现了中国“世界大同，天下一家”的理念，数学中也有类似“包裹”的图形.如图，双圆四边形即不仅有内切圆而且有外接圆的四边形，20世纪80年代末，国内许多学者对双圆四边形进行了大量研究，如：边长分别为a，b，c，d的双圆四边形，则其内切圆半径SKIPIF1<0，外接圆半径SKIPIF1<0.现有边长均为1的双圆四边形，则SKIPIF1<0___________.8．（2022·广东惠州·一模）如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处.设连杆AB长200SKIPIF1<0，曲柄CB长70SKIPIF1<0，则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）约为___________SKIPIF1<0.（结果保留整数）（参考数据：sin53.2°≈0.8）9．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））如图，某中学校园中央有一座钟楼，某学生为了测量钟楼高AB，该学生先在钟楼的正西方点C处测得钟楼顶部的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60SKIPIF1<0到达点D处，在D处测得钟楼顶部的仰角为30°，则钟楼AB的高度是___________SKIPIF1<0.四、解答题10．（2022·辽宁沈阳·二模）已知SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)判断SKIPIF1<0的形状并给出证明；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．11．（2022·江苏·海安高级中学二模）在平面凸四边形ABCD中，已知SKIPIF1<0，求sinA及AD．12．（2022·重庆·模拟预测）在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的对边长分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且_______．(1)求角SKIPIF1<0的大小；(2)若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．13．（2022·广东湛江·二模）如图，一架飞机从SKIPIF1<0地飞往SKIPIF1<0地，两地相距SKIPIF1<0.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成SKIPIF1<0角的方向飞行，飞行到SKIPIF1<0地，再沿与原来的飞行方向成SKIPIF1<0角的方向继续飞行SKIPIF1<0到达终点.(1)求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两地之间的距离；(2)求SKIPIF1<0.1.（2021年全国高考甲卷）在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.1 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.32.（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）记SKIPIF1<0是内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0.（1）证明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.一、解答题1.（2022·全国·模拟预测）SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0.（1）求B；（2）若SKIPIF1<0，______，求SKIPIF1<0的面积.在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0这两个条件中任选一个，补充在横线上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.2.（2022·黑龙江·一模（理））在SKIPIF1<0中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知SKIPIF1<0，角C的内角平分线与边AB交于点D．（1）求角B的大小；（2）记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0这两个条件中任选一个作为已知，求SKIPIF1<0的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．3.（2022·全国·模拟预测）已知锐角三角形ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，SKIPIF1<0.（1）求B；（2）若SKIPIF1<0，求c的取值范围.4.（2022·全国·模拟预测）在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且______.（1）证明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求四