新高考一轮复习核心考点讲与练考点04 指对幂函数原卷版

考点04指对幂函数（核心考点讲与练）1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N+，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.3.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数4.对数的概念一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.5.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1).6.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数7.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳1.幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α>0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0<a<1和a>1两种情况分类讨论.4.对数值取正、负值的规律当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时，logab>0；当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时，logab<0.5.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.6.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.7.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.指数函数一、单选题1．（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知SKIPIF1<0是正实数，函数SKIPIF1<0的图象经过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．9 C．SKIPIF1<0 D．22．（2022·江西上饶·二模（理））函数SKIPIF1<0的大致图像为（

）A． B．C． D．3．（2022·河北秦皇岛·二模）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·浙江嘉兴·二模）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题5．（2022·广东汕头·二模）设a，b，c都是正数，且SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题6．（2022·江苏南通·模拟预测）若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为_________．7．（2022·辽宁锦州·一模）已知函数SKIPIF1<0的值域为R，则实数a的取值范围是___________.8．（2022·山西·二模（理））已知函数SKIPIF1<0给出下列结论：①SKIPIF1<0是偶函数；②SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数；③若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．9．（2022·福建龙岩·一模）已知函数SKIPIF1<0，若方程SKIPIF1<0有解，则实数SKIPIF1<0的取值范围是_________．10．（2022·海南·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________．对数函数一、单选题1．（2022·辽宁锦州·一模）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则x，y，z的大小关系为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·广东惠州·一模）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：SKIPIF1<0，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SKIPIF1<0叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SKIPIF1<0从1000提升至5000，则C大约增加了（

）（附：SKIPIF1<0）A．20% B．23% C．28% D．50%3．（2022·北京顺义·二模）函数SKIPIF1<0的定义域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·河南新乡·二模（文））函数SKIPIF1<0的部分图象大致为（

）A． B．C． D．5．（2021·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·山西·二模（理））已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个零点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个零点，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0二、多选题7．（2021·河北石家庄·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0是偶函数，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是单调函数C．SKIPIF1<0的最小值为1 D．方程SKIPIF1<0有两个不相等的实数根8．（2020·全国·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、双空题9．（2022·河北石家庄·二模）已知函数SKIPIF1<0，若存在实数SKIPIF1<0.满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________，SKIPIF1<0的取值范围是___________.四、填空题10．（2022·海南·模拟预测）若对任意的SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的图象恒过定点P，则点P的坐标为___________.11．（2022·江西赣州·二模（理））若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，则SKIPIF1<0的取值范围是___________.五、解答题12．（2020·全国·一模（文））（1）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0；（2）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，求实数k的最大值.幂函数一、单选题1．（2022·北京·一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知幂函数SKIPIF1<0是定义在区间SKIPIF1<0上的奇函数，则SKIPIF1<0（

）A．8 B．4 C．2 D．13．（2021·江西·模拟预测）已知幂函数SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．2 C．4 D．54．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（理））已知幂函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则有下列说法：①SKIPIF1<0和SKIPIF1<0图象都过点SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0和SKIPIF1<0图象都过点SKIPIF1<0；③在区间SKIPIF1<0上，增长速度更快的是SKIPIF1<0；④在区间SKIPIF1<0上，增长速度更快的是SKIPIF1<0.则其中正确命题的序号是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④5．（2022·全国·贵阳一中二模（文））下列函数中是减函数的为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·陕西宝鸡·三模（理））若SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题7．（2022·全国·模拟预测）已知实数SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,则下列判断正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2021·山东·模拟预测）已知实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则下列不等式恒成立的是（

）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<09．（2021·全国·模拟预测）已知e为自然对数的底数，则下列判断正确的是（

）A．3e﹣2π＜3πe﹣2 B．πlog3e＞3logπeC．logπeSKIPIF1<0 D．πe＜eπ10．（2021·山东潍坊·三模）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题11．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数SKIPIF1<0______．①SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；12．（2022·四川泸州·模拟预测（文））已知当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0的图象有且只有一个公共点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是________.13．（2022·北京通州·一模）幂函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，能够使SKIPIF1<0是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．一、单选题1．（2021·全国·高考真题）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列判断正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足SKIPIF1<0．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（

）（SKIPIF1<0）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.63．（2020·天津·高考真题）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2020·全国·高考真题（理））若SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（

）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b6．（2020·全国·高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：SKIPIF1<0，其中K为最大确诊病例数．当I(SKIPIF1<0)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则SKIPIF1<0约为（

）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．697．（2020·全国·高考真题（文））设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2020·全国·高考真题（文））设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2020·全国·高考真题（理））设函数SKIPIF1<0，则f(x)（

）A．是偶函数，且在SKIPIF1<0单调递增 B．是奇函数，且在SKIPIF1<0单调递减C．是偶函数，且在SKIPIF1<0单调递增 D．是奇函数，且在SKIPIF1<0单调递减二、多选题10．（2020·海南·高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，定义X的信息熵SKIPIF1<0.（

）A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着SKIPIF1<0的增大而增大C．若SKIPIF1<0，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则H(X)≤H(Y)三、填空题11．（2020·山东·高考真题）若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值是______.12．（2020·北京·高考真题）函数SKIPIF1<0的定义域是____________．13．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，SKIPIF1<0，则f(-8)的值是____.一、单选题1.（2022·全国·模拟预测）开普勒（JohannesKepler，1571~1630），德国数学家、天文学家，他发现所有行星运行的轨道与公转周期的规律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等.已知金星与地球的公转周期之比约为2:3，地球运行轨道的半长轴为a，则金星运行轨道的半长轴约为（）A.0.66a B.0.70a C.0.76a D.0.96a2.（2022·全国·模拟预测）已知SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的零点，则SKIPIF1<0的值（）A.为正数 B.为负数 C.等于0 D.无法确定正负3.（2022·全国·模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<04.（2022·广东汕头·一模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则以下不等式正确的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<05.（2022·河北·模拟预测）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<06.（2022·山东·模拟预测）已知非零实数m，n满足SKIPIF1<0，则下列关系式一定成立的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<07.（2022·全国·模拟预测）分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”……，依次进行“n次分形”（SKIPIF1<0）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于20的分形图，则n的最小值是（）（取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A.9 B.10 C.11 D.128.（2022·全国·模拟预测）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则a，b，c的大小关系为（）A.SKIPI